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１６ 中等数学 类迭代函数性质的进一步探究 郑日锋 （浙江省杭州学军中学，３１１３０１２） １问题的提出 因此，数列｛ｏ ｝为递增数歹Ｕ，且 １ ２ １ 题目设ｆ（ｘ）＝ ＋０．记 ０ｎ＋ｌ 一２－ ａｎ一—４— 一 ｆ （ ）＝－厂（ ）， ｆ （ ）＝／．（ 一 （ ））（ｎ：２，３，…）， （ ）（ ）． ～ ｛ａＥＲＩ 寸ｆ壬意正整数ｎ，Ｉｆ （０）Ｉ≤２｝． 故ｌ。 ＋ 一 ｌ＝ｌ。 一 ｌ·ｌ。 ＋丢１． 证明：Ｍ＝【＿２，丢】．［１］ （ｉ）当 ｌ： 时， （２００６，全国高中数赛） 此题是一道函数迭代问题，实质是在特 。 ：ｆｎ（ ）： １（ｎ：１２，…）． 定有界集内，求参数ａ的取值范围问题．本 文将对这种类型的函数迭代作进一步的推广 （ｉｉ）当ｌ ｌ＜ 时，由数学归纳法得％＜ 与讨论．为此提出如下的问题： 由单调上升有上界的数列必有极限得 设厂（ ）＝ ＋ａ．记 （ ）＝ ）， ｌｉｍ％： ． （ ）＝ （ｘ））（ｎ：２，３，…）． 当ａ、 变化时，集合 （ｉｉｉ）￣Ｉ Ｉ＞ 时， Ｓ＝｛ｆ （ ）Ｉ ｎ＝１，２，…｝ 是否有界？何时有界？ ％＋１≥％≥…≥。１＞ ， ２问题的解决 口 ＋１一口 ＝口２ １ ａｎ＋ 记ａ ＝ （ ），则ａ ＋ ＝０２ ＋ａ，且规定 ａｏ · （。 一 ） ≥（。 一 １） ． 以下分六种情形研究（限于篇幅，仅对情 形１作较为详细地论述）． 所以， （ｎ＿１）（。 一 ） ． 故ｌｉｍ ａ ＝＋∞． （１）若０＝ １，则 综上，当ｌ ｌ＝ 时， ～ ）＝ １有 ）＝ ＋ ， 界； １＝。 ＋ （％一 ）２＋。 ≥ 当ｌ Ｉ＜ 时， ２＋ （ ）＜ ，ｓ有界； 当ｌ ｌ＞ 时， ｎ（ ） ＋∞，Ｓ无界． 收稿日期：２００７—０６—０８ 修回日期：２００７—０９—１０ 维普资讯 http://www.cqvip.com
２００８年第３期 １７ （２）若０＞ ，ｌｉｍ ｆ （ ）＝＋。。，Ｓ无界． 会出现类似Ｃａｎｔｏｒ集的结构），则 叶 ＋∞ 当Ｉ Ｉ＞ ｌ（１＋ ）时， （３）若０≤口＜ １则 ｌｉａｒ ｆ （ ）＝＋ｏ。，Ｓ无界； 当 ：± （１＋，／１—－４—ａ）Ｈ￣，， 当Ｉ Ｉ≤ １（１＋￣／厂 ）时，有如下的 ，ｎ（ ）： １（１＋，／１—－４—ａ）Ｓ有界； 引理： 当Ｉ Ｉ＞ （１＋，／１—－４—ａ）￣， 引理， （ ）＝一 （１＋ ）有２ ， （ ）＞ （１＋，／—１－—４ａ），个属于 ｌｉｒａ， （ ）＝ 一＋ｏ。，Ｓ无界； （一 １（１＋Ｃ—１－—４ａ，）， １（１＋ ）） 当 ２（１一￣／１－４ａ）＜Ｉ Ｉ＜ １（１＋ 的不同根．ｆ （ ）＝ Ｉ（１＋￣／厂 ）有２ 个 ）时，—１－—，／ １－４ａ属于 ＜ｆｎ（ ）≤ ｚ＋口，Ｊｓ 有界； ［一扣＋，／一１－４ａ，）， （１＋ ）］ 当 ：± １（１的不同根． ）时，厂 （ ）： 由引理可得命题： （１一￣／１－４ａ），Ｓ有界； 命题１设 ：｛ Ｉｆ （ ）∈［一 （１＋ 当Ｉ Ｉ＜ １（１Ｖ厂『二 ）时， ｚ＋口≤ ｖ厂 ）， １（１＋ｖ厂 ）】｝，又设 ，ｎ（ ）＜ （１一￣／１－４ａ），Ｓ有界． ， （ ）＝ １（１＋，／１－４ａ） （４）若口＝一２，则 的２” 个不同的根为 当Ｉ Ｉ≤２时，Ｉｆ （ ）Ｉ≤２，Ｓ有界； Ｌ（１＋ｖ厂ｒ二 ）＝ １＜ ２＜… 当Ｉ Ｉ＞２时，ｌｉｍ厂 （ ）＝＋ｏ。