2010年高考理科数学试题答案(全国卷2)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II）（数学

理）

【教师简评】

按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.

1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.

2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.

3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.

3i（1）复数

1i（A）34i （B）34i （C）34i （D）34i 【答案】A

【命题意图】本试题主要考查复数的运算.

2(3i)(1i)3i2【解析】(12i)34i. 21i（2）.函数y221ln(x1)(x1)的反函数是

2（A） ye2x11(x0) （B）ye2x11(x0) （C）ye2x11(xR) （D）ye2x11(xR)

【答案】D

【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。 【解析】由原函数解得

，即

∴在反函数中

，又

，故选D.

；

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x≥1,（3）.若变量x,y满足约束条件y≥x,则z2xy的最大值为

3x2y≤5，（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.

【解析】可行域是由A(1,1),B(1,4),C(1,1)构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3，故选C.

（4）.如果等差数列an中，a3a4a512，那么a1a2...a7 （A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C

【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】a3a4a53a412,a44,a1a2a77(a1a7)7a428 2x2x6＞0的解集为 （5）不等式

x1（A）xx＜2,或x＞3 （B）xx＜2，或1＜x＜3

1，或1＜x＜3 （C） x2＜x＜1，或x＞3 （D）x2＜x＜

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】

解得-2＜x＜1或x＞3，故选C

利用数轴穿根法

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.

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【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两

个有

种方法，共有种，故选B.

（7）为了得到函数ysin(2x（A）向左平移

3)的图像，只需把函数ysin(2x6)的图像

个长度单位 （B）向右平移个长度单位 44（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

22【答案】B

【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.

2【解析】ysin(xysin(x26=)sin2(x)，ysin(2x)=sin2(x)，所以将

1236个长度单位得到ysin(2x)的图像，故选B.

634uuruur （8）VABC中，点D在AB上，CD平方ACB．若CBa，CAb，a1，b2，

)的图像向右平移

uuur则CD

（A）a132213443b （B）ab （C）ab （D）ab 3335555【答案】B

【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为CD平分ACB，由角平分线定理得

ADDB=CA2，所以D为AB的三等分CB1222121点，且ADAB(CBCA)，所以CDCA+ADCBCAab，故选

333333B.

（9）已知正四棱锥SABCD中，SA23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A）1 （B）3 （C）2 （D）3

【答案】C

【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.

【解析】设底面边长为a，则高

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所以体积

，

设，则，当y取最值时，，解得a=0或a=4

时，体积最大，此时

12，故选C.

1（10）若曲线yx在点a,a2处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a

（A） （B）32 （C）16 （D）8

【答案】A

【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力..

1131313222【解析】y'x,ka，切线方程是yaa2(xa)，令x0，

22213113ya2，令y0，x3a，∴三角形的面积是s3aa218，解得a.故选

222A.

AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （11）与正方体ABCDA1BC11D1的三条棱

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个

【答案】D 【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则分别作

，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线

定理可得，PN⊥

PM⊥

；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距

离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

x2y23（12）已知椭圆C:221(a＞b＞0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的

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直线与C相交于A、B两点．若AF3FB，则k

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

【答案】B

【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.

【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为

垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，

，由，

得，∴

即k= 第Ⅱ卷

注意事项：

1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2．本卷共10小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． （13）已知a是第二象限的角，tan(2a)【答案】，故选B.

4，则tana ． 31 2【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

42tan42，又tana，解得231tan311tan或tan，又2a是第二象限的角，所以tan.

22a93（14）若(x)的展开式中x的系数是84，则a ．

x(a2)得tan2a【解析】由tan43【答案】1

【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

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3【解析】展开式中x3的系数是C9(a)384a384,a1.

（15）已知抛物线C:y22px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于

点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p ．

【答案】2

【命题意图】本题主要考查抛物线的定义与性质.

【解析】过B作BE垂直于准线l于E，∵AMMB，∴M为中点，∴BM率为3，BAE300，∴BE1AB，又斜21AB，∴BMBE，∴M为抛物线的焦点，∴p2. 2（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB4．若OMON3，则两圆圆心的距离MN ．

【答案】3

【命题意图】本试题主要考查球的截面圆的性质，解三角形问题.

【解析】设E为AB的中点，则O，E，M，N四点共面，如图，∵AB4，所以

ABOER23，∴ME=3，由球的截面性质，有OMME,ONNE，∵

222OMON3，所以MEO与NEO全等，所以MN被OE垂直平分，在直角三角形中，由

面积相等，可得，MN=2MEMO3

OE三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）

ABC中，D为边BC上的一点，BD33，sinB53，cosADC，求AD． 135【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的

应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参】

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.

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由正弦定理得 ，所以=.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

（18）（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn(n2n)3n． （Ⅰ）求liman；

nSn（Ⅱ）证明：

ana1a2n…＞3． 22212ns1(n1)【命题意图】本试题主要考查数列基本公式an的运用，数列极限和数列不

ss(n2)nn1等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.

【参】

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【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

ACBC，AA1AB，D为BB1的中点，E为AB1（19）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，

上的一点，AE3EB1．

（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线； （Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角

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A1AC1B1的大小．

【命题意图】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解，考查考生的空间想象与推理计算的能力. 【参】 (19)解法一：

（I）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F.

因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D为BB1的中点，故DE∥BF，DE⊥AB1. „„„„„„3分

作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.

又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD. 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.

（II）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45° 设AB=2，则AB1=

，DG=

，CG=

，AC=

.

作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角.

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【点评】三垂线定理是立体几何的最重要定理之一，是高考的的热点，它是处理线线垂直问题的有效方法，同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量，用向量代数形式来处理立体几何问题，淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法，从而降低了思维难度，使解题变得程序化，这是用向量解立体几何问题的独到之处. （20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

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（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

【命题意图】本试题主要考查事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力. 【参】

【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.

（21）（本小题满分12分）

x2y2 己知斜率为1的直线l与双曲线C：221a＞0，b＞0相交于B、D两点，且BDab京翰教育 www.zgjhjy.com

的中点为M1,3． （Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFBF17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参】

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【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （22）（本小题满分12分） 设函数fx1e．

x（Ⅰ）证明：当x＞-1时，fx（Ⅱ）设当x0时，fxx； x1x，求a的取值范围． ax1【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能

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力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参】

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【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.

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