函数的单调性知识点总结及练习

2.3 函数的单调性

学习目标：

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.

2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．

重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理

1．函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1,x2∈D,

当x1当x1 f(x2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间． 2．函数单调性的判断方法： （1）定义法．步骤是：

①任取x1，x2∈D，且x1②作差f(x1)－ f(x2)或作商，并变形，

③判定f(x1)－ f(x2)的符号，或比较及1的大小， ④根据定义作出结论．

（2）图象法；借助图象直观判断．

（3）复合函数单调性判断方法：设yfu,ugx,xa,b,um,n

若内外两函数的单调性相同，则yfgx在x的区间D内单调

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递增，

若内外两函数的单调性相反时，则yfgx在x的区间D内单调递减． 3．常见结论

若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数数．

二、例题精讲

题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间

（1）ykxb,（2）， （3）yax2bxc．

1f(x)在其定义域内为减函

2．求函数yx22|x|3的单调区间．

1

３．判断函数f（x）＝2 的增减情况．

x－4x

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题型2：用定义法证明单调性 1.证明函数y=2x+5的单调性

5．判断函数f（x）＝在（1,2）上的增减情况．

题型3：单调性的应用：

1．已知f(x)(k23k4)x2k1在R上是增函数,则k的取值范围． 2．函数f(x)x2(m1)x2在(,4]上是减函数,则求m的取值范围． 3．已知函数f(x)x22ax2,x5,5上是单调函数，a的取值范围是． 3

4．函数f（x）是R上的减函数,求f（a－a＋1）及f（ ）的大小

4

2

关系 ．

题型4：抽象函数的单调性及其应用：

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1.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是．

2．设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）

求证：（1）f（1）＝0；

1

（2）f（ ）＝－f（x）；

x（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数．

三、巩固练习

1．函数的单调递_____区间是______________________．

2．函数y2x2x1的单调递增区间为_______________________． 3．已知f(x)(2k1)xb在R上是增函数，则k的取值范围是______________．

4．下列说法中，正确命题的个数是______________． ①函数yx2在R上为增函数；

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②函数在定义域内为增函数；

③若f(x)为R上的增函数且f(x1)f(x2)，则x1x2； ④函数的单调减区间为(,0)(0,)． 5．函数f(x)x1的增区间为． 6．函数的单调减区间为．

7．函数f(x)4x2mx1在(,2]上递减，在[2,)上递增，则实数m＝．

28．已知函数y（fx)在R上是增函数，且f(m)＞f(-m)，则m的取值

范围是: __________．

9．函数f(x)x22x8的单调减区间．

10．若函数f(x)4x2mx5m在[2,)上是增函数，则实数m的取值范为；

11．函数yx22|x|1的单调增区间为．

12．求证函数在0,是单调增函数．

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