经济数学基础线性代数之第章 行列式

一、学习目标

通过本节课学习，理解行列式的递归定义，掌握代数余子式的计算，知道任何一个行列式就是代表一个数值，是可以经过特定的运算得到其结果的．

二、内容讲解

行列式 行列式的概念

什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖

35线。即12称为二阶行列式；

有几个概念要清楚，即

上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列； 一般用

aij表示第i行第j列的元素，如上例中的元素a113，a125，

a211，a222．

13再看一个算式

1024称为三阶行列式，其中第三行为5，-7，0；第二列

a315570a234为–1，2，-7；元素

01200331，

1004123又如

0，是一个四阶行列式．

而a11的代数余子式为

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A111M11112470

代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．

A32132M32aij1034

Aij问题思考：元素的代数余子式是如何定义的？ 代数余子式

ijAij由符号

ijMaA1(1)因子与元素ij的余子式ij构成，即ijMij

三、例题讲解

1D3例题1：计算三阶行列式

404235

2分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和， 二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．

D11解：

1103454112323521133024

1124921272

四、课堂练习

a0D400ce0df0b00h计算行列式

g0

利用n阶行列式的定义选择答案．

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将行列式中的字母作为数字对待，利用递归定义计算．注意在该行列式的第一行中，有两个零元素，因此展开式中对应的两项不用写出来了． cedf000hb(1)14+00cedf0 D4=a(1)110g0五、课后作业

1.求下列行列式的第二行第三列元素的代数余子式A23

1020438（1）

105220410412 （2）

311321

2．计算下列行列式

11（1）

10101234503451 （2）

226020621

1021201031451000D43．设

（1）由定义计算D4；

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（2）计算a21A21a22A22a23A23a24A24，即按第二行展开； （3）计算a31A31a32A32a33A33a34A34，即按第三行展开； （4）按第四行展开．

121(1)1．（1） 2312(1)23021503 01 （2） 2．（1）20 （2）24 3．（1）1 （2）1 （3）1 （4）1 第二单元 行列式的性质

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的性质，并会利用这些性质计算行列式的值．

二、内容讲解 行列式的性质

用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．

行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：

把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为D．

T4 / 16

1237147369D456DT258如

,

341．行列式的行、列交换，其值不变．如5635462

这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．

342．行列式的两行交换，其值变号．如565634a2

b3．若行列式的某一行有公因子，则可提出．如3c3d3abcd

注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘．

4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到

3另一行上

1À+2Á

3112 505

注意：符号“À+2Á”放在等号上面，表示行变换，放在等号下面表示列变换．

问题1：将n阶行列式的最后一行轮换到第一行， 这两个行列式的值有什么关系？答案设n阶行列式列式

CnDn，若将Dn的最后一行轮换到第一行，得另一个n阶行Cn(1)n1Dn，那么这两个行列式的值的关系为：=

问题2：如果行列式有两行或两行以上的行都有公因子，那么按性质3应如何提取？答案按顺序将公因子提出. 三、例题讲解

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a410b80000c0例1计算行列式

576d.

分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．

a410b80000c0ba800c0解：

576d=

76dab=

c06d=abcd

我们将行列式中由左上角至右下角的对角线， 称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式． 由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积． 同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．

18224369484976例2 计算行列式

77

分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．

1822436948418020309404976976解：

77

77= 0

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101212322112431例3 计算行列式

1

分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．

101212322112Â+Ã

1011021122144431430解：

1011

102111430241011121114(1)3343=

012413À+Á

11=

014(1)2112114(12)12

通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．

三、课堂练习

a11a21练习1 若

a12a22a32a13a23da33，求行列式

3a31a112a213a32a122a223a31a132a23

a31利用行列式的性质3，将第一行的公因子3、第二行的公因子（-1）、第三行的公因子2提出．

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利用行列式的性质3和性质2，将所要计算的行列式化为已知的行列式，再求其值．

139710332129928198练习2 计算行列式

454055

由性质4，若行列式中某列的元素均为两项之和，则可将其拆写成两个行列式之和．

在着手具体计算前，先观察一下此行列式有否特点？有，其第三列的数字较大，但又都分别接近100、200、300和400，故将第三列的元素分别写成两项之和， 再利用行列式的性质4将其写成两个行列式之和．注意，将第三列的元素分别写成两项之和时，还要考虑到结论“行列式中两列元素相同（或成比例），则该行列式的值为0”的利用．

五、课后作业

1．计算下列行列式

01 （1）

150701w2w12123 （2）

12240571w1w35120

371480 （3）

ww2 (w0) （4）

9783

2．证明

abbccabccaab0caabbca21ab1b232aab2bab （1） （2）

1

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221．（1）0 （2） -2 （3）w(w1) （4）0

2. （1）提示：利用性质5，将第一行化成零行．

（2）提示：利用性质5，将第三行的元素化成“0 0 1”，再按第三行展开，并推出等号右边结果．

第三单元 行列式的计算

一、学习目标

通过本节课的学习，掌握行列式的计算方法．

二、内容讲解

行列式的计算

行列式=按任何一行（列）展开 下面用具体例子说明．

ab35cd=adbc12325(1)6511

一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．

131024可以按任何一行（列）展开

5701按第一行展开=

2470321345003257=28200=8 1132=04(75)0=8

0按第三列展开=

57411570注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．

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2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．

abcd问题：试证 答案左边= d0c1c2d1d2a1c100a200c2aba2b2cdc2d2b1d1b2d2

ba1b1b2d2a(1)110a2b2c(1)210a20c2ad(1)11a2c2b2d2cb(1)11a2c2b2d2(adcb)a2c2b2d2aba2cdc2b2d2=右边

