模糊数学基础

6.1 概述

6.1.1 传统数学与模糊数学

6.1.2 不相容原理

6.2 模糊集合与隶属度函数

6.2.1 模糊集合及其运算

6.2.2 隶属度函数

6.3 模糊逻辑与模糊推理

6.3.1 模糊逻辑

6.3.2 模糊语言

6.3.3 模糊推理

6.1 概述

第六章 模糊数学基础1

6.1.1 传统数学与模糊数学

6.1.2 不相容原理

1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh）教授首先提出用隶属度函数(membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。

不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。

6.2 模糊集合与隶属度函数

6.2.1 模糊集合及其运算

一、模糊集合（Fuzzy Sets）的定义

传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C，C={实数r|8≤r≤12}，用特征函数C(r)表示其成员，如图6.1(a)所示。

1，C(r)0，8r12其它

在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。例如，“接

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近10的实数”是一个模糊集合F＝{r|接近10的实数}，用“隶属度(Membership)” F(r)作为特征函数来描述元素属于集合的程度。

C（r） 1F（r） 10.750.2750812r9117.21012.8r

(a) (b)

图6.1 普通集合与模糊集合的对比

模糊集合的定义如下：论域U上的一个模糊集合F是指，对于论域U中的任一元素u∈U,都指定了[0,1]闭区间中的一个数F(u)∈[0,1]与之对应，F(u)称为u对模糊集合F的隶属度。也可以表示成映射关系：

F：U→[0,1] u→F(u)

这个映射称为模糊集合F的隶属度函数（membership function）。 模糊集合有时也称为模糊子集。

U中的模糊集合F可以用元素u及其隶属度F(u)来表示：

3

Fu,Fu uU

仍以前面提到的“年轻”、“中年”、“老年”为例，这三个年龄特征分别用模糊集合A、B、C表示，它们的论域都是U＝[0，100]，论域中的元素都是年龄u，我们可以规定模糊集合A、B、C的隶属度函数分别为μA(u)、μB(u)、μC(u)，如图6.2所示。

 10.750.50.25020ABC304050607080u

图6.2 “年轻”、“中年”、“老年”的隶属度函数

二、模糊集合的表示

1、离散论域

如果论域Ｕ中只包含有限个元素，该论域称为离散论域。设离散论域Ｕ＝{u1,u2,…，un}，Ｕ上的模糊集合Ｆ可表示为

n

FF(ui)uii1 (6.2.1)

F(u1)u1F(u2)u2F(un)un

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这只是一种表示法，表明对每个元素ui所定义的隶属度为μF(ui)，并不是通常的求和运算。

2、连续论域

如果论域Ｕ是实数域，即Ｕ∈Ｒ，论域中有无穷多个连续的点，该论域称为连续论域。连续论域上的模糊集合可表示为

FuUF(u)u (6.2.2)

这里的积分号也不是通常的含义，该式只是表示对论域中的每个元素u都定义了相应的隶属度函数μF(u)。

三、模糊集合的基本运算

1、 基本运算的定义

设A，B是同一论域U上的两个模糊集合，它们之间包含、相等关系定义如下：

 A包含B，记作AB，有

A(u)B(u), uU (6.2.3)

 A等于B，记作A＝B，有

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A(u)B(u), uU (6.2.4)

显然，ABAB且AB。

设A、B是同一论域U上的两个模糊集合，隶属度函数分别为A(u)和B(u)，它们的并、交、补运算定义如下：

 A与B的交，记作A∩B，有

AB(u)A(u)B(u)

minA(u),B(u)， uU (6.2.5)

 A与B 的并，记作A∪B，有

AB(u)A(u)B(u)

maxA(u),B(u)， uU (6.2.6)

 A的补，记作A，有

(u)1A(u),_uUA (6.2.7)

其中，min和∧表示取小运算，max和∨表示取大运算。图6.3显示了这三种运算对应的隶属度函数。

6

 1AB B _A∩B1AA∪B1AA0rrr

(a)A和B的交； (b)A和B的并； (c)A的补

图6.3 模糊集合的三种运算

2. 基本运算定律

论域Ｕ上的模糊全集Ｅ和模糊空集φ定义如下： E(u)1， uU (6.2.8)

