【数学】上海市宝山区2013届高三上学期期末考试数学试题

宝山区2012学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．2013.1.19

考生注意：

1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面．

2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

3．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.在复数范围内，方程x2x10的根是 ． 2.已知1323X512，则二阶矩阵X= ． 13.设A(2,3),B(1,5)，且AD3AB，则点D的坐标是__________； 4.已知复数(x2)yi(x,yR)的模为3,则

7292yx的最大值是 .

5.不等式x3的解集是 _________________.

6.执行右边的程序框图，若p0.95，则输出的n ．

7.将函数f(x)=3sinx1cosx开始 输入p n1，S0 Sp? 否 是 SS12n 输出n 结束 nn1 的图像按向量n(a,0)（a>0）平移，所得图像对应的函数

为偶函数，则a的最小值为 .

8.设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)2，则f(2011)f(2012) _．

9．二项式(x13x10)展开式中的常数项是 (用具体数值表示)

10.在ABC中，若B60,AB2,AC23,则ABC的面积是 ． 11.若数列an的通项公式是an3n(2)n1，则 lim(a1a2an)=_______.

n12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于这三个点的小圆周长为4，则R=

R3，且经过

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．

14.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离则L(A,B)的最小值为 ． L(A,B)x1x2y1y2. 若点A(-1,1),B在y2x上，

二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在

答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为„„（ ）

338633584（A）P5P3 （B）P8P6P3 （C）P6P5 （D）P8P6

uuuruuuruurruuuruuuruuurCA0；③若16.在△ABC中，有命题:①ABACBC；②ABBCuuuruuuruuuruuuruuuruuurABC是等腰三角形；④若ABCA0，则△ABC为(ABAC)(ABA)C，则△0锐角三角形．上述命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

(A) ②③

(B) ①④ (C) ①②

(D) ②③④

17.函数f(x)x|arcsinxa|barccosx是奇函数的充要条件是„„„„„„„( )

22(A) ab0 (B)ab0 (C)ab (D)ab0

x1,x[1,0),18.已知f(x)2则下列函数的图像错误的是„„„„„„„„（ ）

x1,x[0,1],

(A)f(x1)的图像 (B)f(x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像

三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为8，且ABAC2，∠BAC=90，E是AA1的中点，O是C1B1的中点.求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

OC1A1EAB1OC1A1EB1BBFC

C

A

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数f(x)Asin(x)(A＞0，＞0，||＜)的图像与y轴的交点为（0，1），它

2π在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02π,2). （1）求f(x)的解析式及x0的值；

13（2）若锐角满足cos的值.

，求f(4)

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)log2(4xb2x4)，g(x)x. （1）当b5时，求f(x)的定义域； （2）若f(x)g(x)恒成立，求b的取值范围．

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分．

设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点． (1)若p2，求线段AF中点M的轨迹方程；

1 (2) 若直线AB的方向向量为n(1,2)，当焦点为F,0时，求OAB的面积；

2 (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1x)f(1x)，直线g(x)4(x1)被f(x)的图像截得的弦长为417，数列an满足a12，

an1anganfan0nN*

（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列an的通项公式；

（3）设bn3fangan1，求数列bn的最值及相应的n

宝山区2012学年第一学期期末 高三年级数学学科质量监测试

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．2013.1.19

考生注意：

1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面．

2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.在复数范围内，方程x2x10的根是 ．2.已知1323X5121123.设A(2,3),B(1,5)，且AD3AB，则点D的坐标是__________(7,9)； 4.已知复数(x2)yi(x,yR)的模为3,则

321，则二阶矩阵X= ．23i 0 1yx的最大值是 . 3

5.不等式x7292的解集是 _________________.[1,2]

6.执行右边的程序框图，若p0.95，则输出的n ．6

Sp? 开始 输入p n1，S0 否 是 1SSn 输出n 2x3sin7.将函数f(x)=的图像按向量n(a,0)（a>0）平移，所得图像对应的函数

1cosx结束 nn1 为偶函数，则a的最小值为 . 56

2(012)f8.设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(1)2，则f2(011)130  _．

9．二项式(xx)10展开式中的常数项是 (用具体数值表示)

(1)C10210

6610.在ABC中，若B60,AB2,AC23,则ABC的面积是 ．23 11.若数列an的通项公式是an3n(2)n1，则 lim(a1a2an)=_______.

n76

12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于这三个点的小圆周长为4，则R= ．23 R3，且经过

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．

解答参考：①a|b,b|ca|c；②a|b,a|ca|(bc)； ③a|b,c|dac|bd；④a|b,nN*an|bn

14.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L(A,B)x1x2y1y2. 若点A(-1,1),B在y2x上，则L(A,B)的最小值

为 ．

74

二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为„„（ C）

338633584（A）P5P3 （B）P8P6P3 （C）P6P5 （D）P8P6

uuuruuuruurruuuruuuruuurCA0；③若16.在△ABC中，有命题:①ABACBC；②ABBCuuuruuuruuuruuuruuuruuurABC是等腰三角形；④若ABCA0，则△ABC为(ABAC)(ABA)C，则△0锐角三角形．上述命题正确的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（A）

