三角函数复习

三角函数复习

一、正弦函数和余弦函数的图象：

二、正弦函数ysinx(xR)、余弦函数ycosx(xR)的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是1,1， 对ysinx，当x2k2kZ时，y取最大值1；

3kZ时，y取最小值－1； 2对ycosx，当x2kkZ时，y取最大值1，

当x2k当x2kkZ时，y取最小值－1。

例1：若函数yabsin(3x则a__，b＿

（答：a31)的最大值为，最小值为，

2261； ,b1或b1）

2（2）函数f(x)sinx3cosx（x[22,]）的值域是____

（答：[－1, 2]）；

（3）若2，则ycos6sin的最大值和最小值分别是____ 、_____

.

（答：7；－5）；

（4）函数f(x)2cosxsin(x此时x＝__________

（答：2；k3)3sin2xsinxcosx的最小值是_____，

12； (kZ)）

特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？

（3）周期性：

①ysinx、ycosx的最小正周期都是2；

②f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的最小正周期都是T如(1)若f(x)sin

（答：0）；

4(2) 函数f(x)cosx2sinxcosxsinx的最小正周期为____

42。 ||x3，则f(1)f(2)f(3)f(2003)＝___

（答：）；

(3) 设函数f(x)2sin(x)，若对任意xR都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则

25|x1x2|的最小值为____

（答：2）

（4）奇偶性与对称性：

正弦函数ysinx(xR)是奇函数，

.

对称中心是k,0kZ， 对称轴是直线xk2余弦函数ycosx(xR)是偶函数，

对称中心是k,0kZ，

2对称轴是直线xkkZ

（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象

与x轴的交点）。

如（1）函数ysin

（答：偶函数）；

（2）已知函数f(x)axbsinx1(a,b为常数），

且f(5)7，则f(5)______

（答：－5）；

（3）函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________

（答：(3kZ；

52x的奇偶性是______ 2kk； ,1)(kZ)、x(kZ)）

2828（4）已知f(x)sin(x)3cos(x)为偶函数，求的值。

（答：k6(kZ)）

.

（5）单调性：

ysinx在2k,2kkZ上单调递增，

223在2k,2kkZ单调递减； 22ycosx在2k,2kkZ上单调递减，

在2k,2k2kZ上单调递增。

特别提醒，别忘了kZ！

三、形如yAsin(x)的函数： （1）几个物理量：

1―频率（周期的倒数）；x―相位；―初相； T（2）函数yAsin(x)表达式的确定：

A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，

A―振幅；f

如f(x)Asin(x)(A0,0，||

23Y29X-223题图2)的图象如图所示，则f(x)＝_____

（答：f(x)2sin(15； x)）

23（3）函数yAsin(x)图象的画法：

①“五点法”――

设Xx，令X＝0，

2,,3,2求出相应的x值， 2计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ②图象变换法：这是作函数简图常用方法。

.

（4）函数yAsin(x)k的图象与ysinx图象间的关系： ①函数ysinx的图象纵坐标不变，

横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位 得ysinx的图象；

②函数ysinx图象的纵坐标不变，

1， 得到函数ysinx的图象；

横坐标变为原来的

③函数ysinx图象的横坐标不变， 纵坐标变为原来的A倍，

得到函数yAsin(x)的图象； ④函数yAsin(x)图象的横坐标不变， 纵坐标向上（k0）或向下（k0），平移k个单位 得到yAsinxk的图象。

要特别注意，若由ysinx得到ysinx的图象， 则向左或向右平移应平移| 如

（1）函数y2sin(2x

（答：y2sin(2x移

|个单位， 4)1的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？

)1向上平移1个单位得y2sin(2x)的图象，再向左平44个单位得y2sin2x的图象，横坐标扩大到原来的2倍得y2sinx的图象，最后将81纵坐标缩小到原来的即得ysinx的图象）；

2（2）若函数fxcosxsinxx0,2的图象

与直线yk有且仅有四个不同的交点， 则k的取值范围是

（答：[1,2)）

.

（5）研究函数yAsin(x)性质的方法： 类比于研究ysinx的性质，

只需将yAsin(x)中的x看成ysinx中的x， 但在求yAsin(x)的单调区间时，

要特别注意A和的符号，通过诱导公式先将化正。

如（1）函数ysin(2x

3)的递减区间是______

5； ,k](kZ)）

1212x（2）ylog1cos()的递减区间是_______

342（答：[k

（答：[6k,6k343； ](kZ)）

42（3）设函数f(x)Asin(x)(A0,0,称，它的周期是，则

A、f(x)的图象过点(0,) B、f(x)在区间[的图象关于直线2对)x231252,]上是减函数 1235 C、f(x)的图象的一个对称中心是(,0) 12 D、f(x)的最大值是A

（答：C）；

.

（4）对于函数fx2sin2x①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线x给出下列结论： 312成轴对称；

③图象可由函数y2sin2x的图像向左平移④图像向左平移

个单位得到； 3个单位，即得到函数y2cos2x的图像。 12其中正确结论是_______

（答：②④）；

（5）已知函数f(x)2sin(x)图象与直线y1的交点中，距离最近两点间的距离为

，那么此函数的周期是_______ 3

（答：）

四、正切函数ytanx的图象和性质： （1）定义域：{x|x2k,kZ}。

遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：

是周期函数且周期是，

它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期。 绝对值或平方对三角函数周期性的影响：

一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方， 其周期性是：弦减半、切不变．

既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinx

cosx的周期为

1，而y|2sin(3x)|,y|2sin(3x)2|，y|tanx|的周

6262k,0kZ， 2期不变；

（4）奇偶性与对称性：

是奇函数，对称中心是特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：

.

一类是图象与x轴的交点，

另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴， 这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性： 正切函数在开区间k,kkZ内都是增函数。

22但要注意在整个定义域上不具有单调性。如下图：

五、 三角形中的有关公式： (1)内角和定理： 三角形三角和为，

这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！

锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：

abc2R(R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC注意：

① 正弦定理的一些变式：

iabcsinAsinBsinC；

iisinAabc； ,sinB,sinC2R2R2Riiia2RsinA,b2RsinB,b2RsinC；

222②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解. (3)余弦定理：a2b2c22bccosA,cosAbca等，常选用余弦定理鉴定

2bc三角形的形状.

(4)面积公式：

S1aha1absinC1r(abc)（其中r为三角形内切圆半径）.

222

如ABC中，若sinAcosBcosAsinBsinC， 判断ABC的形状

（答：直角三角形）。

.

22222特别提醒：

（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC这个特殊性：

ABC,sin(AB)sinC,sinABCcos； 22（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角

互化。

如（1）ABC中，A、B的对边分别是a、 b，且A=60, a6, b4， 那么满足条件的ABC

A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

（答：C）；

（2）在ABC中，A＞B是sinAsinB成立的_____条件

（答：充要）；

（3）在ABC中，(1tanA)(1tanB)2，则log2sinC＝_____ （答：1）； 2

(4)在ABC中，a,b,c分别是角

A、B、C所对的边，若

； (abc)(sinAsinBsinC)3asinB，则C＝____（答：60）

a2b2c2（5）在ABC中，若其面积S，则C=____（答：30）；

43

（6）在ABC中，A60, b1，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_______（答：

239）； 3.

（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a3,cosA1BC=，,则cos23219b2c2的最大值为（答：;）；

32

（8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是（答：0C

六、反三角函数：

（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：

6）；

arcsina表示一个角，这个角的正弦值为a,且这个角在,内(1a1)。

22(2)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是

[,],[0,],(,). 2222

.