北师大版八年级上学期期中考试数学试题(含答案)

江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学试卷

一．选择题（每小题3分，共18分）

1．下列四个选项中，不是y关于x的函数的是（ ） A．|y|=x﹣1 B．y=

C．y=2x﹣7 D．y=x2

2．已知实数x，y满足|x﹣5|+=0，则代数式（x+y）2013的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．0 D．9

3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2

4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

5．如图，两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

A． B． C． D．

6．一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（ ）

①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④

二．填空题（每题3分，共24分） 7．9的算术平方根是 ． 8．y=

中实数x的取值范围是 ．

1

9．已知点A（a，﹣3）与B（，b）关于x轴对称，则a+b= ． 10．若函数y=（m﹣1）x

|m|

是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．

的结果是 ．

11．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，那么化简|m﹣n|﹣

12．如图，y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．

13．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b），

按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于 ． 14．图（1）是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分CDEF为矩形旗面．如图（2），将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，则彩旗下垂时最低处离地面的高度h= cm．

三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）3+2﹣6 （2）（π﹣3）0+|﹣2|﹣

÷16．（7分）先化简，再求值： （+）2﹣（﹣）（

+（﹣1）﹣1． +

），其中a=3，b=4．

2

17．（7分）已知a=（﹣2）﹣1，b=，c=（2012﹣π）0，d=|2﹣

|．

（1）请化简这四个数；

（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，并比较m、n的大小． 18．（6分）已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上；

（2）点M在第二、四象限的角平分线上； （3）点M在第二象限，且a为整数； （4）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴． 19．（8分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．

20．（7分）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：

（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

21．（7分）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点． （1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．

3

22．（8分）“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间（t时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题： （1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？

（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？ （3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）

23．（10分）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+2

．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn． ∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+na= ，b= ；

）

）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：

（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：

=（ + + ）2；

（3）若a﹣6=（m﹣n）2且a、m、n均为正整数，求a的值．

24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），△ABO的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M． ①求直线AB的解析式；

②当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）

③过点Q作QN⊥x轴交直线AB于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．

4

2016-2017学年江西省抚州市临川一中八年级（上）期中数学

试卷

参与试题解析

一．选择题（每小题3分，共18分）

1．下列四个选项中，不是y关于x的函数的是（ ） A．|y|=x﹣1 B．y=

C．y=2x﹣7 D．y=x2

【考点】函数的概念．

【分析】直接利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量，进而判断得出答案．

【解答】解：A、|y|=x﹣1，当x每取一个值，y有两个值与其对应用，故此选项不是y关于x的函数，符合题意； B、y=

，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题意；

C、y=2x﹣7，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题

意；

D、y=x，当x每取一个值，y有唯一个值与其对应用，故此选项是y关于x的函数，不符合题意； 故选：A．

【点评】此题主要考查了函数的定义，正确把握y与x的关系是解题关键．

2．已知实数x，y满足|x﹣5|+=0，则代数式（x+y）2013的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．0 D．9

【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值． 【专题】计算题．

【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣5=0，y+4=0， 解得x=5，y=﹣4，

20132013

所以，（x+y）=（5﹣4）=1． 故选A．

【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 3．（下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A．4，5，6 B．2，3，4 C．1，1， D．1，2，2

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

222

【解答】解：A、5+4≠6，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意．

222

B、2+3≠4，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． C、12+12=（）2，能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意． D、1+2≠2，不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． 故选C．

2

2

22

5

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角形．

4．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）

A．5 B．6 C．8 D．10

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∵AB=5，AD=3， ∴BD=

=4，

∴BC=2BD=8， 故选C．

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

5．如图，两直线y1=kx+b和y2=bx+k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

A． B． C． D．

【考点】一次函数的图象．

【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k、b取值范围相同的即得答案． 【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：

