八年级数学上册几何添辅助线专题

八年级数学上册几何添辅

助线专题

The document was prepared on January 2, 2021

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 1) 遇到等腰三

模式是全等

2) 遇到三角形

角形，利用

3) 遇到角平分

角的两边作

角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用

“三线合一”的性质解题

2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段

的长，

6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形 7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60

度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三

角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

知识点常常

点作该角平

在该角的两

点再向角平

4) 过图形上某

等变换中的

5) 截长法与补

等，或是将

关性质加以目．

6) 已知某线段

个端点作连

特殊方法：

点的线段连接起

一、倍长中线（

例1、（“希望

值范围是______解：延长AD至

AB-BE <2AD例2、如图，△

BE+CF与EF的大

解：(倍长中线,EG,

显然BG＝FC，

在△EFG中，注意到DE⊥DF，由等腰三角形的三线合一知 EG＝EF

在△BEG中，由三角形性质知 EGBDEAAFCBQP∠

例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 解：延长AE至G使AG＝2AE，连BG，DG, 显然DG＝AC， ∠GDC=∠ACD 由于DC=AC，故 ∠ADC=∠DAC 在△ADB与△ADG中， BD＝AC=DG，AD＝AD，

∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG

故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE

二、截长补短

1、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC 解：（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知 DF⊥AB，故∠AFD＝90°

故∠△FB

故有CBF＝从而;AB＝AD+BC

3、如图，已知在

并且AP，BQ分别

解：（补短法, 在等腰△BPD中从而∠BDP＝40°△ADP≌△ACP（故AD＝AC

又∠QBC＝40°＝

BD＝BP

从而BQ+AQ=AB+

4、如图，在四边

求证： AA△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC

解：（补短法D△B故∠又故

C2、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE △ADE≌△AFE（SAS） ∠ADE＝∠AFE， ∠ADE+∠BCE＝180°

BADB故有∠BAD+∠BC

5、如图在△ABC

EPB-PC

C解：（补短法）△ABP≌△AFP（故BP＝PF

由三角形性质知

PB－PC＝PF－PC < CF＝AF－AC＝AB－AC 应用：

分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题。A D 解：有BCADAE 连接AC，过E作EF//BC并AC于F点 则可证AEF为等边三角形 E 即AEEF，AEFAFE60 ∴CFE120 C B A D 又∵AD//BC，B60 ∴BAD120 又∵DEC60 ∴AEDFEC F E 在ADE与FCE中 C EADCFE，AEEF，AEDFEC B ∴ADEFCE ∴ADFC ∴BCADAE 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。 三、平移变换

例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于为MN上一点，△ABC周长记为

PA，△EBC周长记为PB.求证PB＞PA.

证明：取BC中点

∵BD=CE, ∴DM=EM,

∴△DMN≌△EMA∴DN=AE, 同理BN=CA. 延长ND交AB于相加得BN+BP+D各减去DP,得BN∴AB+AC>AD+AE。

四、借助角平分

1、如图，已知在

证：OE=OD，DC+

解：（镜面反射法）延长BA至F，使AF＝AC，连FE AD为△ABC的角平分线, MN⊥AD 知∠FAE＝∠CAE 故有

△FAE≌△CAE（SAS） 故EF＝CE

在△BEF中有： BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA

BAE证明(角平分线在则∠BAC+∠BCA=AD,CE均为角平则∠OAC+∠OCA∠AOC=120度在AC上截O又AO=

.

DC例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.

