等腰直角三角形模型三垂直模型

题型一：等腰直角三角形模型

思路导航

等腰直角三角形数学模型思路：

⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90°，45，45）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.

C C

45°45°BA ADB

图1 图2

图3 图4

典题精练

【例1】 已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，BAC90°，O为BC的中点，

B⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C 的距离的关系（不要

求证明）

⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论. N⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． A【解析】 ⑴OA=OB=OC ⑵连接OA,

∵OA=OC BAOC45° AN=CM ∴△ANO≌△CMO

∴ON=OM

∴NOAMOC

∴NOABONMOCBON90 ∴NOM90

∴△OMN是等腰直角三角形

⑶△ONM依然为等腰直角三角形，

证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC中点 ∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°， ∴AO=BO=OC，

∵在△ANO和△CMO中，

ANCMBAOC AOCOBOMCONACMNBO∴△ANO≌△CMO（SAS） ∴ON=OM，∠AON=∠COM， 又∵∠COM∠AOM=90°， ∴△OMN为等腰直角三角形．

【例2】 两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如

图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的 中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

【解析】△EMC是等腰直角三角形．

证明：连接AM．由题意，得 oDEAC,DAEBAC90o,DAB90. ∴△DAB为等腰直角三角形.

MACMDBEACMDBEAC∵DMMB，

∴MAMBDM,MDAMAB45o． ∴MDEMAC105o， ∴△EDM≌△CAM．

∴EMMC,DMEAMC．

又EMCEMAAMCEMADME90o． ∴CMEM，

∴△EMC是等腰直角三角形．

【例3】 已知：如图，△ABC中，ABAC，BAC90°，D是AC的中

点，AFBD于E，交BC于F，连接DF． 求证：ADBCDF．

B

【解析】 证法一：如图，过点A作ANBC于N，交BD于M．

∵ABAC，BAC90°， ∴3DAM45°．

∵C45°，∴3C．

∵AFBD，∴1BAE90°

∵BAC90°，∴2BAE90°． ∴12．

在△ABM和△CAF中，

112B

ABAC 3C

∴△ABM≌△CAF．∴AMCF． 在△ADM和△CDF中， ADCDDAMC AMCF∴△ADM≌△CDF． ∴ADBCDF．

证法二：如图，作CMAC交AF的延长线于M． ∵AFBD，∴3290°， ∵BAC90°， ∴1290°， ∴13．

在△ACM和△BAD中， 13 ACABACMBAD90°∴△ACM≌△BAD．

∴MADB，ADCM

ADEFCA32MENFDCA21EB3FMDC∵ADDC，∴CMCD． 在△CMF和△CDF中， CFCFMCFDCF45° CMCD∴△CMF≌△CDF．∴MCDF ∴ADBCDF．

【例4】 如图，等腰直角△ABC中，ACBC，ACB90°，P为△ABC内部一点，满足 PBPC，APAC，求证：BCP15．

A

P

BC

【解析】 补全正方形ACBD，连接DP，

DAPBC易证△ADP是等边三角形，DAP60，BAD45，

∴BAP15，PAC30，∴ACP75， ∴BCP15．

【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4为求角度的应用，其他应用探究如下：

【探究一】证角等

【备选1】如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M为AC中点，连结BM，作AD⊥BM交BC于点D，连结DM，求证:∠AMB=∠CMD．

AEBDMCBAEDM12NFC

【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC，延长AD交CF于点N，

∵AN⊥BM，由正方形的性质，可得AN=BM，

易证Rt△ABM ≌Rt△CAN，∴∠AMB=∠CND，CN=AM， ∵M为AC中点，∴CM=CN，

∵∠1=∠2，可证得△CMD≌△CND， ∴∠CND=∠CMD， ∴∠AMB=∠CMD．

【探究二】判定三角形形状

【备选2】如图，Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，AD=CE，AN⊥BD于点M，延长BD交NE的延长线于点F，试判定△DEF的形状．