A、由图可得，y1=kx+b中，k＜0，b＞0，y2=bx+k中，b＞0，k＜0，符合； B、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＞0，y2=bx+k中，b＜0，k＞0，不符合； C、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＜0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，不符合； D、由图可得，y1=kx+b中，k＞0，b＞0，y2=bx+k中，b＜0，k＜0，不符合； 故选A．

【点评】此题考查一次函数的图象问题，解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系． 6．（2016•安庆二模）一位自行车爱好者利用周末进行了一次骑车旅行，如图是这次旅行过程中自行车到出发地的距离y（千米）与骑行时间t（分钟）之间的函数图象，观察图象，下列判断中正确的是（ ）

①这次旅行的总路程为16千米；②这次旅行中用于骑车的总时间为60分钟；③到达目的地之后休息了15分钟；④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点．

6

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【考点】一次函数的图象． 【专题】应用题．

【分析】根据图象得出信息解答即可．

【解答】解：①这次旅行的总路程为16千米，正确；

②这次旅行中用于骑车的总时间为25+10+10=45分钟，错误； ③到达目的地之后休息了15分钟，正确；

④返回途中如果不休息，可以提前10分钟到达出发点，正确； 故选D．

【点评】此题考查从图象中获取信息，仔细观察领悟图意，获取信息，用这些信息解决实际问题即可．

二．填空题（每题3分，共24分） 7．（2016•广东）9的算术平方根是 3 ． 【考点】算术平方根．

【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．

【解答】解：∵（±3）=9， ∴9的算术平方根是|±3|=3． 故答案为：3．

【点评】本题考查了数的算式平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．

8．（2016春•句容市期末）y=

中实数x的取值范围是 x≥﹣1，且x≠2 ．

2

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+1≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0， 解得：x≥﹣1，且x≠2， 故答案为：x≥﹣1，且x≠2．

【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．

9．（2010秋•海州区校级期末）已知点A（a，﹣3）与B（，b）关于x轴对称，则a+b= 【考点】坐标与图形变化-对称． 【专题】计算题．

【分析】关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可求a、b的值．

．

7

【解答】解：依题意，得a=，b=3， ∴a+b=+3=故本题答案为：

． ．

【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系．关于x轴对称的两点横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标反数．

10．（2016•眉山）若函数y=（m﹣1）x是正比例函数，则该函数的图象经过第 二、四 象限． 【考点】正比例函数的定义．

【分析】根据正比例函数定义可得：|m|=1，且m﹣1≠0，计算出m的值，然后可得解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．

【解答】解：由题意得：|m|=1，且m﹣1≠0， 解得：m=﹣1，

函数解析式为y=﹣2x， ∵k=﹣2＜0，

∴该函数的图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四．

【点评】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数；正比例函数y=kx（k是常数，k≠0），当k＞0时，直线y=kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y=kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．

11．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，那么化简|m﹣n|﹣

【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴．

【分析】根据数轴可以判断m、n的大小，从而可以化简|m﹣n|﹣【解答】解：由数轴可得，n＜0＜m， ∴m﹣n＞0，n﹣m＜0， ∴|m﹣n|﹣

即可． 的结果是 0 ．

|m|

=m﹣n﹣（m﹣n） =m﹣n﹣m+n =0，

故答案为：0．

【点评】此题是二次根式的化简，主要考查实数与数轴，解题的关键是明确数轴的特点，由数轴可以得到m、n的大小． 12．（2016春•官渡区期末）如图，y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 x＞2 ．

8

【考点】一次函数的性质．

【分析】首先根据图象可知，该一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，﹣3）．因此可确定该一次函数的解析式为y=

x﹣3．由于y＞0，根据一次函数的单调性，那么x的取值范围即可确定．

【解答】解：由图象可知一次函数y=kx+b的图象经过点（2，0）、（0，﹣3）． ∴可列出方程组

，

解得，

∴该一次函数的解析式为y=x﹣3，

∴当y＞0时，x的取值范围是：x＞2． 故答案为：x＞2

【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握一次函数的单调性以及x、y交点坐标的特殊性才能灵活解题． 13．（2016•黔南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a，b），若规定以下三种变换： ①△（a，b）=（﹣a，b）； ②○（a，b）=（﹣a，﹣b）； ③Ω（a，b）=（a，﹣b），

