关于第一类换元积分法教学思路的探讨

来源：微智科技网

　　　　专题研究　１４２　　　　　　　　　　　　　　ＺＨＵＡＮＴＩＹＡＮＪＩＵ关关于第一类换元积分法教学思路的探讨

于第一类换元积分法教学思路的探讨◎甘　媛　（福建船政交通职业学院，福建　福州　３５０００７）

　中的一个重要的计算方法　【摘要】第一类换元积分法又叫凑微分法，也是难点．针对高职高专教育对，是微积分学

ｃ＝

１

象的特点，在仔细分析凑微分法的基础上，总结出适应学生这样通过拼凑５

ｓｉｎ５ｘ＋ｃ．、换元、积分、回代，可以得出最后的答案．数学基础的新的思想方法———拼“里”凑“数”，通过不同类而这四步中其实最重要、最难的是第一步，而抓住一切都和型的总结归纳，有效地化解教学难点，让学生更容易理解和复合函数有关．因此，在教学讲解过程中可以说得更通俗易掌握，懂点，有一个小技巧，那就是拼“里”凑“数”，“里”指的是复“数”；【从而提高高职数学教学效果关键词不同类型

】第一类换元积分法．

；凑微分法；拼“里”凑合函数的最里层的简单函数，“数”这里指的一定是常数，而不是变量．而这个常数是通过上一步微分的常数结果要一、引　言

变为１得到的．记住一点：后面拼函数，前面凑常数．这样，学高等数学中，不定积分的第一类换元法又叫凑微分法，生可以更好地理解并掌握求导的方法．

是这一章教学的重点，更是难点．如何理解利用微分的知识三、不同类型的重要题型以及解题思路

进行拼凑后再换元求解，特别是要突破拼凑这个难点就显得尤为重要．

类型１：二、研究与探讨

∫ｅ－７ｘｄｘ＝－１∫ｅ－７ｘｄ(－７ｘ)＝１∫

ｔ

我们先回忆一下复合函数求导法，比如：ｙ＝ａｒｃｓｉｎ１

－１７ｅｔ＋ｃ＝－１ｅ－７ｘ＋ｃ．７－７

ｅｄｔ＝

对于这一种类型７

，基本难度不大，可以总结归纳成①ｙ＝ａｒｃｓｉｎｔ，ｔ＝１ｘ．②ｄ函数ａｘ＋ｂ，前面凑常数１

：后面拼

ａ．道理都是相通的，也比较好理解．

－ｄｙｔ＝１１－ｔ２，ｄｄｘｔ＝－ｘ１２．③ｄｄｙｘ＝ｄｄｙｔ·ｄｄｘ

ｘｔ

，

＝

１１

－ｔ类型２：２·

ｘ１２

．④ｄｄｙｘ＝－１１－·

ｘ１

２

．简单说来，其实可以分ｘ１２

分析　∫

ｘ２这一类型为一个简单函数乘一个复合函数·

ｘ３－２ｄｘ．

．虽

然和上一种类型完全不一样，但是我们可以抓住第一类换成四步：分解、求导、相乘、回代．

元法求解的原函数恰恰就是能分解为两个简单函数的复合第一类换元法求解的原函数恰恰就是能分解为两个简单函数的复合函数，再加上积分实际上是求导或微分的逆函数．看到复合函数ｘ３－２，根据拼“里”凑“数”，找到该运算，因此，在凑微分的过程中必须要逆向运用函数的微分复合函数的“里”是ｘ３－２，这样其实拼的函数部分已经出运算，这也是第一类换元法（即凑微分法）中最重要的一个来了，就是ｘ３－２，接下来要进行的就是前面的凑常数部分，步骤．具体公式如下：

根据微分的运算结果可以知道Ｆ（ｔ）∫ｆ[φ（ｘ）]φ′（ｘ）ｄｘ＝＋ｃ＝Ｆ［φ（ｘ）］＋ｃ．

根据复合函数求导法的四步过程∫ｆ[φ（ｘ）]ｄ［φ（ｘ）］＝，我们求积分也可以∫ｆ（ｔ）ｄｔ＝

３ｘ２ｄｘ，而对照原题目就会发现，，ｄｘ２(ｘ３－２)＝（ｘ３－２）′ｄｘ＝题目本身已经含有了，真正有影响、有关系的还是只有常数，最终还是回归到了凑常数部分，而和函数ｆ（ｘ）＝ｘ２没有关系了中，只需要看到常数３，所以前面凑常数１

．在真正解答过程

即可以变回原题

归纳为四步：拼凑、换元、积分、回代．

在理解这四个步骤的过程中，先要理解为何拼凑微分目的系数１．因此

３

后就能求解出答案，这个需要利用换元的思路来解释．先要明白ｆ（ｘ）ｄｘ和ｆ（ｔ）ｄｔ虽然字母不一样，但含义是一样的，ｘ２·ｘ３－２ｄｘ＝１ｘ３－２ｄ(ｘ３－２)＝１

