微分方程(1-3)

第1节 微分方程的基本概念

我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进行研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程.

本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法.

实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的内容——差分方程.

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.

现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.

例9.1 质量为m的物体只受重力作用由静止开始自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F等于物体的质量m与物体运动的加速度的乘积，即F的铅垂线为x轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开始下落的时间t距离x与时间t的函数关系xma.取物体降落0，则物体下落的

x(t)满足

d2xg， (9.1) 2dt其中g为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。

例9.2 产品的月产量为x时的边际成本

1 (9.2) c(x)x8，2就是一个1阶微分方程.

在微分方程中，若未知函数是一元函数就称为常微分方程；若未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。

n阶微分方程的一般形式是

(9.3) F(x,y,y,y,,y(n))0，1

其中x为自变量，yy(x)是未知函数，上式(9.3)中，y(n)必须出现，而其余变量（包

括低阶导数）可以不出现.

如果能从式(9.3)中解出最高阶导数得到微分方程的如下形式

y(n)f(x,y,y,y,,y(n1)) (9.4)

以后我们只讨论姓如式(9.4)的微分方程，并假设式(9.4)右端的函数连续.

特别地，式（9.4）中的

f在所讨论的范围内

f如果能写成如下形式

y(n)a1(x)y(n1)an1(x)yan(x)yg(x) (9.5)

则称式(9.5)为n阶线性微分方程.其中a1(x),,an(x)和g(x)均为自变量x的已知函数.把不能表示成形如式(9.5)的微分方程称为非线性微分方程.

例9.3 试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)

dydyx3y (2)sinx(cosx)ytanx0 dxdx23dyd3ydydy35y(3)x (4)lnxxyx 23dxdxdxdx解 方程(1)是一阶线性微分方程.因为程.因为两边除以sinx就可看出.

dy和y都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方dx3dy方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有dx.

d3ydy方程(4)是3阶线性微分方程.因为,,y都是一次式. 3dxdx如果一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，(a)x121gt,(b)xgt2c1tc2都是例9.1中的微分方程9.1的解，22其中c1,c2为任意常数.

通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有相互的任意常数，且任意常

2

数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解（一般解）.

这里所说的相互的任意常数，是指它们取不同的值时就得到不同的解.从而不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.

上面的解中，(a)和(c)分别是方程(9.1)和(9.2)的特解，(b)和(d)分别是方程(9.1)和(9.2)的通解.

在实际问题中通常都要求寻找满足某些附加条件的解.此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数.这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.

一般地，一阶微分方程yf(x,y)的初始条件为

yxxy0 (9.6)

0其中x0,y0都是已知常数.

二阶微分方程yf(x,y,y)的初始条件为

yxxy0,yxxy0 (9.7)

00带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例9.4 验证函数y(x3c)cosx（c为任意常数）是方程 dyytanx3x2cosx0 dx的通解，并求出满足初始条件yx00的特解.

解 要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.

对y(x3c)cosx，求一阶导数

dy3x2cosx(x3c)sinx dx把

y和

dy代入方程左端，得 dxdyytanx3x2cosx3x2cosx(x3c)sinx(x3c)cosxtanx3x2cosx0 dx3

因为方程两边恒等，且

y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故

. y(x3c)cos是题设方程的通解x把初始条件

yx00代入通解y(x3c)cosx中，得c0.从而所求特解为

yx3cosx.

习题9-1

1、 指出下列微分方程的阶数

（1）xy2yy2x0 （2）(y)（3）(x22y3sinxx50

3)dx(4x5y2)dy0

2、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解. （1）xy2y,y5x （2）y222yy20,yc1xc2x2 xx1x（3）y(12)y12y0,yc1e3、验证

c2e2x

ycxx012（c为任意常数）是方程x(y)yy10的通解，并求满足初c始条件y2的特解.

4、设曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试建立曲线所满足的微分方程，并求出通解.

习题9-1答案

1、（1）2阶 （2）2阶 （3）1阶 2、（1）是 （2）是 （3）是 3、特解为y1x2 2dy143x，通解为yxc 4、微分方程为

4dx4

第2节 一阶微分方程

微分方程没有统一的解法，必须根据微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.

一、可分离变量的微分方程. 在一阶微分方程

dy F(x,y)中，如果右端函数能分解成F(x,y)f(x)g(y)，

dxx与y分离，x的一个函数f(x)与y的一个函数g(y)相乘的形式，即

dyf(x)g(y) (9.8) dx其中

f(x)，g(y)都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可以通过积分的方法来求解.