，Ｓ无界． 注：当口＝一２时， ＜ ＋－＝ （１＋ ）． 厂 （戈） ２ｃｏｓ（２ ａｒｃｏｏｓ号）， ≤２； 则 ＝Ｕ［ ， ］，且每个区间的端 点有且只有一个满足方程 （ 华厂川 ， （ ）＝ （１＋ ）． （５）若一２＜ ＜０，则 证明：当 ＝０时， 当Ｉ戈Ｉ≤ （１＋￣／ｒ ）时， Ｆ０＝｛ Ｉ，０（ ）∈［一１／１＋、 ），１／１＋ ）］｝ １ 口≤／ （ ）≤告（１十￣／１—４ ）， 有界； ［一 （１＋Ｃ一１－４ａ）， ＋ ）］， 当Ｉ戈Ｉ＞ （１＋￣／ｒ ）时， 满足条件． 设 时命题成立，则 ｌｉｍ ｆ （ ）＝＋ｏ。，Ｓ无界． ， （ ）＝ １（１＋ ）（６）若口＜一２（情况变得比较复杂，甚至 维普资讯 http://www.cqvip.com １８ 中等数学 最口ｆ川（ ）＝ （１＋￣／１－４ａ） 或ｆ ＋ （ ）；一 （１＋Ｊ －１－－：￣ａ）． 因此，ｆ （ ）＝１（１＋ 个根实质为， ＋ （ ）＝ １（１＋ ）的２” ）的 最后，由前面的Ｙ： 与Ｙ： 的构造方法 可以看出： 当 ∈（ ２ ， ２ ）且 ｆ川（ ）≥一 （１＋ （ ２㈧，ｙ２ ）时， ）； 当ｘＥ（Ｙ２ 一１，Ｙ２ ）时， （ ）＜一 （１＋瓜）． ２ 个根 １＜ ２＜…＜ ２…与 ” （ ）＝ 又 ＋ ，且 （１＋ ＿＝ ）的２ 个根Ｙ１＜Ｙ２＜… （ ）≤ （１＋ＪＴＴ￣１－４ａ）， ＜Ｙ２ｎ＋·之并． 下面证明：Ｙ 是插在２ 个区间［ ｚ 一 ， ： 于是，ｆ． ＋ （ ）≤喜（１＋ 综上， ＋ ＝－Ｕ（［ ）． ］（ ＝１，２，…，２ ）中的． 不妨取［ ： ， ： ］，由归纳假设知 （ ２ ）：一百１（１＋ＪＴ－４￣）（ ： ）一１（１＋瓜一 ］Ｏ Ｅｙ￣，２Ｃ２ ］）． 命题２ ｛ ｌ数列｛ （ ）｝有界｝＝ ｎ ． ）． 证明：显然，｛ ｌ数列｛ （ ）｝有界｝ ｎ ． 由介值定理可知，存在ｔ。∈（ 。 ， ： ）， 使得 （ｔｏ）＝０．因此， （ 。）：。＜一 （１＋￣／１：４ａ）． 考虑到 ｆ （ ２ ）＝ 又若 ｈ ，则存在乃。ＥＮ＋，使 ）． Ｉｐｏ（ ）ｌ＞ （１＋ （ ２ 一１） 由（４）可知ｌｉａｒ ｆ （ ）＝＋∞． ４（１＋ ） ）． 所以，｛ ｌ数列｛ （ ）｝有界｝ ｎ ． 综上，｛ Ｉ数列｛ （ ）｝有界｝－ｎ ． 由此得到，当 ∈ｎ 时， ＞一 （１＋￣／＿ 再次应用连续函数介值定理可知，存在 Ｙ２ ∈（ ２ ，ｔｏ）与Ｙ２ ∈（ｔｏ， ２ ），使得 ｆ （ｙ２ １）＝一１（１＋、／ ｉ—： ）１（１＋ ）≤ （ ） ）， ｆ” （ｙ： ）＝一去（１＋ 考虑到 ）． ） ≤ （１＋ Ｊｓ有界； 当ｌ ｌ≤ （１＋．／Ｔ２４ａ）￣ ｆ” （ ）＝一 （１＋ ｎ＋ｔ，可得 只有２” 个根Ｙ１＜Ｙ２＜…＜Ｙ２时，Ｊｓ无界． 值得指出的是，由上面的讨论，可得前面 （ ）＝ （１＋瓜） 的２００６年全国高中数赛试题的结论，这 是本文研究的一个价值所在． 参考文献： ［１１ ２Ｏ０６年全国高中数赛ＩＪ］．中等数学，２ｏｏ６（１２）． 的根为 １＜Ｙ１＜Ｙ２＜ ２＜ ３＜Ｙ３＜Ｙ４＜ ４＜ …＜ ， ＋１．