∠AOF=∠AOE=60则∠COF=∠AOC-又CO=CO;∠OCD故⊿OCD≌ΔOCFOD=OF;CD=CF. OE=OD

DC+AE=CF+AF=AC

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. 解：(垂直平分线联结线段两端)连接BD，DC DG垂直平分BC，故BD＝DC

由于AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，EA故

G∴FGFD ∴FEFD 证法二：如∵B60，∴可得2∴GEF6又∵HDF∴GEF有 BCFED＝DF

D故RT△DBE≌RT△DFC（HL） 故有BE＝CF。 AB+AC＝2AE AE＝（a+b）/2 BE=(a-b)/2 应用：

1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对

称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠

BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不

变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不

成立，请说明理由。 F

B 解：（1）FE与FDM之间的数量关系为

FEFDB （2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。E

E 证法一：O 如图1，在PAC 上截取AGAE，连结D

F D FG ∵12，AF为公共边，A C ∴AEF图①AGF

N A 图② 图③

C

∴AFEAFG，FEFG (第23题图)

B ∵B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 ∴2360

∴AFECFDAFG60

E ∴CFG60

F D ∵34及FC为公共边

1 4 ∴CFGCFD

2 3 A G C

图 1

∴可证EG∴FEFD

有

⑴作顶角的平分例：已知，如图

求证：∠BA证明：（方

则∠1

又∵

∴AE∴∠∵BD∴∠∴∠∴∠（方（方

⑵有底边中点时例：已知，如图

于E，求证：DE =证明：连结

∵D∴BD又∵∴AD∵DE∴DE

⑶将腰延长一倍

例：已知，

F，使

求证：EF⊥BC

A证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则

AB = AN = AC

∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC ∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o PBC∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o

E∴∠BCA＋∠ACN = 90o

即∠BCN = 90o ∴NC⊥BC ∠∠∵∴∴∵∴又∴∵AE = AF

∴∠AEF = ∠AFE

又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFE ∠BAC = ∠ACN ＋∠ANC ∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC ∴∠AEF = ∠ANC ∴EF∥NC

∴EF⊥BC

A⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线 例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB

上，E在AC延长线上，且BD = DCE，连结DE交BC于F 求证：DF = EF

B1NF2CA证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，

E∠NDE = ∠E，

D∵AB = AC， ∴∠B = ∠ACB

B1CF2M∴∠B =∠DNB E∴BD = DN 又∵BD = CE ∴DN = EC

在△DNF和△ECF中 ∠1 = ∠2 ∠NDF =∠E DN = EC

∴△DNF≌△ECF ∴DF = EF

（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD =

AE，连结DE 求证：DE⊥BC

证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则

即∴又∴（证（证

⑹常将等腰三角

例：已知，

∠PBC 解法一

AE = AB = BE ∵AB = AC

∴AE = AC ∠∴∠AEC =∠AC∵∠EAC =∠BA = 80o ∴∠ACE =

12(∵AB = BE ∴AB = BP

∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o ∴∠PAB =

1(180o－∠ABP)= 70o 2解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则

3. 已知E是正方 求证：AF解：过E作EG⊥ ∵∠D=90 AE平分∠ ∵ED=EC ∵∠EGF= ∴△EGF≌ ∵ED=EG，EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o ∵EB = EC

∴E在BC的中垂线上 同理A在BC的中垂线上

∴EA所在的直线是BC的中垂线 ∴EA⊥BC

∠AEB = 12∠BEC = 30o =∠PCB

由解法一知：∠ABC = 50o

∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC ∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB ∴△ABE≌△PBC

∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA

∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o

∴∠PAB =

12(180o－∠ABP) = 12(180o－40o)= 70o 1. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数。

解：连结CD ∵∠ECD＋∠BDC=∠B＋∠E =180°－∠BOE=180°－∠COD ∴∠A＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E =∠A＋∠ECD＋∠BDC＋∠ACE＋∠ADB =∠A＋（∠ECD＋∠ACE）＋（∠BDC＋∠ADB） =∠A＋∠ACD＋∠ADC =180°

2. 如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F。求证：AF=EF。 解： 延长AD至G，使DG=AD，连结BG

∵BD=DC，∠BDG=∠ADC ∴△BGD≌△CAD ∴BG=AC=BE，∠G=∠CAD ∴∠G=∠BEG=∠AEF ∴∠AEF=∠CAD ∴AF=EF

∴△ADE≌ ∴AF=AG＋ 即AF=AD 4. 已知：在△

求证：CE

证明：延长BA ∵BE平分

∴CE=12C 又∵AB=A ∠ACF=∠ ∴△ACF≌

∴CE=12CB