按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于 （﹣3，4） ． 【考点】点的坐标． 【专题】新定义．

【分析】根据三种变换规律的特点解答即可． 【解答】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4）． 故答案为：（﹣3，4）．

【点评】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解三种变换的变换规律是解题的关键． 14．（2009春•淮南期中）图（1）是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中矩形ABCD是由白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分CDEF为矩形旗面．如图（2），将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶端到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，则彩旗下垂时最低处离地面的高度h= 70 cm．

9

【考点】勾股定理的应用．

【分析】如图，连接DF，在直角三角形DCF中，根据勾股定理可以求出DF长度，也就求出了彩旗下垂时最长的长度，然后利用已知条件就可以求出彩旗下垂时最低处离地面的高度． 【解答】解：如图，连接DF，在直角三角形DCF中， DF=

=150cm，

∴彩旗下垂时最低处离地面的高度h=220﹣150=70cm． 故填空答案：70．

【点评】此题首先正确理解题意，知道题目要求的结果可以用哪些线段去表示，然后利用勾股定理求出即可解决问题．

三、解答题（共78分） 15．（6分）计算： （1）3+2﹣6 （2）（π﹣3）0+|﹣2|﹣÷+（﹣1）﹣1． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题；实数． 【分析】（1）原式合并同类二次根式即可得到结果；

（2）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式除法，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．

【解答】解：（1）原式=﹣； （2）原式=1+2﹣2﹣1=0．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（7分）先化简，再求值： （+）2﹣（﹣）（+），其中a=3，b=4． 【考点】二次根式的化简求值．

【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行化简，再把a，b的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式=a+b+2﹣（a﹣b） =a+b+2﹣a+b =2b+2，

当a=3，b=4时，原式=8+4．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

10

17．（7分）（2012秋•昌平区期末）已知a=（﹣2）﹣1，b=

，c=（2012﹣π）0，d=|2﹣

|．

（1）请化简这四个数；

（2）根据化简结果，求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，并比较m、n的大小． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 【专题】计算题． 【分析】（1）利用负指数公式化简a与c，利用平方根的定义化简b，利用绝对值的代数意义化简d； （2）求出这四个数中“有理数的和m”与“无理数的和n”，利用作差法比较大小即可． 【解答】解：（1）a=﹣，b=﹣（2）m=a+c=， n=b+d=

﹣，

﹣

）=

=

＜0，

+

，c=1，d=

﹣2；

∵m﹣n=﹣（

∴m＜n．

【点评】此题考查了实数的运算，零指数、负指数幂运算，利用了作差法比较两式的大小，熟练掌握此方法是解本题的关键． 18．（6分）已知点M（3a﹣8，a﹣1），分别根据下列条件求出点M的坐标． （1）点M在x轴上；

（2）点M在第二、四象限的角平分线上； （3）点M在第二象限，且a为整数； （4）点N坐标为（1，6），并且直线MN∥y轴． 【考点】坐标与图形性质． 【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列式计算即可得解；

（2）根据第二四象限平分线上点的横坐标与纵坐标互为相反数列式计算即可得解；

（3）根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数列式求出a的取值范围，然后确定出a的值即可；

（4）根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同列式求出a的值，然后解答即可． 【解答】解：（1）∵点M在x轴上， ∴a﹣1=0， ∴a=1，

