中考数学 专题18 解直角三角形问题(原卷版)

专题知识回顾

一、勾股定理

1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。

4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5. 直角三角形的性质：(1)直角三角形的两锐角互余；

(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。6.直角三角形的判定：

(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形

(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形二、锐角三角函数1.各种锐角三角函数的定义

（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝

∠A的对边

斜边

（2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝ ∠A的邻边斜边

（3）正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝ ∠A的对边∠A的邻边

2.特殊值的三角函数：

cos

α0°30°45°

sinα

α

01222321

13222120

0331

不存在

tanα

cotα

31

60°3330

90°不存在

三、仰角、俯角、坡度概念1．仰角：视线在水平线上方的角；2．俯角：视线在水平线下方的角。

仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰仰h

ih:lα仰仰lh。把坡面与l3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么i四、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系

sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)（2）平方关系 sin2Acos2A1（3）倒数关系 tanAtan(90°—A)=1（4）弦切关系 tanA=

htan。lsinAcosA

专题典型题考法及解析

【例题1】（2019•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，

P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 　．

【例题2】（2019•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛

A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmileB．60nmileD．（30+30

）nmileC．120nmile【例题3】（2019•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈

，cos37°＝sin53°≈

，tan37°≈

，tan76°≈4）

专题典型训练题

一、选择题

1．（2019•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（　　）A．1，

，2

B．1，3，4

C．2，3，6

D．4，5，6

2．（2019•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（　　）A．C．

，

，

B．32，42，52D．0.3，0.4，0.5

3.（2019广西省贵港市）将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为，若ACB45，则重叠部分的面积为(　　)ABC（图中阴影部分）

A．22cm2B．23cm2C．4cm2D．42cm2

4.（2019贵州省毕节市） 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）

A．3B．3C．5D．5

5．（2019•南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED＝3，则AC的长为（　　）

A．3B．3C．6D．9

6．（2019•）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径

OB等于（　　）

A．1B．C．2D．2

7.（2019•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为183m的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30o，则教学楼的高度是（ ）A．55.5mAB．54mC．19.5mD．18mDC30°B8.（2019•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+

BD的最小值是（　　）

A．2二、填空题

B．4C．5D．10

9.（2019·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．

10. （2019贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　 　．

11. (2019海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°<<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转(0°<<90°)得到AF,连接EF,若AB＝3,AC＝2,且+＝∠B,则EF＝________.

12.（2019黑龙江哈尔滨）如图将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C,其中点A′与A是对应点,点B′与B是对应点,点B′落在边AC上,连接A′B,若∠ACB=45°,AC=3,BC=2,则A′B的长为 ．

13.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30

°

，腰长为23，则它的周长是____________．

14.（2019•浙江宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为　 　米．（精确到1米，参考数据：

≈1.414，

≈1.732）

15.（2019•海南省）如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边

AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AB＝3，AC＝2，且α+β＝∠B，则EF＝　 　．

16．（2019•山东临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是　 　．

三、解答题

17.（2019黑龙江省龙东地区）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）如图①所示，若∠ABC＝30°，求证：DF＋BH＝3 BD；3（2）如图②所示，若∠ABC＝45°，如图③所示，若∠ABC＝60°（点M与点D重合），猜想线段DF，BH，

BD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

AAFBHECAEFBHMDCBFD(M)HEMDC图①图②图③

18.（2019▪广西池河）如图，在河对岸有一棵大树A，在河岸B点测得A在北偏东60°方向上，向东前进120m到达C点，测得A在北偏东30°方向上，求河的宽度（精确到0.1m）．参考数据：≈1.732．

≈1.414，

19. （2019•湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

20.（2019四川巴中）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏

东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

21.（2019•湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥BC．

．

22.（2019广东深圳）如图所示，某施工队要测量隧道长度BC，AD=600米，AD⊥BC，施工队站在点D处看向B，测得仰角45°，再由D走到E处测量，DE∥AC，DE=500米，测得仰角为53°，求隧道BC长.（sin53°≈

434，cos53°≈，tan53°≈）.55323.（2019湖北十堰）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD＝3m，坝高AE＝DF＝6m，坡角α＝45°，β＝30°，求BC的长．

24. （2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东

60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？

（精确到0.01km．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449）

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