(u)0， uU (6.2.9）

设Ａ，Ｂ，Ｃ是论域Ｕ上的三个模糊集合，它们的交、并、补运算有下列定律：

① 恒等律：AAA,AAA

② 交换律：ABBA,ABBA

(AB)CA(BC)③ 结合律：(AB)CA(BC)

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A(BC)(AB)(AC)④ 分配律：A(BC)(AB)(AC)

(AB)AA⑤ 吸收律：(AB)AA

AEE,AEA⑥ 同一律：AA,A

⑦ 复原律：AA

_______ABAB⑧ 对偶律（摩根律）：ABAB

_______以上运算定律，模糊集合和普通集合是完全相同的，但是普通集合的“互补律”对模糊集合却不成立，如图6.4所示，即

AAE， AA

1 AAA_A_1 AAA_A_rr

(a) AAE (b) AA

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图6.4 模糊集合的运算不满足“互补律”

四、模糊关系

设有两个集合A，B，A和B的直积A×B定义为

AB＝{(a,b)|aA,bB}

它是由序偶(a,b)的全体所构成的二维论域上的集合。一般来说A×B≠B×A。

设A×B是集合A和B的直积，以A×B为论域的模糊集合R称为A和B的模糊关系。也就是说对A×B中的任一元素(a,b)，都指定了它对R的隶属度R(a,b)，R的隶属度函数R可看作是如下的映射：

R:AB[0,1](a,b)R(a,b)

设R1是X和Y的模糊关系，R2是Y和Z的模糊关系，那么R1和R2的合成是X到Z的一个模糊关系，记作R1R2，其隶属度函数为

RR(x,z)[R(x,y)R(y,z)]12yY12， (x,z)XZ (6.2.10)

6.2.2 隶属度函数

正确地确定隶属度函数，是运用模糊集合解决实际问题的基础，是能否用好模糊集合的关键。

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目前隶属度函数的确定方法大致有以下几种：

① 模糊统计方法：用对样本统计实验的方法确定隶属度函数。

②例证法：从有限个元素的隶属度值来估计模糊子集隶属度函数。

③专家经验法：根据专家的经验来确定隶属度函数。

④机器学习法：通过神经网络的学习训练得到隶属度函数。

目前常用的隶属度函数有：

① 三角形

三角形隶属度函数曲线如图6.5所示，隶属度函数的解析式为

xbab，bxax)cxF(c，axca

0，xb或xc (6.2.11)

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1 F1 F0bacx0abcdx

图6.5 三角形隶属度函数 图6.6 梯形隶属度函数

② 梯形

梯形与三角形是最简单的两种隶属度函数，应用也非常广泛。梯形隶属度函数如图6.6所示，解析式表示为

xaba，axbbxc1，F(x)dx，cxddcx＜a或x＞d (6.2.12) 0，

③ 正态型

这是一种最主要、最常见的分布，表示为：

xexab2 ， b>0 (6.2.13)

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其分布曲线如图6.7所示：

 1F0ax

图6.7 正态型分布曲线

④ Γ型

如图6.8所示，解析式表示为：

x)0 ， x0  xF(xe ， x0 (6.2.14) 其中λ>0,ν>0 。

⑤ Sigmiod型

如图6.9所示，解析式为：

1

F(x)1ex (6.2.15)

12

1 F1 F0.50x0x

图6.8 Γ型隶属度函数 图6.9 Ｓigmoid型隶属度函数

6.3 模糊逻辑与模糊推理

6.3.1 模糊逻辑

模糊命题的真值应是隶属度函数，其取值应在区间[0,1]上连续取值。模糊命题是普通命题在概念上的拓广。它对应的逻辑是连续逻辑（或多值逻辑），又称为模糊逻辑。显然，不仅普通命题能反映客观世界，而模糊命题更是现实生活中常见的。随着模糊逻辑的出现和发展，将对计算机科学、人工智能、模糊控制等方向的研究和发展起推动作用。

下面对模糊逻辑的运算作一简单介绍。

设有模糊命题X和Y，对应的真值（隶属度，也称为模糊变量）x，y∈[0,1]，称： ① XY为模糊逻辑合取（交、与），真值为xymin(x,y)

② XY为模糊逻辑析取（并、或），真值为xymax(x,y)

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③ X为模糊逻辑否定（补、非），真值为x1x

④ XY为模糊逻辑蕴含，真值为xyxy

⑤ XY为模糊逻辑恒等，真值为xy(xy)(yx)