设g(y)0.用g(y)除方程(9.8)的两端，用dx乘以方程的两端，使得未知函数y的某已知函数及其微分与自变量x的某已知函数及其微分置于等号的两边（又一次分离了x与

y）得

1dyf(x)dx g(y)再对上述等式两边积分，即得

1g(y)dyf(x)dx (9.9)

积分出来以后就表明y是x的一个（隐）函数（关系），就是方程(9.8)的解. 如果g(y0)0，则易验证yy0也是方程(9.8)的解.

上述求解可分离变量的微分方程的方法，称为分离变量法. 例9.5 求微分方程

xydxdyx2dyxdx

的通解.

解 先合并dx,dy的各项得

x(y1)dx(x21)dy

5

设y10,x210,分离变量得

dyx2dx y1x1dyx两端积分

y1x21dx

得 ln|11y1|ln|x21|ln|c1|

222于是 (y1)c1(x21)

2记cc1，则得到题设方程的通解为(y1)c(x21)

dy例9.6 求微分方程exy的通解.

dx解 分离变量后两边积分

dyxeydx

得 ln|从而 yy|exln|c1|

c1eex

记cc1，则得到题设方程的通解为 yceex

例9.7 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.

解 设曲线的方程为yy(x).曲线上任一点(x,y)的切线方程为

Yy y

Xx由假设，切点(x,y)的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点分别是X0时，Y2y和

Y0时，X2x.将这两个端点代入切线方程都得到曲线所满足的微分方程

dyy

x dx分离变量后积分，得到通解为xy

c

6

将初始条件y|x32代入通解得c6. 从而所求的曲线方程为xy二、齐次方程 如果一阶微分方程

6.

dy f(x,y)

dx中的函数

f(x,y)可以写成

yy的函数，即f(x,y)，于是 xxdyy (9.10) dxx这称为齐次方程.

齐次方程可以通过引进新的未知函数的方法化成为可分离变量的微分方程. 令uydydu，u是x的一个新的未知函数.则 yux,xu， xdxdxdu原齐次方程变成 xu(u)

dxdudx分离变量后积分得 ln|x|c x (u)u记(u)为

1的一个原函数，则得通解为 (u)ln|x|c

(u)u再以

yy代替u,就得所给齐次方程的通解 ln|x|c

xx 2例9.8 求微分方程 (xyx解 原方程变形为

)dx(y2xy)dy0 的通解.

y1dyxyx2x2dxyxyyyxx2

就是一个齐次方程

7

令uydydu，则 yux,xu xdxdxduu1 u2dxuuu1dudx 21ux代入齐次方程得 x分离变量，u0,x0时，得

两边积分

u1du1u2xdx

1ln|1u2|ln|x|ln|c1| 2得 y1y以代替u就得到原方程的通解 ln|1|ln|x|ln|c1| x2x1记c2c1yc得 12

xx2从而 xxyc.

注.本题也可以直接分离变量法求解.

x(xy)dxy(yx)dy

yx0时， ydyxdx 12121积分得 yxc

222即y2x2c为原方程的通解.

2这样本题得到两个通解形式x定要包含所有解！

三、一阶线性微分方程 方程

xyc和y2x2c.说明微分方程的通解并不一

dyp(x)yQ(x) (9.11) dx叫做一阶线性微分方程，它对于未知函数y及其导数y都是一次的.如果Q(x)0，则方

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程(9.11)称为齐次的，否则就称为非齐次的.

对于齐次一阶线性微分方程

dyp(x)y0 (9.12) dxp(x)dx (9.13) Ce通过分离变量积分，可得它的通解

y 而对于非齐次一阶线性微分方程(9.11)，我们可以利用它相应的齐次一阶线性微分方程(9.12)的通解(9.13)，并使用所谓常数变易法来求非齐次方程(9.11)的通解，这种方法是把齐次方程(9.12)的通解(9.13)中的任意常数C变易换成x的未知函数u(x)，即作变换

p(x)dx (9.14) yue假设(9.14)是非齐次方程(9.11)的解，代入(9.11)中进而求出u(x)，再代入(9.14)就得到非齐次方程(9.11)的解.为此，将(9.14)对x求导，注意u是x的函数，得

p(x)dxdydup(x)dx (9.15) eup(x)edxdx将(9.15)和(9.14)代入(9.11)，得

dup(x)dxeQ(x) dx分离变量后积分得

uQ(x)ep(x)dxp(x)dxdxC (9.16)

p(x)dxQ(x)edx (9.17)

将(9.16)代入(9.14)就得到(9.11)的通解

yCeep(x)dx易见，一阶非齐次线性方程的通解(9.17)是对应的一阶齐次线性方程的通解(9.13)与其本身的一个特解((9.17)中取C方程也成立.

