蒲江县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

蒲江县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ ） A．35

B．

C．

D．53

2． 如图所示，已知四边形ABCD的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长

为（ ）

A．22 B． C. D．42+2 3． 已知向量=（﹣1，3），=（x，2），且A．

B．

C．

，则x=（ ）

D．

4． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁UA）∪B为（ ） A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}

5． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

6． 已知命题p：“∀x∈R，ex＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（ ） A．命题p∨q是假命题 C．命题p∧（￢q）是真命题

B．命题p∧q是真命题

D．命题p∨（￢q）是假命题

7． 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若

,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为 A[B[

] ]

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C[D[

]

]

8． 拋物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线C：x2－y2＝2的焦点重合，C的渐近线与拋物线E交于非原点的P点，则点P到E的准线的距离为（ ） A．4 C．8 9． 已知双曲线

﹣

B．6 D．10

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线右支上存在一点P，使得F2

关于直线PF1的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ） A．1＜e＜10．（A．﹣

0

B．e＞

2

C．e＞ D．1＜e＜

）﹣（1﹣0.5﹣）÷

B．

的值为（ ）

C．

D．

11．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ） A．4 B．2 C． D．2 12．若复数z=A．3

B．6

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ） C．9

D．12

二、填空题

13．复数z=

（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为 ．

14．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）= ．

15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是 ．

16．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有 个直角三角形．

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17．已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

= ．

18．已知平面向量a，b的夹角为

c的夹角为__________，ac的最大值为 ． 三、解答题

2，ab6，向量ca，cb的夹角为，ca23，则a与33【命题意图】本题考查平面向量数量积综合运用等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力. x2y2

19．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

20．已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），其中0＜a＜1． （1）求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．

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21．【南京市2018届高三数学上学期期初学情调研】已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R． （Ⅰ）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；

（Ⅱ）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围； （Ⅲ）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a）， 记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．

22．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励．记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）．

（1）写出奖金y关于销售利润x的关系式；

（2）如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？

23．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．

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24．已知函数f（x）=log2（m+（1）求函数f（x）的定义域；

（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

）（m∈R，且m＞0）．

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蒲江县一中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】D

3

【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 5，

故选：D．

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．

2． 【答案】C 【解析】

考

点：平面图形的直观图. 3． 【答案】C 【解析】解：∵∴3x+2=0， 解得x=﹣． 故选：C．

，

【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4． 【答案】A

【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}， ∴CUA={2，4}， ∵B={0，1，4}， 故选：A．

∴（CUA）∪B={0，1，2，4}．

【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．

5． 【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称， 因为P（x1＜3）=P（x2≥a）， 所以3﹣2=4﹣a，

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所以a=3， 故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．

6． 【答案】 C

x

【解析】解：命题p：“∀x∈R，e＞0”，是真命题，

2

命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x0”，即

﹣x0+2＜0，

即： +＜0，显然是假命题，

∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假， 故选：C．

【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．

7． 【答案】B 【解析】当x≥0时，

f（x）=，

由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2； 当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；

由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。 ∴当x＞0时，

∵函数f（x）为奇函数， ∴当x＜0时，

。 。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）， ∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：故实数a的取值范围是8． 【答案】

x2y2p

【解析】解析：选D.双曲线C的方程为－＝1，其焦点为（±2，0），由题意得＝2，

222∴p＝4，即拋物线方程为y2＝8x，

。

。

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双曲线C的渐近线方程为y＝±x，

2

y＝8x由，解得 x＝0（舍去）或x＝8，则P到E的准线的距离为8＋2＝10，故选D.

xy＝±

9． 【答案】B

【解析】解：设点F2（c，0），

由于F2关于直线PF1的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上， 由对称性可得，MF1=F1F2=2c， 则MO=设直线PF1：y=

=

c，∠MF1F2=60°，∠PF1F2=30°，

（x+c），

22222222

代入双曲线方程，可得，（3b﹣a）x﹣2cax﹣ac﹣3ab=0，

则方程有两个异号实数根，

222222

则有3b﹣a＞0，即有3b=3c﹣3a＞a，即c＞

a，

则有e=＞故选：B．

10．【答案】D

．

【解析】解：原式=1﹣（1﹣=1﹣（1﹣

）÷

）÷

=1﹣（1﹣4）× =1﹣（﹣3）× =1+ =． 故选：D．

【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．

11．【答案】A 【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），

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∴AB是正方体的体对角线，AB=设正方体的棱长为x， 则故选：A．

，解得x=4．

∴正方体的棱长为4，

，

【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．

12．【答案】A 【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3． 故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

=

=

．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

二、填空题

13．【答案】

．

=﹣i（1+i）=1﹣i，

．

【解析】解：复数z=复数z=故答案为：

（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．

14．【答案】 1 ．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1， f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1． 故答案为：1．

15．【答案】

．

【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=，

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故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

16．【答案】 4

△PAB是直角三角形，∠ACB=90°【解析】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，又由已知△ABC是直角三角形，所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形， 所以图有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB． 故答案为：4

【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练 应用是解答本题的关键．

17．【答案】 ﹣5 ．

2

【解析】解：求导得：f′（x）=3ax+2bx+c，结合图象可得 x=﹣1，2为导函数的零点，即f′（﹣1）=f′（2）=0， 故

，解得

故==﹣5

故答案为：﹣5

18．【答案】【解析】

，18123. 6第 10 页，共 16 页

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三、解答题

19．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

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1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2

∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k即M（∴|MN|＝ ＝421＋2k

2

，2k1＋2k

2

），N（－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2

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当且仅当2k2＝1，即k＝－

2时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22

即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.