AFDMBNECBAFDMNECKH

【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC，

可知四边形ABHC为正方形，延长AN交HC于点K， ∵AK⊥BD，可知AK=BD，易证:Rt△ABD≌Rt△CAK， ∴∠ADB=∠CKN，CK=AD， ∵AD=EC，∴CK=CE，

易证△CKN≌△CEN，∴∠CKN=∠CEN， 易证∠EDF=∠DEF，∴△DEF为等腰三角形．

【探究三】利用等积变形求面积

【备选3】如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且

BE=4，CF=3，求S矩形DFAE．

BGNBDEMDFECFACA

【解析】 作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB，

可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M， 可知DN=EB=4，DM=FC=3，

由正方形对称性质，

可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·DN=34=12．

【探究四】求线段长

【备选4】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，CD=2，求AD的长．

AAFCDBCDGBE

【分析】此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已

知条件不是等腰直角三角形，但∵∠BAC=45°，若分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形．

【解析】 以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB，再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC．

可知BE=BD=3，FC=CD=2，

延长EB、FC交点G，∵∠BAC=45°，

由对称性，可得∠EAF=90°，且AE=AD=AF， 易证四边形AFGE为正方形，且边长等于AD， 设AD=x，则BG=x－3，CG=x－2，

在Rt△BCG中，由勾股定理，得x2x352， 解得x=6，即AD=6．

【探究五】求最小值

【备选5】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AC的中点，P为斜边AB上的

动点，求PM+PC的最小值．

APMMAPD22

【解析】 将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB，可知

四边形ACBD为正方形，连接CD，可知点C关于AB的对称点D，连接MD交AB于

点P，连接CP，则PM+PC的值为最小，最小值为:PM+PC=DM=422225．

CBCB

题型二：三垂直模型

常见三垂直模型

例题精讲

【引例】 已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，⑴求证：AC⊥CE；

⑵若将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形，ABC1D， A

其余条件不变，试判断AC⊥C1E这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.

EAAE1BC2D

EAEAEBC1CDBC1D(C)BC1DCC1BDC① ② ③ ④

【解析】 ⑴∵AB⊥BD，ED⊥BD

∴BD90 中 在△ABC与△CDEABCDBDBCDE ∴△ABC≌△CDE（SAS）

1E ∴∵2E90

∴ACE90,即AC⊥CE

⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明

△ABC≌△C1DE

∴ACBC1ED

90 ∴DC1EACB90 ∵C1EDDC1E ∴AC⊥C1E

典题精练

10，8，4，点C在第一象限．求正方【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0，形边长及顶点C的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边

的平方.）

yyDD

CC AA2

13 FEBB

xOOG

【解析】 过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F

x10，8，4点A、B的坐标分别为0，∴BE=8， AE=6，∴AB=10

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC ∵13902390 ∴12

∵AEBBFC90

∴△AEB≌△BFC

∴CF=BE=8，BF=AE=6 ∴CG=12 EF=14

∴C(14，12)，正方形的边长为10

【点评】 此题中三垂直模型：

【例6】 如图所示，在直角梯形ABCD中，ABC90，

AD∥BC，ABBC，E是AB的中点，CEBD． ⑴ 求证：BEAD；

⑵ 求证：AC是线段ED的垂直平分线； ⑶ △DBC是等腰三角形吗？请说明理由．

AEMD

BC【解析】⑴∵ABC90，BDEC，

∴ECBDBC90，ABDDBC90，∴ECBABD， ∵ABCDAB90，ABBC， ∴△BAD≌△CBE，∴ADBE． ⑵∵E是AB中点，∴EBEA

由⑴得：ADBE，∴AEAD

∵AD∥BC，∴CADACB45， ∵BAC45，∴BACDAC

由等腰三角形的性质，得：EMMD，AMDE 即AC是线段ED的垂直平分线． ⑶△DBC是等腰三角形，CDBD

由⑵得：CDCE，由⑴得：CEBD ∴CDBD，∴△DBC是等腰三角形．

巅峰突破

【例7】 ⑴如图1，△ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE，连接AE、

CD相交于点P．请你补全图形，并直接写出∠APD的度数= ； ⑵如图2，Rt△ABC中，∠B=90°，M、N分别是AB、BC上的点，且AM=BC、BM=CN，连接AN、CM相交于点P．请你猜想∠APM= °，并写出你的推理过程．

CC

NP

AABBM

图1图2

C【解析】 ⑴图略，60°

⑵45°

N证明：作AE⊥AB且AECNBM. PE可证△EAM≌△MBC

∴MEMC，AMEBCM.