例9.9 求方程y0的解)之和.此后还可看到，这个结论对高阶非齐次线性

1cosxy的通解. xx1cosx解 题设方程是一阶非齐次线性方程，这时p(x),Q(x).

xx9

于是，按公式(9.17)，所求通解为

11xdxcosxxdxyCeexedxlnxlnxcosxlnxCeeedxx

C1cosxdxxxC1sinxxxxdx1例9.10 求方程

dy3y8的通解. dx解 这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式(9.17)，而采用常数变易法来求解. 先求解相应的齐次方程的通解.由

dy3y0 dx3x分离变量后积分得相应齐次方程的通解 yc1e ， 其中c1为任意常数.

3x利用常数变易法，将c1变易为u(x)，即设原非齐次方程的通解为 yue求导得

dydu3xe3ue3x dxdxdu3x代入原非齐次方程得 e8

dx分离变量后积分得 u(x)83x3x8edxeC 383x从而得到原非齐次方程的通解为 yCe

3习题9－2

1、求下列微分方程的通解 （1）x(y21)dxy(x21)dy0

dy3xy （2）dx10

2、求下列微分方程的通解 （1）xy（2）y(x2yy2x20

xyy2)dxx(x2xyy2)dy0

3、求下列微分方程的通解 （1）yyex ysinx

（2）xy4、求下列微分方程的初值问题： （1）cosydx(1e（2）(x1)yx)sinydy0,y|x04

y(x1)2ex,y|x01

5、已知某产品生产的总成本C由可变成本与固定成本两部分组成.可变成本y是产量x的函数，且y关于x的变化率等于成本函数cc(x).

习题9－2答案

1、（1）(x22xy，当x10时，y1；固定成本为22xy100.求总

1)(y21)C； （2）3x3yC y2x2Cx2； （2）xyCexyarctanx2、（1）y

3、（1）y(xC)e4、（1）(1ex； （2）y1(Ccosx) x)secy22； （2）y(x1)ex

9942(1x1) 5、C(x)100299第3节 可降阶的二阶微分方程

本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解. 一、yf(x)型

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这种简形的方程，其解法就是多次积分. 在yf(x)两端积分，得 yf(x)dxC1

[f(x)dxC1]dxC2f(x)dxdxC1xC2

(n)再次积分，得 y注：对于n阶微分方程y意常数的通解.

例9.11 求方程ye解 连续积分两次，得

2xf(x)，显然也可以连续积分n次，就得到含有n个任

sinx的通解.

1ye2xcosxC12

1ye2xsinxC1xC24这就是所求通解.

二、yf(x,y)型

这种类型的特征是不显含y，求解方法是： 令y

p(x)，则yp(x)，则原二阶方程化成了一阶方程 pf(x,p)

dy利用上一节的方法求出它的通解p(x,C1)，再根据yp(x,C1)也是一

dx阶方程.

直接积分得y(x,C1)dxC2，就是原二阶微分方程的通解.

注：由于一阶微分方程

pf(x,p)，我们并不都会求解.因此本类型yf(x,y)方程的求解还不能说都可求出.

例9.12 求方程y1yxex的通解. x解 令

py，原方程化成

p1pxex x12

的一阶线性微分方程.从而

pc1e c1x1()dxxe1()dxx()dxxxxeedx1xexdx

c1xxexxpycxxe1即

因此，原方程的通解为

y(c1xxex)dxc212c1x(x1)exc2 2三、yf(y,y)型

y的函数，令py，从

这种类型的特征是不明显地含x.这时我们把x看成自变量而

p也是y的函数.再利用复合函数的求导法则，把对x的导数y化为对y的导数，即

ydpdpdydpp dxdydxdy于是，yf(y,y)就变成了

pdpf(y,p) dy这样就得到一个关于y,p的一阶微分方程.

设yp(y,c1)是它的通解，那么分离变量再积分就得到原方程的通解为

dy(y,c1)xc2.

注.一阶微分方程求出解来.

pdp(y,c1)不一定会求解，因此本类型yf(y,y)也不一定能dy例9.13 求方程yyy的通解.

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解 令这时ypy，将x看作是y的函数. dpdpdydpp dxdydxdy代入原方程就得到一个一阶方程

dppy dy12分离变量再积分得pyc1

2再解一阶微分方程y分离变量再积分得

p12yc1 2yd2c1dy22arctanyxc2212cc12c11yc1y122c1就是原方程的通解.

习题9－3

1、 求下列方程的通解 （1）yxcosx （2）y xy

（3）y(y1)y

2、求下列微分方程初始问题的特解. （1）ye（2）y3x,y|x00,y|x00

1y,y|x10,y|x12 x2（3）yy(y)y0,y|x02,y|x01

习题9－3答案

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1、（1）y16x3cosxc1xc2 （2）ycx1exexc2

（3）xc2y12carctanc 1212、（1）y19e3x13x19

（2）yx21 （3）yex1

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