一次函数图像应用题(带解析版答案)

一次函数中考专题

一．选择题

1．如图，是某复印店复印收费y（元）与复印面数（8开纸）x（面）的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费（ ） A．0.4元 B．0.45 元 C．约0.47元 D．0.5元

2．如图，函数y=kx（k≠0）和y=ax+4（a≠0）的图象相交于点A（2，3），则不等式kx＞ax+4的解集为（ ） A．x＞3

B．x＜3 C．x＞2 D．x＜2

3．如图，已知：函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（ ） A．x＞﹣5

B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2

4．甲、乙两汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为（t小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第1页（共15页）

【解答】①由函数图象，得a=120÷3=40故①正确，

②由题意，得5.5﹣3﹣120÷（40×2），=2.5﹣1.5，=1． ∴甲车维修的时间为1小时；故②正确，

③如图：∵甲车维修的时间是1小时，∴B（4，120）． ∵乙在甲出发2小时后匀速前往B地，比甲早30分钟到达． ∴E（5，240）．∴乙行驶的速度为：240÷3=80， ∴乙返回的时间为：240÷80=3，∴F（8，0）．

设BC的解析式为y1=k1t+b1，EF的解析式为y2=k2t+b2，由图象，得

，

∴y1=80t﹣200，y2=﹣80t+0，

当y1=y2时，80t﹣200=﹣80t+0，t=5.25．

∴两车在途中第二次相遇时t的值为5.25小时，故弄③正确， ④当t=3时，甲车行的路程为120km，乙车行的路程为80×（3﹣2）=80km， ∴两车相距的路程为：120﹣80=40千米，故④正确，故选：A．

5．甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶 2h，

解得，，

并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h） 的函数图象．则下列结论：（1）a=40，m=1；（2）乙的速度是80km/h；（3）甲比乙迟h到达B地；（4）乙车行驶小时或正确的个数是（ ） A．1 B．2

C．3

小时，两车恰好相距50km．

D．4

第2页（共15页）

【解答】（1）由题意，得m=1.5﹣0.5=1．

120÷（3.5﹣0.5）=40（km/h），则a=40，故（1）正确；

（2）120÷（3.5﹣2）=80km/h（千米/小时），故（2）正确；

（3）设甲车休息之后行驶路程（ykm）与时间（xh）的函数关系式为y=kx+b，

由题意，得

解得：

∴y=40x﹣20，

根据图形得知：甲、乙两车中先到达B地的是乙车， 把y=260代入y=40x﹣20得，x=7，

∵乙车的行驶速度80km/h，∴乙车行驶260km需要260÷80=3.25h， ∴7﹣（2+3.25）=h，∴甲比乙迟h到达B地，故（3）正确； （4）当1.5＜x≤7时，y=40x﹣20．

设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y=k'x+b'，由题意得

解得：

∴y=80x﹣160．

当40x﹣20﹣50=80x﹣160时，解得：x=． 当40x﹣20+50=80x﹣160时，解得：x=所以乙车行驶或二．填空题（共3小题）

6．如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A3，…，An+1作x轴的垂线交一次函数

的图象于点B1，

．∴﹣2=，

﹣2=

．

小时，两车恰好相距50km，故（4）错误．故选（C）

B2，B3，…，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1依次产生交点P1，P2，P3，…，Pn，则Pn的坐标是 （n+

，

） ．

第3页（共15页）

【解答】由已知得A1，A2，A3，…的坐标为：（1，0），（2，0），（3，0），…，

又得作x轴的垂线交一次函数y=x的图象于点B1，B2，B3，…的坐标分别为（1，），（2，1），（3，），…．

由此可推出An，Bn，An+1，Bn+1四点的坐标为（n，0），（n，）， （n+1，0），（n+1，

）．

所以得直线AnBn+1和An+1Bn的直线方程分别为

解得

7. 下图是护士统计一病人的体温变化图，这位病人中午12时的体温约为 ℃．

故答案为：（n+

，

）．

8．某高速铁路即将在2019年底通车，通车后，重庆到贵阳、广州等地的时间将大大缩短．5月初，铁路局组织甲、乙两种列车在该铁路上进行试验运行，现两种列车同时从重庆出发，以各自速度匀速向A地行驶，乙列车到达A地后停止，甲列车到达A地停留20分钟后，再按原路以另一速度匀速返回重庆，已知两种列车分别距A地的路程y（km）与时间x（h）之间的函数图象如图所示．当乙列车到达A地时，则甲列车距离重庆 km．