3a﹣8=3﹣8=﹣5，a﹣1=0， ∴点M的坐标是（﹣5，0）；

（2）∵点M在第二、四象限的角平分线上， ∴3a﹣8+a﹣1=0， 解得a=，

11

∴a﹣1=﹣1=，

∴点M的坐标为（﹣，）；

（3）∵点M在第二象限， ∴

，

解不等式①得，a＜， 解不等式②得，a＞1，

所以，不等式组的解集是1＜a＜，

∵a为整数， ∴a=2，

∴3a﹣8=6﹣8=﹣2，a﹣1=2﹣1=1， ∴点M（﹣2，1）；

（4）∵直线MN∥y轴， ∴3a﹣8=1， 解得a=3，

∴a﹣1=3﹣1=2， 点M（1，2）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了x轴上的点的坐标特征，二四象限平分线上点的坐标特征，第二象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线的上点的坐标特征，需熟记． 19．（8分）图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形．

【考点】勾股定理． 【专题】作图题．

【分析】面积是3的直角三角形，边长要想是整数的话，应分别是1，6；或2，3，本题可使用2，3．

面积是5的四边形，应考虑规则图形中的正方形，那么正方形的边长就为，应是直角边长为1，2的直角三角形的斜边长．

12

【解答】解：（1）只须画直角边为2和3的直角三角形即可．这时直角三角形的面积为：=3；

（2）画面积为5的四边形，我们可画边长的平方为5的正方形即可． 如图1和图2．

【点评】本题需注意各个图形的顶点应位于格点处． 20．（7分）（2007•陇南）如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：

（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？

【考点】一次函数的应用． 【专题】应用题；压轴题． 【分析】（1）可设y=kx+b，因为由图示可知，x=4时y=10.5；x=7时，y=15，由此可列方程组，进而求解；

（2）令x=4+7，求出相应的y值即可． 【解答】解：（1）设y=kx+b（k≠0）．（2分） 由图可知：当x=4时，y=10.5；当x=7时，y=15．（4分） 把它们分别代入上式，得

（6分）

解得k=1.5，b=4.5．

∴一次函数的解析式是y=1.5x+4.5（x是正整数）．（8分）

（2）当x=4+7=11时，y=1.5×11+4.5=21（cm）．

即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm．（10分）

【点评】本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．而它通过所有学生都熟悉的摞碗现象构造问题，将有关数据以直观的形象呈现给学生，让人耳目一新．从以上例子我们看到，数学就在我们身边，

13

只要我们去观察、发现，便能找到它的踪影；数学是有用的，它可以解决实际生活、生产中的不少问题． 21．（7分）（2013•苍南县校级三模）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长的数值与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点P分别作x轴，y轴的垂线，与坐标轴围成矩形OAPB周长的数值与面积的数值相等，则点P是和谐点． （1）判断点M（1，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由； （2）若和谐点P（a，3）（a＞0）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b的值．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【专题】新定义． 【分析】（1）根据和谐点的定义，利用矩形的面积和周长公式进行证明即可；

（2）利用和谐点的定义列出关于a的方程（a+3）×2=3a，由此可以求得a=6．然后把点P的坐标代入直线方程，通过方程来求b的值． 【解答】解：（1）∵1×2≠2（1+2），4×4=2×（4+4）， ∴点M不是和谐点，点N是和谐点．

（2）由题意得，（a+3）×2=3a， ∴a=6， ∴P（6，3），

∵点P在直线y=﹣x+b上， ∴代入得3=﹣6+b， 解得，b=9．

综上所述，a、b的值分别是6，9．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上． 22．（8分）（2004•泰州）“五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题： （1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？

（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？ （3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）

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【考点】一次函数的应用． 【专题】压轴题． 【分析】（1）由图可知：10﹣14小时的时间段内小明全家在旅游景点游玩，因此时间应该是4小时； （2）可根据14小时和15小时两个时间点的数值，用待定系数法求出函数的关系式； （3）可根据8小时和10小时两个时间段的数值求出函数关系式，那么这个函数关系式应该是s=90x﹣720，那么出发时的15升油，可行驶的路程是15÷

=135千米，代入函数式中可得出x=9.5，因

30以前必须加一次油，此9：如果刚出发就加满油，那么可行驶的路程=35÷=315千米＞180千米，因此如果刚出发就加满油，到景点之前就不用再加油了．也可以多次加油，但要注意的是不要超出油箱的容量．

