淮海工学院08 - 09学年 第2学期 设计数学基础试卷(A)答案

08 - 09学年 第 2 学期 设计数学试卷(A开卷)

答案与评分标准

题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 （填首卷） 分值 12 12 20 20 22 14 100 得分 一、问答题（本大题12 分）

你对数学美是如何认识的？并举例说明．

答：略 第一问8 分 第二问4分

二、组合设计题（本大题共12分）

请你用一些简单的平面图形进行组合，设计一幅反映2009年全球齐心抗击甲型H1N1流感病题材的宣传作品，并给出一句精彩而简洁的宣传语．

解：略 第一问9 分 第二问3分

三、计算题（本大题共20分）

已知：yln3x112x，

（1） 求y'，dy；

（2）求该函数所示曲线过x0处的切线方程与法线方程． 解：（1）y12[ln(3x1)x]--------------------------------------------------------2

y'1[ln(3x1)x]'1122[ln(3x1)]'2---------------------------------------3 12(3x1)(3x1)'11232(3x1)2----------------------------------------3

dyy'dx[312(3x1)2]dx-------------------------------------------------------4

（2）x0时，y0------------------------------------------------------------------2

切线斜率k1y'(0)1，故切线方程为yx--------------------------------3 法线斜率k21，故法线方程为yx-------------------------------------3

四、计算设计题（本大题20分）

设平面区域D由x0,x1,yx所围成，

（1）在直角坐标系中画出D； （2）求D的面积；

（3）请以D为基本设计特征，利用位置与比例的变化，创作一幅彰显韵律的作品，并给作品命名． 解：（1）略------------------------------------------------------------5

（2）S1--------------------------------------------------------------------------30xdx

32x2]13[023------------------------------------------3

（3）略

作品设计-----------------------------------------------------------------------------------7 作品命名----------------------------------------------------------------------------------2

１五、证明计算题（本大题22分）

欧洲国家拥有深厚的海报传统，许多城市街头都有应用DIN制比例系统的标准 海报展示区。如图1，把一张短边长为a的标准P矩形纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、„ （1）证明：“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸都是P矩形纸；

（2）如图2，将“8开”纸ABCD的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；将长边AD与折痕AE对齐折叠，则点D正好与点E重合，求铺平后得到的折痕AF之长； （3）如图3，现需在“8开”纸ABCD内设计由8个大小相等的小正方形构成的“L”型图案，它的四个顶点E、F、G、H分别位于边AB、BC、CD、DA上，试求小正方形的边长b． 4开 A B D A H

E D a 2开 8开 F

G

B C B C 图1 图2 E

F 图3 （1） 证明：略-------------------------------------------------------------------------------------6 （2） 由图二知AB224a , ECBCAB24a---------------------------2

因ABE,ECF为等腰Rt， 有AE22AB214a2,EF22EC232224a-------------------------------2

于是，AFAE2EF24222a--------------------------------------------2

（3） 设DGx，因HDGGCF，DGGCFHGF12，

CF2DG2x--------------------------------------------------------------------------3

又FBEGCF,则BFCG24ax-----------------------------------------2 而CFBFBC1222a，解得x4a--------------------------------------2

故由CF2CG2FG216b2 知b1244x(24ax)29628a---------------------------------------3

２六、应用问答题（本大题14 分）

2009年5月12日是我国四川省汶川地震一周年纪念日，在灾后重建工作中，江苏某公司承建了一批汶川某类仓库的建设任务．为了提高抗震能力，将仓库设计为：下部的形状是高为1米的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3米的正六棱锥（如右图所示）．

（1） 设OO1x米，试用x表示仓库的体积V； （2） 当x为多少时，仓库的体积V最大？

解：设OO1为x米,则由题设可得正六棱锥底面边长为

32(x1)282xx2（单位：米）------2

于是底面正六边形的面积为（单位：平方米）

634(82xx2)2332(82xx2)------2

仓库的体积为（单位：立方米

）

V(x)33(82xx2)13323(x1)1(1612xx)-------------------------2

2则V(x)322(123x)------------------------------------------------------------------------2

令V(x)0，解得x2------------------------------------------------------------------------2 又V''(x)323x0,--------------------------------------------------------------------------2

故当OO12，即帐篷的高为2米时，其体积最大．-------------------------2