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课时跟踪检测 (三十四) 二元一次不等式(组)及简单的线性规划
问题
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
x≥0，
1．不等式组x＋3y≥4，
3x＋y≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
3
A． 24C． 3
解析：选C 平面区域如图所示． 解
x＋3y＝4，3x＋y＝4.
2
B． 33D． 4
得A(1,1)，
4易得B(0,4)，C0，， 3
48
|BC|＝4－＝．
33184
所以S△ABC＝××1＝．
233
2．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )
解析：选C (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇔
x－2y＋1≥0，
x＋y－3≤0
或
x－2y＋1≤0，
x＋y－3≥0.
画出图形可知选C．
x－y＋1≥0，
3．(2016·四川德阳月考)设变量x，y满足x＋y－3≥0，
2x－y－3≤0，
3y的最大值为( )
A．7 C．22 最新K12
B．8 D．23
则目标函数z＝2x＋
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x－y＋1≥0，
解析：选D 由约束条件x＋y－3≥0，
2x－y－3≤0
中阴影部分，
x－y＋1＝0，
由2x－y－3＝0
作出可行域如图
x＝4，
解得
y＝5，
则B(4,5)，将目标函数z2z＝2x＋3y变形为y＝－x＋．
33
2z由图可知，当直线y＝－x＋过B时，直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，
33为2×4＋3×5＝23．
4．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．
解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点2(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞．
3
2答案：，＋∞ 3
x－y＋5≥0，
5．(2017·昆明七校调研)已知实数x，y满足x≤4，
x＋y≥0.
值为________．
解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x＋3y＝0，如图，平移直线y＝－，当直线经过点(4，－
34)时，在y轴上的截距达到最小，此时z＝x＋3y取得最小值4＋3×(－4)＝－8．
答案：－8
二保高考，全练题型做到高考达标
则z＝x＋3y的最小
xx＋2y≥0，
1．(2015·福建高考)若变量x，y满足约束条件x－y≤0，
x－2y＋2≥0，
小值等于( )
5
A．－ 2
B．－2
则z＝2x－y的最
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3C．－ 2
D．2
解析：选A 作可行域如图，由图可知，当直线z＝2x－y过点A时，z值最小．
x－2y＋2＝0，由
x＋2y＝0
1得点A－1，，
2
zmin＝2×(－1)－＝－．
x≥0，
2．设动点P(x，y)在区域Ω：y≥x，
x＋y≤4
1
252
上，过点P任作直线l，设直线l与区域
Ω的公共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )
A．π C．3π
B．2π D．4π
解析：选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，
42
则根据图形可知，以AB为直径的圆的面积的最大值S＝π×＝4π．
2
3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂
x－2≤0，
足称为点P在直线l上的投影．由区域x＋y≥0，
x－3y＋4≥0
影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．22 C．32
B．4 D．6
中的点在直线x＋y－2＝0上的投
解析：选C 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，则四边形ABDC为矩形，
x＝2，
由
x＋y＝0
得C(2，－2)．
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x－3y＋4＝0，由
x＋y＝0
得D(－1,1)． ＋
2
所以|AB|＝|CD|＝＋－2－
2
＝32．故选C．
x≥a，
4．(2017·湖南东部六校联考)实数x，y满足y≥x，
x＋y≤2
大值是最小值的4倍，则a的值是( )
2
A． 111C． 2
1B． 411D．
2
(a＜1)，且z＝2x＋y的最
解析：选B 如图所示，平移直线2x＋y＝0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin＝3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax＝3，1
所以12a＝3，即a＝．
4
5．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
黄瓜 韭菜 每亩年产量 4吨 6吨 每亩年种植成本 1．2万元 0．9万元 每吨售价 0．55万元 0．3万元 为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入—总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50,0 C．20,30
B．30,20 D．0,50
解析：选B 设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x，y亩，则总利润z＝4×0．55x＋6×0．3yx＋y≤50，
－1．2x－0．9y＝x＋0．9y．此时x，y满足条件1.2x＋0.9y≤54，
x≥0，y≥0.
画出可行域如图，得最优解为A(30,20)．
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x－y＋3≥0，
6．若不等式组x＋y≥a，
x≤2.
________．
解析：不等式组
表示的区域为一个三角形，则实数a的取值范围为
x－y＋3≥0，x≤2
表示的区域如图所示． 易求得A(2,5)． 画出直线l：x＋y＝a． 由题意及图可得a＜7． 答案：(－∞，7)
y≥1，
7．(2017·河南六市联考)已知实数x，y满足y≤2x－1，
x＋y≤m.
的最小值为－1，则实数m＝________．
如果目标函数z＝x－y解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可
y＝2x－1，
知，当直线l经过A时符合题意，由
x－y＝－1，
x＝2，
解得
y＝3.
又A(2,3)在直线x＋y＝m上，∴m＝5．
答案：5
8．(2017·西安质检)若变量x，y________． 最新K12
|x|＋|y|≤1，
满足
xy≥0，
则2x＋y的取值范围为
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解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y＝0，经过点(1,0)时，2x＋y取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1,0)时，2x＋y取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x＋y的取值范围为[－2,2]．
答案：[－2,2]
9．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域 (包括边界与内部)．如图所示． (1)写出表示区域D的不等式组．
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0．原7x－5y－23≤0，
点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为x＋7y－11≤0，
4x＋y＋10≥0.
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0， 即(14－a)(－18－a)＜0， 解得－18＜a＜14．
故a的取值范围是(－18,14)．
x＋y≥1，
10．若x，y满足约束条件x－y≥－1，
2x－y≤2.
11
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
22
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)． 11
平移初始直线x－y＋＝0，过A(3,4)取最小值－2，
22过C(1,0)取最大值1． 所以z的最大值为1， 最小值为－2．
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a2＜2．
故所求a的取值范围为(－4,2)． 最新K12
a[k12]
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
x≥0，y≥0，
1．(2016·通化一模)设x，y满足约束条件
xy3a＋4a≤1，
3
小值为，则a的值为________．
2
解析：∵而
若z＝
x＋2y＋3
的最x＋1
x＋2y＋3
＝1＋x＋1y＋x＋1
，
y＋1
表示过点(x，y)与(－1，－1)连线的斜率， x＋1
y＋11
的最小值是， x＋14
易知a>0，作出可行域如图所示，由题意知即
y＋1＝0－－
min3a－－x＋1
11＝＝⇒a＝1． 3a＋14
答案：1
2．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 最新K12
[k12]
4x＋5y≤200，
8x＋5y≤360，
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为3x＋10y≤300，
x≥0，y≥0.
(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y．
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．
2z2
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平
333行直线，为直线在
3
z
zy轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，
3
当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
3
4x＋5y＝200，
解方程组
3x＋10y＝300，
z
得点M的坐标为(20,24)，
所以zmax＝2×20＋3×24＝112．
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
最新K12