2220．【答案】

【解析】解：（1）要使函数有意义：则有所以函数f（x）的定义域为（﹣3，1）．

，解得﹣3＜x＜1，

=

，

（2）f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3）=loga（1﹣x）（x+3）=

2

∵﹣3＜x＜1，∴0＜﹣（x+1）+4≤4， ∵0＜a＜1，∴

4

由loga4=﹣4，得a﹣=4，

≥loga4，即f（x）min=loga4；

∴a==．

【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查二次函数的最值求解，考查学生分析问题解决问题的能力．

21．【答案】（1）a＝

118（2）（－∞，－1－]．（3） 2e27【解析】

f（x）＋f（－x）＝－6（a＋1）x2≥12lnx对任意x∈（0，+∞）恒成立， 所以－（a＋1）≥令g（x）＝

（2）

2lnx． x2212lnx2lnx，x＞0，则g（x）＝． 23xx第 13 页，共 16 页

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令g（x）＝0，解得x＝e．

当x∈（0，e）时，g（x）＞0，所以g（x）在（0，e）上单调递增； 当x∈（e，＋∞）时，g（x）＜0，所以g（x）在（e，＋∞）上单调递减．

1， e11所以－（a＋1）≥，即a≤－1－，

ee1所以a的取值范围为（－∞，－1－]．

e所以g（x）max＝g（e）＝（3）因为f（x）＝2x3－3（a＋1）x2＋6ax，

所以f ′（x）＝6x2－6（a＋1）x＋6a＝6（x－1）（x－a），f（1）＝3a－1，f（2）＝4． 令f ′（x）＝0，则x＝1或a． f（1）＝3a－1，f（2）＝4．

②当

5＜a＜2时， 3

当x∈（1，a）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，a）上单调递减； 当x∈（a，2）时，f （x）＞0，所以f（x）在（a，2）上单调递增．

又因为f（1）＞f（2），所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（a）＝－a3＋3a2， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－（－a3＋3a2）＝a3－3a2＋3a－1．

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因为h （a）＝3a2－6a＋3＝3（a－1）2≥0．

5，2）上单调递增， 3558所以当a∈（，2）时，h（a）＞h（）＝．

3327所以h（a）在（③当a≥2时，

当x∈（1，2）时，f （x）＜0，所以f（x）在（1，2）上单调递减， 所以M（a）＝f（1）＝3a－1，m（a）＝f（2）＝4， 所以h（a）＝M（a）－m（a）＝3a－1－4＝3a－5， 所以h（a）在[2，＋∞）上的最小值为h（2）＝1． 综上，h（a）的最小值为

8． 27点睛：已知函数最值求参数值或取值范围的一般方法：（1）利用导数结合参数讨论函数最值取法，根据最值列等量关系，确定参数值或取值范围；（2）利用最值转化为不等式恒成立问题，结合变量分离转化为不含参数的函数，利用导数求新函数最值得参数值或取值范围. 22．【答案】

【解析】解：（1）由题意，当销售利润不超过8万元时，按销售利润的1%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5（2A+1）进行奖励， ∴0＜x≤8时，y=0.15x；x＞8时，y=1.2+log5（2x﹣15） ∴奖金y关于销售利润x的关系式y=

（2）由题意知1.2+log5（2x﹣15）=3.2，解得x=20． 所以，小江的销售利润是20万元．

【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．

23．【答案】

22

【解析】解：设g（x）=x+2ax+4，由于关于x的不等式x+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立， ∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，

2

故△=4a﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2． x

又∵函数f（x）=（3﹣2a）是增函数，

∴3﹣2a＞1，得a＜1．

又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假． （1）若p真q假，则

，得1≤a＜2；

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（2）若p假q真，则，得a≤﹣2．

综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．

24．【答案】

【解析】解：（1）由m+∵m＞0，

∴（x﹣1）（x﹣）＞0，

若＞1，即0＜m＜1时，x∈（﹣∞，1）∪（，+∞）； 若=1，即m=1时，x∈（﹣∞，1）∪（1，+∞）； 若＜1，即m＞1时，x∈（﹣∞，）∪（1，+∞）．

（2）若函数f（x）在（4，+∞）上单调递增，则函数g（x）=m+所以解得：

， ．

在（4，+∞）上单调递增且恒正．

＞0，（x﹣1）（mx﹣1）＞0，

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及单调性，不等关系，是函数与不等式的简单综合应用，难度中档．

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