二次函数系数 a、b、c 与图像的关系
一、首先就 y=ax 2 +bx+c（a≠0）中的 a，b，c 对图像的作用归纳如下：
1 a 的作用： 决定开口方向： a > 0 开口向上； a < 0 开口向下；决定张口的大小： ∣a∣越大，抛物线的张口越小． 2
b 的作用： b 和 a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关． b 与 a 同号，说明
b 0 ，则对称轴在 y 轴的左边；
2 a
b 与 a 异号，说明 -
2???? > 0，则对称轴在 y 轴的右边；
特别的， b = 0，对称轴为 y 轴． 3 c 的作用： c 决定了抛物线与
y 轴的交点纵坐标．抛物线与
y 轴的交点（ 0， c）
c > 0 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴； c < 0 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴； 特别的， c = 0，抛物线过原点．
2
4 a,b,c 共同决定判别式 ?= ?? - 4????的符号进而决定图象与
x 轴的交点
2
?? - 4????> 0
与 x 轴两个交点 2
?? - 4????= 0
与 x 轴一个交点 2
?? - 4????< 0
与 x 轴没有交点
5 几种特殊情况： x=1 时， y=a + b + c ；
x= -1 时， y=a - b + c ．
当 x = 1 时， ∣ 若 y > 0 ，则 a + b + c >0； ∣ 若 y < 时 0，则 a + b + c < 0 当 x = -1 时， ∣ 若 y > 0 ，则 a - b + c >0； ∣ 若 y < 0，则 a - b + c < 0 ． 扩： x=2, y=4a + 2b + c ； x= -2, y=4a -2b + c ；
x=3, y=9a +3 b + c ； x= -3, y=9a -3b + c 1
。
反之， 我 相 的二次函数 象，我 可以得到其系数 及它 合成的一些关系 构（例如 称
a,b,c 以
- ; 判 式 b -
2a
b2
4ac ; y = a + b + c⋯⋯ 等等）的符号 二、 典例 解
例 1 已知二次函数
a 2
bc a 0 的图像如图，则
a、 b、 c 满足（
） y
A． a < 0 ， b < 0， c > 0 ； B． a < 0， b < 0， c < 0 ； C．a < 0 ，b > 0 ， c > 0 ； D． a > 0，b < 0 ， c > 0 ；
O x
例 2（ 2015 呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是： ∣a 2 ∣b 2 ∣
A ．a > b > c > d
c 2 ∣d 2 ，则 a， b， c， d 的大小关系是
B． a > b > d > c
y
．
①
②
C．b > a > c > d D． b > a > d > c
O x
③ ④
例 3 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴 x=-1 ，给出下列结果①b2＞4ac；② abc＞0；③2a+b=0；④ a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜ 0，则正确的结论是
（）
A、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤
2
练习
1. （ 2015?重庆）已知抛物线
y=ax2+bx+c （ a≠0）在平面直角坐标系中的
位置如图所示，则下列结论中，正确的是（
A、 a＞ 0
B 、b＜ 0
C、 c＜ 0
）
D、 a+b+c＞ 0
y
O x
2.（ 2015?文山州）已知二次函数
y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则
a， b，c 满足（ ）
A 、 a＜ 0，b＜ 0， c＞0， b2- 4ac＞ 0 B 、 a＜ 0， b＜0， c＜ 0， b2- 4ac＞ 0 C、 a＜ 0， b＞0， c＞ 0， b2- 4ac＞ 0 D、 a＞ 0，b＜ 0， c＞0， b2- 4ac＞ 0
3.（2015?泸州）已知二次函数
2
y=ax 2+bx+c（ a，b，c 为常数， a≠0）的图象如图所示，有
下列结论： ① abc＜0，② b - 4ac＞ 0，③ a-b+c=0 ，④ a+b+c＞ 0，其中 正确结论的个数是（ ） A 、 1
B、 2
C、3
D、 4
4.（2015?仙游县二模）已知二次函数
2
y=ax +bx+c （ a≠0）的图象如图所示，给出以下结
④ abc＞ 0．
论： ① a+b+c＜0； ② a﹣ b+c＜ 0； ③ b+2a＜0； 其中所有正确结论的序号是（ A ． ③④
B ． ②③
）
C． ①④
D ． ①②③
3
5.（ 2011?雅安）已知二次函数
y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴
x=-1 ，给出下列结果①
b2 ＞4ac；② abc＞ 0；③ 2a+b=0；④ a+b+c＞0；⑤ a-b+c＜ 0，则正确的结论是（ ）
A 、①②③④
B、②④⑤
C、②③④
D 、①④⑤
6.（2015?黔南州）如图所示为二次函数
y=ax 2+bx+c（ a≠0）的图象，
在下列选项中错误的是（ ）
A、 ac ＜ 0 B 、 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大
C、 a+b+c＞0 D
、方程 ax 2+bx+c=0 的根是 ??=-1 ， ??=3
1
2
能力提升
1. ① abc已知二次函数＜0；
y=ax2+bx+c
②a-b+c ＞0；（ a≠ 0）的图象如下图所示，有下列
5 个结论 ：
③2a+b=0；
2
④b - 4ac＞ ；
0
⑤a+b+c＞ m（am+b） +c（m＞1 的实数），
其中正确的结论有 （ ）
A． 1 个 B．2 个 C． 3 个 D．4 个
2. （ 2014?玉林一模）如图是二次函数
y=ax2
+bx+c 图象的一部分，图象过点
A（﹣ 3，0），对称轴为 x= ﹣ 1．给出四个结论： ① b2
＞ 4ac； ② 2a+b=0； ③ 3a+c=0；④ a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（ ）
4
A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D ．4 个
3. （ 2015?天津）已知二次函数 y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的图象如图所示，有下列结论： ① b2 - 4ac＞ 0； ② abc＞ 0； ③ 8a+c＞ 0； ④9a+3b+c ＜0 其中，正确结论的个数是（
A 、 1
B、 2
）
C、3
D、 4
4. 如图所示，二次函数 y=ax2 +bx+c（a≠0）的图象经过点（ -1 ， 2），且与 x 轴交点的
横坐标为 x1、 x2，其中 -2 ＜ x1＜ -1 ，0＜ x2＜ 1，下列结论：① abc ＞0；② 4a-2b+c ＜ 0；③
2a-b ＞ 0；④ b2+8a＞ 4ac，正确的结论是
5