6.3.2 语言变量

一、模糊数与语言变量

模糊数和语言变量的定义如下：

连续论域U中的模糊数F是一个U上的正规凸模糊集合。这里所谓正规集合的含义就是其隶属度函数的最大值是1，即

maxF(u)1uU。

凸集合的含义是：在隶属度函数曲线上任意两点之间，曲线上的任意一点所表示的隶属度都大于或者等于两点隶属度中较小的一个，即在实数集合的任意区间[a,b]上，对于所有的x∈[a,b]，都有

F(x)min(F(a),F(b))，a,bU,x[a,b] (6.3.1)

语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T(N),U,G,M)来表征，其中

(1) Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等；

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(2) U为语言变量N的论域；

T(Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是论域U上的模糊集合，如

(3)

T(Ｎ)＝T(年龄)=“很年轻”+“年轻”+“中年”+“较老”+“很老” ＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X4+X5

(4)

G为语法规则，用于产生语言变量N的值Ｘ的名称，研究原子单词构成合成词后词义的

变化，并求取其隶属度函数。其中，用“或”、“与”、“非”作连接词构成的合成词，可以按模糊逻辑运算取真值，见6.3.1节；带修饰词算子的合成词，其真值可以根据经验公式计算出来。常用的算子有以下几种：

① 语气算子，如“很”、“略”、“相当”等；

② 模糊化算子，如“大概”、“近乎”、“差不多”等；

③ 判定化算子，如“偏向”、“多半是”、“倾向于”等。

(5) M是语义规则，根据语义规则给出模糊子集X的隶属度函数。

以N＝年龄为例，表征语言变量的五元素集合如图6.10所示。

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年龄语言变量NX1很年轻X21.00.2年轻X5语法规则G很老90.80.81语言值集合T(N)语义规则M0.50.250.51.00.020253035606570论域U(岁)

图6.10 表示年龄的语言变量

例 L. A. Zadeh在论域U=[0,100岁]内给出了年龄的语言变量值“老“的模糊子集隶属度函数为

x500，1，x50老(x)2x5015

其中修饰词的隶属度函数为：

稍微AA0.25极AA4，

非常AA21.25AA，相当A，比较A0.75，

略AA0.5，

。

现以60岁为例，通过隶属度函数分别计算它属于“极老”、“非常老”、“相当老”、“比较老”、“略老”、“稍微老”的程度为

极老(60)[老(60)]4(0.8)40.41

非常老(60)[老(60)]2(0.8)20.

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.25相当老(60)[老(60)]1.25(0.8)10.757

比较老(60)[老(60)]0.75(0.8)0.750.845

略老(60)[老(60)]0.5(0.8)0.50.

稍微老(60)[老(60)]0.25(0.8)0.250.946

二、模糊语句

1、 模糊直言语句

模糊直言语句的句型为“x是A”，其中x是对象的名称，A是论域U上的一个模糊子集。2、 模糊条件语句

常用的模糊条件语句的句型有：

①“若A则B”型，也记为if A then B；

②“若A则B否则C”型，也记为if A then B else C；

③“若A且B则C”型，也记为if A and B then C。

6.3.3 模糊推理

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模糊推理的两种重要推理规则：

① 广义前向推理法（Generalize Modus Ponens，简称GMP）

前提1：如果x是A，则y是B

前提2：x是A＇

结论 ：那么y是B＇

② 广义后向推理法（Generalize Modus Tollens，简称GMT）

前提1：如果x是A，则y是B

前提2：y是B＇

结论 ：那么x是A＇

1975年Zadeh利用模糊变换关系，在广义前向推理法的基础上，提出了模糊逻辑推理的合成规则，建立了统一的数学模型，用于对各种模糊推理作统一处理。其推理规则为：

前提 ：如果x是A，则y是B

事实 ：x是A＇

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结论 ：那么y是 B'A'(AB)

即结论B＇可用A＇与由A到B的推理关系进行合成而得到，其中的算子“ ”表示模糊关系的合成运算，(A→B)表示由A到B进行推理的关系或者条件，即“如果x是A，那么y是B”的简化表示方法。有时(A→B)也可写成R A→B，其隶属度函数被定义为

AB(x,y)A(x)B(y) (6.3.2) 那么BAAB的隶属度函数为

B(y)∨xA(x)∧AB(x,y)

∨A(x)∧[A(x)B(y)]x (6.3.3)

