放缩法
自我小测
1111
1设M＝10＋10＋10＋…＋11，则M______1.
22＋12＋22－1
33
2用反证法证明“如果A＞b，那么a＞b”的假设内容应是________． 3设|a|＜1，则P＝|a＋b|－|a－b|与2的大小关系是____________． 4 lg9lg11与1的大小关系是________．
5某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f(x)在[0,1]上有意义，且f(0)＝f(1)，1如果对于不同的x1，x2∈[0,1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜.
2那么它的假设应该是________．
6设a、b∈R,0≤x，y≤1，求证：对于任意实数a、b必存在满足条件的x，y，使|xy1
－ax－by|≥成立．
3
x＋yxy7设x＞0，y＞0，A＝，B＝＋，则A与B的大小关系为________．
1＋x＋y1＋x1＋y8设a、b、c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P、
Q、R同时大于零”的________条件．
9 A＝1＋
12＋13＋…＋
1
n与n(n∈N＋)的大小关系是________．
10若|a|＜1，|b|＜1，求证：
a＋b＜1.
1＋ab
1111
11求证：1＋＋＋＋…＋＜3.
11×21×2×31×2×3×…×n 1
参
11010
1．＜ 解析：分母全换成2，共2个10.
23333
2．假设a＝b或a＜b
3．P＜2 解析：P＝|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)－(b－a)|＝2|a|＜2. lg9＋lg11lg99lg100
4．lg9 lg11＜1 解析：lg9lg11＜＝＜＝1，
222∴lg9 lg11＜1.
1
5．假设|f(x1)－f(x2)|≥
2
1
6．证明：假设对一切0≤x，y≤1，结论不成立，则有|xy－ax－by|＜，令x＝0，y3111
＝1，有|b|＜；令x＝1，y＝0，有|a|＜；令x＝y＝1，得|1－a－b|＜.又|1－a－b|≥1
3331111
－|a|－|b|＞1－－＝，与|1－a－b|＜相矛盾，∴假设不成立，原不等式成立．
3333
7．A＜B 解析：A＝
xyxy＋＜＋＝B.
1＋x＋y1＋x＋y1＋x1＋y8．充要 解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于0，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．
9．A≥n 解析：A＝
1
11
＋＋＋…＋123
＝
n＝n. n10．证明：假设
2
2
a＋b≥1，则|a＋b|≥|1＋ab|，
1＋ab
22
∴a＋b＋2ab≥1＋2ab＋ab， 即a＋b－ab－1≥0， ∴a－1－b(a－1)≥0， 即(a－1)(1－b)≥0，
a－1≥0，∴2
1－b≥0，a≥1，∴2
b≤1，
222
2
2
2
2
2
2
22
a－1≤0，
或2
1－b≤0，
2
2
a≤1，或2
b≥1.
与已知矛盾．
2
∴
a＋b＜1.
1＋ab
111
11．证明：由＜＝k－1(k是大于2的自然数)．
1×2×3×…×k1×2×2×…×2211111111
得1＋＋＋＋…＋＜1＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝1＋
11×21×2×31×2×3×…×n22221－1
2n＝1
1－13－2n－1＜3. 2
∴原不等式成立．
3