ｔ原函数的求解方法也是一样的．

比如：来，我们把∫

ｃｏｓｘｄｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃ，那么ｔ换成５ｘ后，可以换成ｃｏｓ∫

ｃｏｓ５ｘｄ５ｔｄｘｔ＝＝ｓｉｎｓｉｎｔ＋５ｘｃ＋，接下

＝１３∫·２ｔ３＋ｃ＝（ｘ３∫∫

ｄｔ

２２３

－２）３３

２＋ｃ．这样就可以清楚为何类型３９

２和类型１的题目完全不同，ｃ，其实是因为类型１中拼的函数是ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ，它的导数结

为前面积分中的∫ｔ被后面积分中的∫

∫

５ｘ完全取代了．其实真正因果就只有常数ａ，所以只需凑常数１

ａ

即可．类型２中拼的函

的原题是数不再是ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ这种一次函数，而是不同类型的简分少了个５，ｃｏｓ那我们应该怎样来处理５ｘｄｘ，对比一下ｃｏｓ５？ｘｄ５先把后面的微分部分ｘ，可以看到微分部单函数，那么不同类型的简单函数的导数结果并不仅仅只拼成５ｘ，再根据微分的运算ｄ（５ｘ）＝（５ｘ）′ｄｘ＝５ｄｘ，与原题含有常数，所以在原题中就显示为一个简单函数乘一个复相比只是系数部分多乘了５，只要把系数再变成１就可以了．合函数的形式．而原题中的简单函数实际上就是复合函数而这整个过程就是拼凑，后面拼函数，前面凑常数，这样就

最“里”的导数结果中含ｘ形式的部分．所以类型２虽然整体看上去会比类型１难一些，但其实抓住问题的本质，剖析题拼凑成了１

ｃｏｓ５ｘｄ５ｘ，再利用前面所讲的换元原理型的内在，还是能很快找到解决问题的方法，宗旨依旧还是求出原函数了５

，就能

．

拼“里”凑“数”．

∫

ｃｏｓ５ｘｄｘ＝１５∫ｃｏｓ５ｘｄ（５ｘ）＝１５∫

对于类型２的总结：一个简单函数乘一个复合函数，题ｃｏｓｔｄｔ＝１

５

ｓｉｎｔ＋

目中这两种函数非常容易辨别．而这个简单函数其实就是复合函数最“里”层函数的导数结果中含ｘ形式的部分，因此，依旧抓住拼“里”凑“数”就能轻松解决问题．

数学学习与研究　２０２０􀆰１８

ａｒｃｔａｎｘ

类型３：ｄｘ．

１＋ｘ２

１

分析　可以先写成·ａｒｃｔａｎｘ，为何要先写成乘

１＋ｘ２

法形式？其实是因为复合函数求导结果是两个简单函数的导数结果相乘这一原理．因此，不管是哪种类型的题目，如果碰到函数之间为分式或除法运算，就可以先改成乘法形式，这样可以帮助理清这两个函数．

这一类型为一个简单函数乘一个简单函数，和上述两种类型完全不一样，感觉是完全抓不到方向．其实不然，我们虽然不能找到复合函数，很直观地进行拼“里”凑“数”，但是可以参照类型２中的导数结果，特别是：这个简单函数其实就是复合函数最“里”层函数的导数结果中含ｘ形式的部分．从这里可以发现，其实拼凑微分法最重要的过程还是和导数有关，我们观察相关导数就好．例如，一个函数为ｆ（ｘ）＝１

，一个函数为ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，很明显，ａｒｃｔａｎｘ的导数１＋ｘ２

１

就是．根据前面类型的经验，我们知道，要拼的函数绝

１＋ｘ２

对不是导数，那么就只能拼函数ｆ（ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ，所以原题

１

中自然要出现．最后凑常数１即可．

１＋ｘ２

ａｒｃｔａｎｘ１

＝ｄｘａｒｃｔａｎｘｄｘ＝ａｒｃｔａｎｘｄ（ａｒｃｔａｎｘ）

１＋ｘ２１＋ｘ２

＝ｔｄｔ＝ｔ＋ｃ＝（ａｒｃｔａｎｘ）２＋ｃ．

２２

综上所述，会发现类型３虽然是一个简单函数乘一个简单函数，但只需要发现哪个函数是导数，再把导数“消失”，保留原函数的那部分，然后进行拼凑，就能找到解决问题的关键．

１

类型４：ｄｘ．

２５＋４ｘ２

分析　这一类型第一反应好像和类型１有点像，但不同的是，类型１给出的是复合函数，而类型４给出的是简单函数．但至少都只给出一个函数，所以和类型２、类型３不大一样．因此，解题思路还是会更接近类型１，所以，我们要借助类型１的解答方法．