如何实现合成运算，有各种不同的方法，这决定于对蕴含运算的定义。

一、 Zadeh模糊假言推理法

Zadeh把(A→B)定义成

(A→B)=1∧(1 - A + B) 或者 (A→B)=(A∧B)∨(1 - A) (6.3.4)

对于后者，其隶属度函数为

AB(x,y)A(x)B(y) A(x)∧B(y)∨1A(x) (6.3.5)

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把(6.3.5)代入(6.3.3)式，便得到了结论B＇的隶属度函数。

二、Mamdani推理法

Mamdani则把(A→B)定义成 (A→B)=A∧B。下面是Mamdani推理法的具体过程。

设U1，U2，...， Un 为n个有界论域，记Ui=[ ai，bi ]。每个论域按一定规则分为li 个凸模糊子集Aij ，其隶属度函数记为

mA(xi) ij。记Si ={ Aij |j=1,2,.., li }。则我们将模糊规则集表示为：

OR(IF(AND(xi IS Aij)) THEN Y IS Bj) j1i1n (6.3.6)

其中m为模糊规则数，n为输入变量个数，A , B∈Si 。

如果有事实“ if x1 is a1 and x2 is a2 and ... xn is an”，则结论“Y is B’ ” 可以这样得出：由前提和第j条模糊规则可得到推理结果为

B j'，则

B(z)A(a1)A(a2) . . . A(an)B(z)'j1j2jnjj (6.3.7)

其中j=1,2 ...m ,“∧”表示min操作。

'''BBB12m经(6.3.6)式推理后的结论B’可综合推理结果，,..., 得到:

B'(z)B'(z)B'(z) . . .B'(z) 1 2 m (6.3.8)

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其中“∨”表示max操作。

最终系统的输出可以由“重心法”求出：

mzi)ziz1B (Oim

(zi)i1B , zi为常数。 (6.3.9)

图6.11所示的是规则数为3（m=3），变量个数为2（n=2）的Mamdani推理过程。11211AAB1minB1'01A12A22B2minB2'01A13A23B3minB3'0x1x2B'z0

图6.11 Mamdani推理过程

三、模糊加权推理法

在模糊加权型推理法中，模糊规则集的结论表示为wj / zj，即将式(6.3.6)表示为：

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mnOR(IF(AND(xi IS Aij)) THEN Y IS wj/zj )j1i1 (6.3.10)

其中m为模糊规则数，n为输入变量个数，A∈Si , zj为常数。wj / zj是构成模糊集合的一个元素，wj 表示权重，并不表示zj的等级，应看作模糊规则自身的加权，即模糊规则的重视度或重要度。当wj >1时，表示对第j条规则的强调，当0 ≤wj ＜1时，表示对第j条规则的抑制。

将推理结果中的∧运算改为“.”运算，我们定义事实“x1 is a1 and x2 is a2 and ... xn is an”和各模糊规则的前件的适合度为：

j(z)A(a1)  A(a2)  . . .  A(an) 1j2jnj j=1,2 ...m (6.3.11)

则最终的结论z0可将规则后件zj在各适合度

mj中带上权重wj，由加权平均法求得，即：

zOwzii1mii

wii1i (6.3.12)

四、广义模糊加权推理法

n定义输入变量xi的模糊子集数为ki ，输出变量Y的模糊子集数为l，设

mkii1，则模糊规则

的最大条数为ml。试图列举出模糊规则的各种可能形式，并用各规则对不同结果的权重来表示推理结果的各种可能性。即将式(6.3.10)中规则的结论变为w j1 / z 1, w j2/ z2,..., w j l/ zl ,则模糊规则集可表示为

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mnOR(IF(AND(xi IS Aij)) THEN Y IS wj1/z1 ，wj2/z2 ,  ,wjl/zl)j1i1 (6.3.13)

其中m为模糊规则数，n为输入变量个数，l为输出变量模糊子集个数，zi为常数，是结论隶属度函数的支集值。wji 表示权重。定义事实和各模糊规则前件的适合度为j :

j(z)A1j(a1)  A2j(a2)  . . .  Anj(an) j=1,2,...,m (6.3.14)

则最终的结论z0可由下面改进的加权平均法求得：

lm(f(jwji) zi)zi1j1Olm

(f(ji))i1jwj1 其中f(x)可取Sigmoid形函数，

1

f(x)1exp((x))，、为常数 (6.3.16)

(6.3.15)

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