第4页（共15页）

【解答】设乙列车的速度为xkm/h，甲列车以ykm/h的速度向A地行驶，到达A

地停留20分钟后，以zkm/h的速度返回重庆，

则根据3小时后，乙列车距离A地的路程为240，而甲列车到达A地，可得3x+240=3y，①

根据甲列车到达A地停留20分钟后，再返回重庆并与乙列车相遇的时刻为4小时，可得x+（1﹣）z=240，② 根据甲列车往返两地的路程相等，可得（由①②③，可得x=120，y=200，z=180， ∴重庆到A地的路程为3×200=600（km）， ∴乙列车到达A地的时间为600÷120=5（h），

∴当乙列车到达A地时，甲列车距离重庆的路程为600﹣（5﹣3﹣）×180=300（km）， 故答案为：300． 三．解答题（共10小题）

9．为倡导绿色出行，某共享单车近期登陆徐州，根据连续骑行时长分段计费：骑行时长在2h以内（含2h）的部分，每0.5h计费1元（不足0.5h按0.5h计算）； 骑行时长超出2h的部分，每小时计费4元（不足1h按1h计算）． 根据此收费标准，解决下列问题： （1）连续骑行5h，应付费多少元？

（2）若连续骑行xh（x＞2且x为整数） 需付费y元，则y与x的函数表达式为 ； （3）若某人连续骑行后付费24元，求其连续骑行时长的范围． 【解答】（1）当x=5时，y=2×2+4×（5﹣2）=16，∴应付16元；

（2）y=4（x﹣2）+2×2=4x﹣4；故答案为：y=4x﹣4；

（3）当y=24，24=4x﹣4，x=7，∴连续骑行时长的范围是：6＜x≤7．

第5页（共15页）

﹣3﹣）z=3y，③

10．如图，“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的

车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同；

（3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【解答】（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得：95=k1+80，解得k1=15，

∴y1=15x+80（x≥0）；

设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30， ∴y2=30x（x≥0）；

（2）当y1=y2时，15x+80=30x，解得x=

答：当租车时间为

；

小时时，两种方案所需费用相同；

；当y1＞y2时，15x+80＞30x，

（3）由（2）知：当y1=y2时，x=

解得x＜

；

当y1＜y2时，15x+80＜30x，解得x＞∴当租车时间为当租车时间小于当租车时间大于

；

小时，任意选择其中的一个方案； 小时，选择方案二合算； 小时，选择方案一合算．

第6页（共15页）

11．如表给出A、B、C三种上网的收费方式：

收费方式 A B C

月使用费/元

30 50 120

包时上网时间/小时

25 50 不限时

超时费/（元/分钟）

0.05 0.05

（1）假设月上网时间为x小时，分别直接写出方式A、B、C三种上网方式的收费金额分别为y1、y2、y3与x的函数关系式，并写出自变量的范围（注意结果要化简）；

（2）给出的坐标系中画出这三个函数的图象简图； （3）结合函数图象，直接写出选择哪种上网方式更合算．

【分析】从题意可知，本题中的一次函数又是分段函数，关键是理清楚自变量的取值范围，由取值来确定函数值，从而作出函数图象．

【解答】（1）收费方式A：y=30 （0≤x≤25），y=30+3x （x＞25）； 收费方式B：y=50 （0≤x≤50），y=50+3x （x＞50）； 收费方式C：y=120 （0≤x）； （2）函数图象如图：

（3）由图象可知，上网方式C更合算。

12．某化工厂生产一种产品，每件产品的售价50元，成本价为25元．在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5m3的污水排出，为净化环境，工厂设计了如下两种方案对污水进行处理，并准确实施：

为案A：工厂将污水先进行处理后再排出，每处理1m3污水所用原料费为2元，每月排污设备的损耗费为3000元．

方案B：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1m3污水需付14元排污费．

第7页（共15页）

（1）设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出A、B两中方案处理污水时，y与x的函数关系式．

（2）当工厂每月生产量为6000件时，作为厂长在不污染环境又节约资金的前提下，应选用哪种污水的处理方案？请通过计算说明理由． （3）求：一般的，每月产量在什么范围内，适合选用方案A．

【分析】（1）每件产品的售价50元，共x件，则总收入为50x，成本费为25x，产生的污水总量为0.5x，根据利润=总收入﹣总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将x=6000代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润高；

（3）当两种方案所得利润相等时，所得的x值即为临界点，如此可根据产量选择适合的方案．

【解答】（1）采用方案A时的总利润为：y1=50x﹣25x﹣（0.5x×2+3000）=24x﹣3000； 采用方案B是的总利润为：y2=50x﹣25x﹣0.5x×14=18x； （2）x=6000，当采用第一种方案是工厂利润为： y1=24×6000﹣3000=114000﹣3000=111000；