好好思考，这个函数和哪个基本初等函数的导数结果有点相似呢？这个还是比较明显的，就是ａｒｃｔａｎｘ的导数为１

，再想和复合函数有联系能变化的是哪个部分就能分１＋ｘ２

析出解决该题目的思路和方向了．根据类型１的解答方法，很明确能变化的部分应该为ｘ２的系数部分．按照这条思路，我们可以清晰知道，先要把２５化成１，而化成１只有两种方

１

法，一是２５减２４等于１，二是２５前面乘等于１．明显减法

２５

１

变１的意义不大，采用乘，刚好利用分式的性质完全可以

２５

１１４

达到，因此，变为ｄｘ．再接着考虑ｘ２的整体换

２５４２２５

１＋ｘ

２５

２

２１１ｘ，即元，化成ｄｘ．２５２５２

ｘ１＋５

做完以上化简的步骤后，现在开始考虑拼“里”凑“数”

∫

２

ｘ，根据微分的运算，５

２２２２ｘ＝ｘ′ｄｘ＝ｄｄｘ，最后根据导数的结果系数５５５５

５

要凑成１，所以必须凑常数．

２

１１１

＝ｄｘｄｘ２

２５２５＋４ｘ２２

ｘ１＋５２５１１１１

＝＝ｘ·ｄｄｔ２

５２２５１０１＋ｔ２２

ｘ１＋５

１１２＝ａｒｃｔａｎｔ＋ｃ＝ａｒｃｔａｎｘ＋ｃ．１０１０５

通过这道题，可以以此类推：当常数ａ，ｂ同号时，

１１１

ｄｘ＝ｄｘ２

ａｂ２ａ＋ｂｘ

１＋ｘ

ａ就显得简单多了，拼函数ｆ（ｘ）＝

()()

∫

()

()()∫

∫

∫∫∫

ｂöｘ÷ａø

１１ｂ＝ａｒｃｔａｎｔ＋ｃ＝ａｒｃｔａｎｘ＋ｃ．（因为分母开

ａｂａｂａ平方根，所以被开方数要大于０）

这一类型解决问题的关键是化简，因为这道题不是含ａｘ＋ｂ的复合函数，所以，化简的思路是利用中学的数学知识先把一个函数化成两个函数乘积的形式．比如，ｃｏｓ３ｘ，可以拆成一次方乘二次方，然后为了找到原函数和导数，一定利用正、余弦的平方关系再次进行化简．这样就可以很容易找到简单函数和复合函数，再利用拼“里”凑“数”就可以完全解答出来．

＝

ａ１·ｂａ

∫

æ１＋ç

１

ｄç２

æèｂöｘ÷＝ａø

１ａｂ

１

ｄｔ∫１＋ｔ

２

∫

∫ｃｏｓｘｄｘ＝∫ｃｏｓｘ·ｃｏｓｘｄｘ＝∫ｃｏｓｘ·（１－ｓｉｎｘ）ｄｘ＝

１

ｔ＋ｃ＝ｓｉｎｘ－∫（１－ｓｉｎｘ）ｄ（ｓｉｎｘ）＝∫（１－ｔ）ｄｔ＝ｔ－３

３

２

３

∫

１

又如何化简成两个函数乘积的形式

ｅ－ｘ＋ｅｘ

呢？其实还是利用分式的性质，分子、分母同时乘一个数或函数，保持不变．而分母中有ｅ－ｘ和ｅｘ，所以优先会想到指数函数ｅｘ．这样就化简成一个简单函数乘一个复合函数形式，再利用类型２的拼凑方法进行拼“里”凑“数”，以此达到解决问题的目的．

１１１ｘ

＝＝ｄｘｅ·ｄｘｄ（ｅｘ）＝－ｘｘｘ２ｘ２

ｅ＋ｅ１＋（ｅ）１＋（ｅ）１

ｄｔ＝ａｒｃｔａｎｔ＋ｃ＝ａｒｃｔａｎ（ｅｘ）＋ｃ．２

１＋ｔ

四、结束语

第一类换元积分法的应用求解的确有一定的难度，学生只要仔细剖析，学会思考问题的基本方法，学习解决问题的技巧，就能掌握知识，并不断地积累经验，从而解决问题．

而对于

１

ｓｉｎ３ｘ＋ｃ．３

∫

∫∫∫

()

∫

()

【参考文献】

［１］同济大学应用数学系．高等数学：第５版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００２．

［２］邹小云．对不定积分换元积分法的再认识［Ｊ］．哈尔滨师范大学自然科学学报，２０１３（０３）：３６－３９．

数学学习与研究　２０２０􀆰１８

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