【解答】解：（1）由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时；

（2）设s=kt+b，由（14，180）及（15，120） 得

，解得

∴s=﹣60t+1020（14≤t≤17） 令s=0，得t=17．

答：返程途中s与时间t的函数关系是s=﹣60t+1020， 小明全家当天17：00到家；

（3）答案不唯一，大致的方案为： ①9：30前必须加一次油；

②若8：30前将油箱加满，则当天在油用完前的适当时间必须第二次加油； ③全程可多次加油，但加油总量至少为25升．

【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 23．（10分）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2

．善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn． ∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

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（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2 ，b= 2mn ；

（2）利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：

=（ 1 + 2 13 + 4 ）2；

（3）若a﹣6=（m﹣n）2且a、m、n均为正整数，求a的值．

【考点】二次根式的混合运算． 【分析】（1）根据上面的例子，将（m+n）2，按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一；

（3）将（m﹣n）2展开得出m2﹣2mn+5n2，由题意得mn=3，m2+5n2=a，再由a、m、n均为正整数，可得出m=3，n=1，a=14． 【解答】解：（1）∵a+b=（m+n）2， ∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m+3n，b=2mn；

（2）由（1）可得a=13，b=4，m=1，n=2； （3）∵a﹣6=（m﹣n）2， ∴a﹣6=m2﹣2mn+5n2，

∴mn=3，m+5n=a， ∵a、m、n均为正整数，

∴m=3，n=1，a=14或m=1，n=3，a=46；

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故答案为：m+3n，2mn，13，4，1，2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，注意分析所给的材料，再进行解答． 24．（12分）（2016春•宜春期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与x轴交于点B（2，0），△ABO的面积为2，动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在射线OB上运动，动点Q从B出发，沿x轴的正半轴与点P同时以相同的速度运动，过点P作PM⊥x轴交直线AB于点M． ①求直线AB的解析式；

②当点P在线段OB上运动时，设△MPQ的面积为S，点P运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）

③过点Q作QN⊥x轴交直线AB于点N，在运动过程中（点P不与点B重合），是否存在某一时刻t秒，使△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t值．

2

2

2

2

【考点】一次函数综合题．

【分析】①根据三角形的面积求出OA，再写出点A的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；

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②根据等腰直角三角形的性质表示出PM，再求出PQ的长，然后利用直角三角形的面积公式列式整理即可得解；

2

③表示出PM、QN，再利用勾股定理列式表示出QM，再求出MN，然后分MN=QN，QN=QM2种情况列出方程求解即可． 【解答】解：①∵点B（2，0）， ∴OB=2，

∴S△ABO=OB•OA=×2•OA=2， 解得OA=2， ∴点A（0，2），

设直线AB的解析式为y=kx+b， 则

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+2；

②如图1，∵OA=OB=2， ∴△ABO是等腰直角三角形，

∵点P、Q的速度都是每秒1个单位长度， ∴PM=PB=OB﹣OP=2﹣t， PQ=OB=2，

∴△MPQ的面积为S=PQ•PM=×2×（2﹣t）=2﹣t， ∵点P在线段OB上运动， ∴0≤t＜2，

∴S与t的函数关系式为S=2﹣t（0≤t＜2）；

③如图1，t秒时，PM=PB=|2﹣t|，QN=BQ=t， 所以，QM2

=PM2

+PQ2

=（2﹣t）2

+4， MN=（QN﹣PM）=（t﹣t﹣2）=2，

①若MN=QN，则t=2，

②若QN=QM，则（2﹣t）2

+4=t2

∴4t﹣8=0 解得t=2

当t=2时，点P与B重合，不符合题意舍去

综上所述，t=2时，△MNQ是以NQ为腰的等腰三角形．

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【点评】此题主要考查了一次函数综合题型，主要利用了三角形的面积，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，难点在于③分情况讨论，用t表示出△MNQ的三边是解题的关键．

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