当采用方案B时工厂利润为：y2=18×6000=108000； y1＞y2所以工厂采用方案A． （3）假设y1=y2，即方案A和方案B所产生的利润一样多。 则有：24x﹣3000=18x，解得x=500

所以当 x＞500时，y1＞y2 ； 即每月产量在500件以上时，适合选用方案A． 13．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，甲比乙先出发1小时．设甲出发x小时后，甲、乙两人离A地的距离分别为y甲、y乙，并且y甲、y乙与x之间的函数图象如图所示．

（1）A、B两地之间的距离是 km，甲的速度是 km/h； （2）当1≤x≤5时，求y乙关于x的函数解析式；

（3）求甲、乙两人之间的距离不超过20km时，x的取值范围．

第8页（共15页）

【分析】（1）可由函数图象直接解得；

（2）可设一次函数的一般关系式，代入两个点（1，0）和（5，360）从而解得； （3）有图象可知，甲乙不超过20km的情况有三种，起点、终点、相遇点，然后分别列出不等式求解．

【解答】（1）依函数图象可知，y甲、y乙的最大值均为：360km，所以AB两地的距离为360km．

甲行驶了6小时，所以甲的行驶速度是：360÷6=60（km/h）；故而答案为：360 60．

（2）设y乙=kx+b则 解得

∴当1≤x≤5时，y乙关于x的函数解析式：y乙=90k﹣90 （3）当0≤x≤1时，60x≤20，解得X≤ 当1≤x≤5 时|60x﹣（90x﹣90）|≤20 解得 当5≤x≤6 时360﹣60x≤20 解得

≤x≤6

≤x≤

≤x≤

∴甲、乙两人之间的距离不超过20km时，x的取值范围是：0≤x 或 或

≤x≤6．

14．一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系． 根据图象进行以下探究：

（1）西宁到西安两地相距 千米，两车出发后 小时相遇；普通列车到达终点共需 小时，普通列车的速度是 千米/小时． （2）求动车的速度；

（3）普通列车行驶t小时后，动车的达终点西宁，求此时普通列车还需行驶多少千米到达西安？

第9页（共15页）

【分析】（1）由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；根据x=12时的实际意义可得，由速度=路程÷时间，可得答案；

（2）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；

（3）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．

【解答】（1）由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米， 由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，

由图象知x=t时，动车到达西宁，∴x=12时，普通列车到达西安， 即普通列车到达终点共需12小时，∴普通列车的速度是故答案为：1000，3；12，

；

=

千米/小时，

（2）设动车的速度为x千米/小时， 根据题意，得：3x+3×

=1000，解得：x=250，

答：动车的速度为250千米/小时；

（3）∵t=

=4（小时），∴4×

=

（千米），∴1000﹣

=

（千米），

∴此时普通列车还需行驶千米到达西安．

15．如图所示，直线l1的解析式为y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，﹣1.5），直线l1、l2交于点C． （1）求点D的坐标和直线l2的解析式； （2）求△ADC的面积；

（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP=2S△ADC，请直接写出点P的坐标．

第10页（共15页）

解答即可得到直线l2的解析式；

【分析】（1）把y=0代入y=﹣3x+3解答即可得到点D的坐标；利用待定系数法

（2）根据方程组解得点C的坐标，再根据三角形的面积公式，即可得到△ADC的面积；

（3）根据直线l1的解析式y=﹣3x+3求得D（1，0），解方程组得到C（2，﹣3），设P（m，m﹣6），根据S△ADP=2S△ACD列方程即可得到结论． 【解答】（1）把y=0代入y=﹣3x+3，可得：0=﹣3x+3，解得：x=1， 所以D点坐标为（1，0），

设直线l2的解析式为y=kx+b，把A（4，0）、B（3，﹣）代入得

，

解得

．所以直线l2的解析式为y=x﹣6；

（2）解方程组得，所以C点坐标为（2，﹣3），

所以△ADC的面积=×（4﹣1）×3=4.5；

（3）设P（m，m﹣6），∵S△ADP=2S△ACD，∴×3×|m﹣6|=2×4.5， 解得m=8或0，∴点P的坐标（8，6）或（0，﹣6）．

16．如图，图中的曲线表示小华星期天骑自行车外出离家的距离与时间的关系，小华八点离开家，十四点回到家，根据这个曲线图，请回答下列问题： （1）到达离家最远的地方是几点？离家多远？ （2）何时开始第一次休息？休息多长时间？