∵CMBMCB90,∴ CMBAME90. ∴ EMC90.

∴ △EMC是等腰直角三角形,MCE45. 又△AEC ≌△CAN（SAS） ∴ ECANAC.

AMB∴ EC∥AN.

∴ APMECM45.

复习巩固

题型一 等腰直角三角形模型 巩固练习

C【练习1】 如图，△ACB、△ECD均为等腰直角三角形，则图中与

△BDC全等的三角形为_________. E【解析】 △AEC

B AD【练习2】 如图，已知Rt△ABC中ACB90°，ACBC，D是BC的中点，CEAD，垂足

为E．BF∥AC，交CE的延长线于点F．求证：AC2BF． 【解析】 ∵ACB90°，BF∥AC，

∴ACDCBF90°， ADCCAD90°． ∵CEAD，

∴FCBADC90°， ∴CADFCB． 又∵ACCB，

∴△ADC≌△CFB． ∴DCFB．

∵D是BC的中点， ∴BC2BF， 即AC2BF． 题型二 三垂直模型 巩固练习

【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE =AD，DF⊥

AE，垂足为F．请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明．

【解析】 经探求，结论是：DF = AB．

证明如下：

∵四边形ABCD是矩形， ∴ ∠B = 90o ， AD∥BC， ∴ ∠DAF = ∠AEB．

∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD = 90o， ∵ AE = AD ，

∴△ABE≌△DFA． ∴ AB = DF．

【练习4】 如图，△ABC中，ACBC，BCA90°，D是AB上任意一点，

AECD交CD延长线于E，BFCD于F．求证：EFBFAE． 【解析】 根据条件，ACE、CBF都与BCF互余，

CAEDFBCEAFDBA D B F E C ∴ACECBF．

在△ACE和△CBF中，

ACCB，AECCFB90°， ∴△ACE≌△CBF． 则CEBF，AECF， ∴EFCECFBFAE．

【练习5】 四边形ABCD是正方形．

⑴如图1，点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：△ABF ≌△DAE；

⑵在⑴中，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)；

⑶如图2，点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 (直接写出结论即可，不需要证明)．

A

EF

BBC G图1

【解析】 ⑴在正方形ABCD中，AB=AD，BAD90°

∴BAFDAE90°

ADFEDGC图2QBAFABF90 ∴ABFDAE 在△ABF和△DAE中 ABFDAE,AFBDEA, ABDA,∴△ABF≌△DAE（AAS） ⑵EFAFBF ⑶△ABF≌△DAE

EFBFAF

课后测

测试1. 问题：已知△ABC中，BAC2ACB，点D是△ABC内的一点，且ADCD，

BBDBA．探究DBC与ABC度数的比值．

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． 当BAC90时，依问题中的条件补全右图．

CA观察图形，AB与AC的数量关系为________；

当推出DAC15时，可进一步推出DBC的度数为_______； 可得到DBC与ABC度数的比值为_________． B【解析】 相等；15° ；1:3

D

CA 图1

测试2. 已知：如图，在△ABC中，ACB90，CDAB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB=FC. 【解析】 ∵FEAC于点E，ACB90°，

∴FECACB90°． ∴FECF90°． 又∵CDAB于点D， ∴AECF90°． ∴AF．

在△ABC和△FCE中， AF,ACBFEC, BCCE,FDBAEC∴△ABC≌△FCE． ∴ABFC．

测试3. 如图， Rt△ABC中，∠C=90°,AC10cm，BC5cm，一条

线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AM上运动. 当△ABC和△APQ全等时,点Q到点A的距离为___________ .

【解析】 5cm或10cm.

MQBCPA