平面向量综合试题(含答案)

平面向量

一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①ABCABC ②OAOCOB ③ACOB2OA 其中正确结论的个数是 （ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 ．．2． 下列命题正确的是 （ ）

A．向量AB的长度与向量BA的长度相等 B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C．若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线 D．若a b c，则a c

3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则 等于( )

A.+ B. C. D.+

4． 若

A．

，且与也互相垂直，则实数的值为( )

D.3

B.

C.

B.6 C.

5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在A.上的正射影的数量为（ ）

D.

(2,－1) .

(0,5) 且点P在

的延长线上,

,3) D.(2,－7)

6． 己知, 则P点坐标为( )

A.(－2,11) B.( C.(

7．设a，b是非零向量，若函数f(x)(xab)(axb)的图象是一条直线，则必有（ ） A．a⊥b

B．a∥b

C．|a||b|

D．|a||b|

8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（ ） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 （A）ACACAB （B） BCBABC （C）ABACCD （D） CD2222(ACAB)(BABC)AB2

2210． 设两个向量a(2,cos)和b(m,msin),其中,m,为实数.若a2b,则的取值范2mC.(,1]

D.[1,6]

围是 ( ) A.[6,1] B.[4,8]

10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于( )A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)}

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D．{(0,1)}

b的夹角为60，ab1，则aab ． 二. 填空题:11．若向量a，

A

12．向量a=2，，4b=11，．若向量b(a+b)，则实数的值是 13．向量a、b满足 B ． D C

a=b=1，3a2b=3，则 3ab =

14． 如图，在ABC中，BAC120,AB2,AC1,D是边BC上一点，DC2BD,则

ADBC__________.

15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为 三. 解答题：

16.设两个非零向量e1、e2不共线.如果AB=e1+e2,BC2e1+8e2,CD=3(e1-e2) ⑴求证:A、B、D共线; ⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.

．

ANBOCM17. 已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.

π3π

sinα－－cos＋α22π5

17．(10分)已知sin(α＋)＝－，α∈(0，π)．(1)求

25sinπ－α＋cos3π＋α3π

求cos(2α－)的值．

4

的值；(2)

18．已知矩形相邻的两个顶点是A（－1，3），B（－2，4），若它的对角线交点在x轴上，求另两个顶点的坐标．

19. 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0).

20．已知向量a(sin,1),b(1,cos),（1）若c5，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.

22．(1)若ab，求； (2)求ab的最大值．

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21.设向量a(sinx,cosx),b(cosx,cosx),xR，函数f(x)a(ab).

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f(x)

25

22．(12分)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝．

5

ππ5

(1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<，－<β<0，且sin β＝－，求sin α．

2213

平面向量参

一、选择题：1-5:BABBC 6.A 7. A 【解析】f(x)(xab)(axb)abx(|a||b|)xab,

若函数f(x)的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ab=0， a⊥b.

8.D 9. C.【分析】： ACACABAC(ACAB)0ACBC0，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为CDABACBC，通过等积变换判断为正确.

2210. A【分析】由a(2,cos),b(m,3成立的x的集合. 22222222222mm，设sin),a2b,可得222cosm2sin2km22m22k2cos2sin，再m消去化简得k代入方程组可得2222km2kkmcosm2sin1422cos2sin0化简得2再令t代入上式得k2k2k21(sin21)2(16t218t2)0可得(16t218t2)[0,4]解不等式得t[1,]因而

8111解得6k1.故选A 10. A

k2821211二、填空题： 11. 【解析】aabaabaabcos601。

22224b=11，．向量12.-3 .解析：已知向量a=2，，ab(2,4)，b(a+b)，则2+λ+4+λ=0，实数=－B13.

14. 【分析】根据向量的加减法法则有:BCACAB

ADA C3．

83112ADABBDAB(ACAB)ACAB,此时

333N B OC

M 整理为word格式

2212122AD·BC(ACAB)(ACAB)ACAC·ABAB

333331818. 333315. 解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2 三、解答题：16.⑴∵BDBCCD5e1+5e2=5AB , ∴AB//BD又有公共点B,∴A、B、D共线 ⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2) ∴ k=λ且kλ=1 ∴k=1 17.⑴由ABAC0可知ABAC即AB⊥AC

⑵设D（x,y）,∴AD(x2,y4),BC(5,5),BD(x1,y2)∵ADBC ∴5(x-2)+5(y-4)=0

x∵BD//BC ∴5(x+1)－5(y+2)=0 ∴y7252 ∴D(,7533)AD(,) 2222π5525

17．解 (1)sin(α＋)＝－，α∈(0，π)⇒cos α＝－，α∈(0，π)⇒sin α＝.

2555

π3π

sinα－－cos＋α22－cos α－sin α1

＝＝－.

sinπ－α＋cos3π＋αsin α－cos α3(2)∵cos α＝－2α＝－2

. 10

525433π22，sin α＝⇒sin 2α＝－，cos 2α＝－.cos(2α－)＝－cos 2α＋sin 5555422

18．解：因为矩形对角线交点在x轴上，故设交点为M（x，0），由|MA|=|MB|得：

(x1)232(x2)242解得：x=－5，∴交点为M（－5，0）

又设矩形另两个顶点为C（x1，y1）、D（x2，y2）

1x152∵M是AC的中点，由中点坐标公式得

3y102故所求两个顶点的坐标为（―9，―3），（―8，―4）。

x19同理可求得：x8,y4

22y1319. 解：(1) AB(3,4), AC(c3,4) 当c=5时，AC(2,4)

cosAcosAC,AB61652515 进而sinA1cos2A25 525252

(2)若A为钝角，则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)<0解得c>3显然AB和AC不共线，故c的取值范围为[3，+)

20．解：（Ⅰ）若ab，则sincos0，由此得：tan1,(（Ⅱ）由a(sin,1),b(1,cos),得：

22)，所以， 4．

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ab(sin1)2(1cos)232(sincos)322sin() 4422221. 解：（Ⅰ）∵f(x)a(ab)aaabsinxcosxsinxcosxcosx

当sin(4)1时，ab取得最大值，即当时，ab的最大值为21．

1132321sin2x(cos2x1)sin(2x)∴f(x)的最大值为，最小正周期是

22224223233sin(2x)， （Ⅱ）要使f(x)成立，当且仅当224223即sin(2x)02k2x2kkxk,kZ,

4884即f(x)33,kZ 成立的x的取值集合是x|kxk8822

2

2

2

2

22．解 (1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|＝|a|－2a·b＋|b|＝|a|＋|b|－2(cos αcos β＋sin αsin β) 2524432

＝1＋1－2cos(α－β)，|a－b|＝()＝，∴2－2cos(α－β)＝得cos(α－β)＝．

5555

ππ345

(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π．由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，由sin β＝－得

22551312

cos β＝．

13

4123533

∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×(－)＝．

51351365

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