（3）小华在往返全程中，在什么时间范围内平均速度最快？最快速度是多少？

第11页（共15页）

（4）小华何时离家21千米？（写出计算过程）

【分析】（1）图中的点的横坐标表示时间，所以点E点距离家最远，横坐标表示距家最远的时间，纵坐标表示离家的距离； （2）休息是路程不在随时间的增加而增加； （3）往返全程中回来时候平均速度最快；

（4）求得线段DE所在直线的解析式，令y=21解得x的值就是离家21千米的相应的时间．

【解答】（1）到达离家最远的地方是11点，此时距离家30千米；

（2）到距家17千米的地方开始休息，休息了（10﹣9.5）=0.5小时；

（3）小华在返回的途中最快，平均速度为30÷（14﹣12）=15千米/小时；

（4）由图象可知点D、E的坐标分别为（10，17），（11，30），F、G的坐标分别为（12，30），（14，0），

∴设直线DE所在直线的解析式为y=kx+b，直线FG的解析式为y=ax+c， ∴

，

，解得：

，

，

∴解析式为y=13x﹣113，y=﹣15x+210， 令y=21，解得：x=

或

，∴第

或

时离家21千米．

17．如图①，A，D分别在x轴，y轴上，AB∥y轴，DC∥x轴．点P从点D出发，以1个单位长度/秒的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周，若顺次连接P，O，D三点所围成的三角形的面积为S，点P运动的时间为t秒，已知S与t之间

第12页（共15页）

的函数关系如图②中折线OEFGHM所示．

（1）图①中点B的坐标为 ；点C的坐标为 ； （2）求图②中GH所在直线的解析式；

（3）是否存在点P，使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由于点P从点D出发，根据图②中S与t的图象可知，点P按顺时针方向沿五边形OABCD的边作匀速运动，又运动速度为1个单位长度/秒，所以DC=5，BC=5，AB=2，AO=8，OD=6，由此得到点C的坐标，由图②20﹣12=8，得出B的坐标；

（2）先求出点G坐标，再用待定系数法即可求出；

（3）先求出五边形OABCD的面积和△OCP的面积，再分类讨论三种情况： ①当P在CD上时，CP=5﹣t，由△OCP的面积得出t的值，即可得出P的坐标；

②当P在OA上时，设P（x，0），由△OCP的面积得出x的值，即可得出P的坐标；

③当P在BC上时，过点（点（

，0）作OC平行线l交BC于P，求出直线OC和过

，0）与OC平行的直线l以及直线BC的解析式，l与BC的交点即为P，

解方程组即可．

【解答】（1）由题意，可知点P的运动路线是：D→C→B→A→O→D， DC=5，BC=10﹣5=5，AB=12﹣10=2，AO=20﹣12=8，OD=26﹣20=6， ∴点C的坐标为（5，6）；

由图②：20﹣12=8，∴点B的坐标为（8，2）； （2）设GH的解析式为y=kx+b，

∵当点P运动到B时，S=×6×8=24，∴G（12，24），

第13页（共15页）

把点G（12，24），H（20，0）代入得：∴图②中GH所在直线的解析式为：y=﹣3x+60；

，解得：k=﹣3，b=60，

（3）存在点P，使△OCP的面积为五边形OABCD的面积的；分三种情况： 作CM⊥OA于M，如图①所示：

五边形OABCD的面积=矩形ODCM的面积+梯形ABCM的面积 =5×6+（2+6）（8﹣5）=42，△OCP的面积=×42=14， 分三种情况：

①由图象得：当P在CD上时，CP=5﹣t，△OCP的面积=（5﹣t）×6=14， 解得：t=，∴P（，6）；

②由①得，当P在OA上时，设P（x，0），则△OCP的面积=x×6=14， 解得：x=

，∴P（

，0）；

，0）作OC平行线l交BC于P；如图①所示：

③当P在BC上时，过点（

∵直线OC为y=x，设直线l的解析式为y=x+b， 把点（

，0）代入得：b=﹣

，∴l的解析式为：y=x﹣

；

，

设直线BC的解析式为y=ax+c，把B（8，2），C（5，6）代入得：解得：k=﹣，b=

，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+

；

解方程组得：，

∴P（，）；当P在OD上时，5OP=14×2，OP=5.6，∴P（0，5.6）

，0），或（

，

），或（0.5.6）．

综上所述：点P的坐标为（，6），或（

第14页（共15页）

第15页（共15页）