三、例题讲解

110100120021320例计算行列式

4

分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．

解：按第三行展开

1101400120013120110142123121(1)5120=

132(1)34020

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3(1)23=

11222(1)(1)231141==3(22)2(14)10

四、课堂练习

a101b1001c001练习1 计算行列式

01d

根据定义，按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和． 因为行列式第一行有较多的零元素，所以可采用“降阶法”，即先按第一行展开，使其成为两个三阶行列式之和，然后再计算两个三阶行列式降阶，最后求出结a101b1001c001ba1021221c0101c0110果．01d =3251d1d 220385162824练习2 计算行列式

4

为了避免分数运算，先作变换“第一行加上第二行的2倍，即À+Á 2；第三行加上第二行的-2倍，即Â+Á(-2)；第四行加上第二行的-2倍，即Ã+Á(-2)”．

该行列式没有明显特点，采用哪种方法计算都可以，这里用“化三角行列式”的方法进行计算．注意尽量避免分数运算． 32542122220385162821À+Á2 Â+Á(-2) Ã+Á(-2) 1100004321216421 111 11 / 16

五、课后作业

1．计算下列行列式：

122212214418812011356015622222232 （1） （2）

2224

43612150613421313500730000

31234 （3） （4）2xaaaxaaax2．计算n阶行列式

1．（1）48 （2）4 （3）-3 （4）-340

n1(xa)[(n1)ax] 2.

第四单元 克拉默法则

一、学习目标

克拉默法则是行列式在解线性方程组中的一个应用，通过本节课的学习，要知道克拉默法则求线性方程组解的条件，了解克拉默法则的结论．

二、内容讲解

克拉默法则

设n个未知数的线性方程组为

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a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2an1x1an2x2annxnbn （1）

a11a12a1nD记行列式列的元素

a21an1a22a2nan2ann称为方程组（1）的系数行列式．将D中第jDja1j,a2j,,anj分别换成常数b1,b2,,bn而得到的行列式记作

．

克拉默法则 如果线性方程组（1）的系数行列式D0，那

么它有惟一解

x1DD1D,x22,,xnnDDD （2）

x1,x2,,xn证将（2）式分别代入方程组（1）的第i个方程的左端的

中，有

ai1DD1Dai22ainnDDD （3）

Dj将（3）中的

D按第j列展开， 再注意到j中第j列元素的代数余子式和DA中第j列元素的代数余子式ij是相同的， 因此有

Djb1A1jb2A2jbnAnj(j1,2,,n) （4）

把（4）代入（3），有

ai1DD1Dai22ainnDDD

1ai1b1A11b2A21biAi1bnAn1abAbAbAbAi2112222ii2nn2D…+…

ainb1A1nb2A2nbiAinbnAnn

把小括弧打开重新组合得

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1b1ai1A11ai2A12ainA1nDb2ai1A21ai2A22ainA2nbiai1Ai1ai2Ai2ainAinbnai1An1ai2An2ainAnnbi

因由性质6和性质7

0ai1Ak1ai2Ak2ainAknDai1DD1Dai22ainnbiDDD

ikik故上式等于bi，即

下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设

x1c1,x2c2,,xncn

为方程组（1）的任意一组解．于是 a11c1a12c2a1ncnb1acacacb2112222nn2an1c1an2c2anncnbn （5）用A1j，A2j，…Anj分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n个等式，再把n个等式两边相加，得

(a11A1ja21A2jan1Anj)c1(a1jA1ja2jA2janjAnj)cj(a1nA1ja2nA2jannAnj)cnb1A1jb2A2jbnAnj

根据性质6和性质7，上式即为

cjDjDDcjDj(j1,2,,n)

因为D0，所以

(j1,2,,n) 克拉默法则有以下两个推论：

推论1 如果齐次线性方程组的系数行列式D0， 那么 它只有零解．

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推论2 齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式D0． 问题：对任一线性方程组都可用克拉默法则求解吗？

答案 不对．当线性方程组中的未知量个数与方程个数不一样；或未知量个数与方程个数相同，但其系数行列式等于零时，不能使用克拉默法则．

三、例题讲解

3x14x262x5x27例 利用克拉默法则解下列方程组1

分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解． 解：因为系数行列式

D32456354243215870 679，所以

且

D1752，

D2x1D1D29x22D7，D7

四、课堂练习

k取什么值时，下列方程组有唯一解？有唯一解时求出解．

x1x2kx31x1kx2x31xx2x0231

对行列式作变换“第二行加上第一行的1倍，即Á+À；第三行加上第一行的-1倍，即Â+À(-1)”．

这是三个未知量三个方程的线性方程组，由克拉默法则知，当系数行列式D 0时，方程

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组有唯一解．所以，先求系数行列式的值． 1D111kk1 1012k2k0k1k1 12五、课后作业

用克莱姆法则解下列方程组

x1x2x3x47x3xx822x1x2 134x1x24x31x12x2x3x42 x2x1232x12x22x3x441.

2．

1．x13，x24，

x333510x2x32，2. x12，3，2，x420

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