(A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④ 17.函数f(x)x|arcsinxa|barccosx是奇函数的充要条件是„„„„„„„( A )

22(A) ab0 (B)ab0 (C)ab (D)ab0

x1,x[1,0),18.已知f(x)2则下列函数的图像错误的是„„„„„„„„（ D ）

x1,x[0,1],

(A)f(x1)的图像 (B)f(x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像 三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)

如图，直三棱柱ABCA1B1C1的体积为8，且ABAC2，∠BAC=90，E是AA1的中点，O是C1B1的中点.求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

OC1A1EAB1OC1A1EB1BBFCAC

解：由VSAA18得AA14，„„„„„„„„„3分 取BC的中点F，联结AF，EF，则C1F//BO，

所以EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，记为． „„„„„„„„„5分

C1F218，C1E8，EF226，„„„„„„„„„8分 56cosC1FC1EEF2C1FC1E56222，„„„„„„„„„11分

因而arccos„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数f(x)Asin(x)(A＞0，＞0，||＜)的图像与y轴的交点为（0，1），它

2π在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02π,2). （1）求f(x)的解析式及x0的值；

13（2）若锐角满足cos的值.

，求f(4)

T22π12π6解：（1）由题意可得A2,f(x)2sin(122π,T=4π,4π即π2，„„„„„„„„„3分

.

x),f(0)2sin1,由||＜,π1f(x)2sinx62„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

)2,所以

12x02π3π62kπ+π2,x04kπ+2π3(kZ),

f(x0)2sin(12x0π6又 x0是最小的正数，x0π1;„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7223,

4299分

（2）(0,),cos,sin23cos22cos1f(4)2sin(2π6)279,sin22sincos3,„„„„„„„„„„„„10分

469793sin2cos24279．„„„„„„„14分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)log2(4xb2x4)，g(x)x. （1）当b5时，求f(x)的定义域； （2）若f(x)g(x)恒成立，求b的取值范围．

解：（1）由4x52x40„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 解得f(x)的定义域为(,0)(2,)．„„„„„„„„„6分 （2）由f(x)g(x)得4xb2x42x，即b12x4„„„„„„„„9分 x2x令h(x)124，则h(x)3，„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分 x2 当b3时，f(x)g(x)恒成立．„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小

题满分7分．

设抛物线C：y2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点． (1)若p2，求线段AF中点M的轨迹方程；

1 (2) 若直线AB的方向向量为n(1,2)，当焦点为F,0时，求OAB的面积；

22 (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列．

解：(1) 设A(x0,y0)，M(x,y)，焦点F(1,0)，

x01xx02x12则由题意，即„„„„„„„„„„„„„„2分

y02yyy02所求的轨迹方程为4y24(2x1)，即y22x1„„„„„„„„„„4分 (2) y22x，F(,0)，直线y2(x2112)2x1，„„„„„„„„5分

y22x由得，y2y10， y2x1AB11k2y1y252„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

d15， „„„„„„„„„„„„„„„„„8分

SOAB12dAB54 „„„„„„„„„„„„„„„„„9分

(3)显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3． 点A、B、M的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(-设直线AB：ykxp2,m)．

2pp22yyp0，„„„„„„„„11分 ，代入抛物线得k22所以y1y2p，„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

22又y12px1，y22px2，

因而x1p2y122pp212py1p22，x2p2y222pp2p422py1p2p2y12y21p2

因而k1k2y1mx1p2y2mx2p22p2y1m22py1pp22y1my12py1p222mp„„„„„14

分

而k30mp22p2mp，故k1k22k3．„„„„„„„„„„„„„„„„„16

分

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(1x)f(1x)，直线g(x)4(x1)被f(x)的图像截得的弦长为417，数列an满足a12，

an1anganfan0nN*

（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列an的通项公式；

（3）设bn3fangan1，求数列bn的最值及相应的n

23 解：（1）设f(x)ax12a0，则直线g(x)4(x1)与yf(x)图像的两个交点

1641， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 aa2为（1，0）， 416aa2417a0，a1，f(x)x1 „„„„„„4分

2 （2）fanan1，gan4an1 an1an·4an1an10

an14an13an10 „„„„„„„„„„„„„„„5分 a12，an1，4an13an10„„„„„„„„„„„„6分 an113422an1，a111

34 数列an1是首项为1，公比为

3 an14n1的等比数列„„„„„„„„„„„8分

，an34n11„„„„„„„„„„„„„„„10分

（3）bn3an14an1222n1n1n3n13331343

44443令bny，u4n1221113， 则y3u3u„„„„12分

2424*nN，u的值分别为1，34162161∴当n3时，bn有最小值是，„„„„„„„„„„„„„„15分

256，9，27„„，经比较

9距

1最近，

当n1时，bn有最大值是0 „„„„„„„„„„„„„„„„18分