分析与三⾓函数⾓所在象限有关的常见题型
学⽣在解答与三⾓函数相关的题型中，经常在判断三⾓函数符号时出现错误，为帮助学⽣理解这⽅⾯的知识，现将与三⾓函数⾓所在象限有关的常见题型分析如下：
⼀、根据三⾓函数的符号，判断⾓所在象限。
例、已知cos θ·sin θ<0，那么⾓θ是( )． A．第⼀或第⼆象限⾓ B．第⼆或第三象限⾓C．第⼆或第四象限⾓ D．第⼀或第四象限⾓解：)因为cosθ·sin θ<0，所以有：
①此时，由sinθ<0判断θ在第三或第四象限或y轴负半轴，由cos θ>0判断θ在第⼀或第四象限或x轴正半轴，故θ在第四象限．
②此时，由sinθ>0判断θ在第⼀或第⼆象限或y轴正半轴，由cos θ<0判断θ在第⼆或第三象限或x轴负半轴，故θ在第⼆象限．
所以⾓θ是第⼆或第四象限⾓．
⼆、由⾓的象限，判断三⾓函数值的符号。
例：θ是第⼆象限⾓，则下列选项中⼀定为正值的是( )． A．sin B．cosC．tan D．cos 2θ
解：因为θ是第⼆象限⾓，所以为第⼀或第三象限⾓，所以tan>0，故选C.三、由⾓的象限确定某个字母的符号。
例：已知⾓θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是⾓θ终边上⼀点，且sinθ＝－，则y＝( )
A．－8 B．8 C．－4 D．4
解：根据题意sinθ＝－<0及P(4，y)是⾓θ终边上⼀点，可知θ为第四象限⾓．再由三⾓函数的定义得，＝－，⼜∵y<0，∴y＝－8(合题意)，y＝8(舍去)．综上知y＝－8.
四、根据⾓的象限结合函数值，确定其他三⾓函数值的符号。例：已知α为第⼆象限⾓，sinα＝，则sin2α＝( )．A．－ B．－ C. D.
解： sinα＝，∵α是第⼆象限⾓，则cos α＝－＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－.五、诱导公式中三⾓函数符号的应⽤。例：设f(α)＝(1＋2sin α≠0)，则f＝________.解： ∵f(α)＝＝＝＝，∴f＝＝＝＝.
六、判定⾓所在象限，求三⾓函数值或⾓度。
例：(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．解 (1)∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π，∴cos＝ ＝，sin＝ ＝，
∴cos ＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，
∴0<α<，⼜∵tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.
