代 数
数学是在人类不断地探索、积累中发展起来的，数系的每一次扩充，都解决了一定的矛盾，从而扩大了数的应用范围．但这只是一些代表具体数目的数，我们还可以用数来表示其他的内容：可以代表事件、可以代表事物，这种用符号来表示数的方法，在人们处理日常事务中称之为“代数”．单独一个数或一个字母也是代数式．单独的一个字母a，它可以代表一朵红花，也可以代表一头牛．代数式6p代表什么？(可以代表6个苹果，也可以代表6个p元的练习簿)．一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，用代数式表示这个两位数可以表示成：10b＋a，用代数式去表示数和数之间的关系，把数的内容再一次丰富和扩展了．
初中学习的整式的加法运算：3a＋4a，其实质意义上是小学的加法.3朵红花＋4朵红花的演变，只不过把具体的事物变成了抽象的代数式而已，小学的加法也就变成了初中的合并同类项．所谓的同类项也就是用相同的字母表示相同的事物或事件.5头牛和6朵花不能相加，因为它们表示的事物不同，这是小学生都知道的东西，同样地，在代数式中：5x和6y不能合并，因为它们不是同类项．代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算．
单项式的关键点
1．数字写在字母的前面，应省略乘号(如：5a 、16xy等)；2.常数的次数为0；3.单项式分母不能为字母(因为这种式子叫分式，不为单项式) ；4.π是常数，因此也可以作为系数；19
5.若系数是带分数，要化成假分数(如不可写成2xy，应写成xy)；6.当一个单项式的系数是
441或－1时，“1”通常省略不写，如(－1)ab写成－ab等；7.当字母指数是1时，通常省略
不写；8.单项式中系数不为0，否则单项式无意义．
多项式的历史
多项式的研究，源于“代数方程求解”， 是最古老数学问题之一．有些代数方程，如x＋1＝0，在负数被接受前，被认为是无解的．另一些多项式，如f(x)＝x2 ＋ 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根．若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理．
能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学的主要课题．一元二次多项式的根相对容易．三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根，如四次多项式的情况也是如此．经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛．数年后，伽罗瓦引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论．伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能．另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根．
揭秘 “预测未来”
著名魔术师刘谦有一次玩了一个“预测未来”的魔术．
任取某年的一张月历，用正方形框住16个数(4×4)，魔术师只看了框中四角的数．主持人在16个数中任取一个数，把它所在行及列的其他数划去，再在剩下的数中取一个数，同样把此数所在行及列的其他数划去，依此方法取第4个数(即最后剩下的一个数)，主持人在取和划的过程中都不给魔术师看，魔术师便能准确知道此人划去的四个顶点的数之和即为划去的四个数之和．
其实里面蕴含着数学知识，并且还可以比魔术师更棒更快捷知道所圈去四个数之和．
如：
7 14 21 28 1 8 15 22 29 2 9 16 23 30 3 10 17 24 31 4 11 18 25 5 12 19 26 6 13 20 27
每行最多7个数，即共7列，且每行按连续自然数排列，上一行尾数与下一行首数也为连续自然数．
设框住的第一个数为x，则框住四行的数分别为：
x， x＋1， x＋2， x＋7， x＋14， x＋21， x＋8， x＋15， x＋22， x＋9， x＋16， x＋23， x＋3 x＋10 x＋17 x＋24
按前所述操作每行每列都只取了一个数：
第一列取 x＋7a (a取0，1，2，3中的一个)
第二列取 x＋7b＋1(b取0，1，2，3中的一个，且a≠b) 第三列取 x＋7c＋2(c取0，1，2，3中的一个， 且a≠b≠c) 第四列取 x＋7d＋3(d取0，1，2，3中的一个， a≠b≠c≠d) 无论怎样取都有a＋b＋c＋d＝0＋1＋2＋3＝6，
∴(x＋7a)＋(x＋7b＋1)＋(x＋7c＋2)＋(x＋7d＋3)
＝4x＋7(a＋b＋c＋d)＋1＋2＋3＝4x＋42＋6＝ 4x＋48. 只要看正方形框中的第一个数，就能得出取中的四个数之和．如当框中的第一个数为7，则四个数之和为4×7＋48＝76，也即为正方形框中四个顶点数之和 7＋10＋28＋31＝76.
“神奇”速算 小明对小刚说：对于多项式3x2y＋7x3－6x3y－(3x2y＋10x3－6x3y－3x3－6)，你任意取x、y的值，我都可以立刻说出这个多项式的值．小刚不相信，就说：我取x＝2 011，y＝2 012. 果然小明立刻说：答案是6. 经过计算检验正确答案真是6.你知道小明为什么这么快得出正确答案吗？原来奥秘就在化简多项式：
3x2y＋7x3－6x3y－(3x2y＋10x3－6x3y－3x3－6) ＝3x2y＋7x3－6x3y－3x2y－10x3＋6x3y＋3x3＋6 ＝3x2y－3x2y＋7x3－10x3＋3x3－6x3y＋6x3y＋6
＝6原来此整式的值与x、y的取值无关．因而无论x、y取何值，小明都能准确地说出整式的值是6.
