成都石室联合中学蜀华分校数学初中九年级平行四边形选择题易错题压轴难题综合练习

综合练习

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题

1．将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（ ）

A．2 B．2 C．1.5

D．3 2．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE=4，EC=8，将正方形边AB延AE折叠刀AF，延长EF交DC于G，连接AG，现在有如下结论：①∠EAG=45°；②GC=CF；③FC∥AG；④S△GFC=14.4；其中结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知菱形ABCD的面积为83，对角线AC的长为43，∠BCD=60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为（ ）

A．3 B．2

C．23 D．4

4．如图，在菱形ABCD中，AB=AC=1，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，则下列结论：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=3；其中正确的结论个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝

18．其中正确结论的个数是( ) 5

A．1 B．2 C．3 D．4

6．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD2AD，点E，

F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H，下列4个结论中说法正确的

有（ ）

①EDCA；②EFEG；③FH11FD；④S△EFDS△ACD． 22

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

7．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（ ）

A．0.5 （ ）

B．2.5

C．2 D．1

8．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为

A．2.8

B．22 C．2.4 D．3.5

9．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=

1∠BCD；（2）EF=CF；（3）S△BEC= 2S△CEF；（4）2∠DFE=3∠AEF；其中正确的结论是（ ）

A．（1）（2）

B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（3）（4）

10．在菱形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的一点(不与端点重合)，对于任意的菱形ABCD，下面四个结论中：

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形 正确的结论的个数是( ) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

11．如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，折叠纸片使点D落在AC边上的D处，折痕为AH，则CH的长为（ ）

5 23 2A．B．2 C．D．1

12．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝值．其中正确的结论个数为（ ）

32

CG；④∠BGE的大小为定4

A．1 B．2 C．3 D．4

，AC8，F是AB边上的中点，点D、E分13．如图，在等腰Rt△ABC中，C90°别在AC、BC边上运动，且保持ADCE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CDFE不可能为正方形， ③DE长度的最小值为4； ④四边形CDFE的面积保持不变； ⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤

14．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )

①∠DCF=

1∠BCD；②EF=CF；③SBEC2SCEF；④∠DFE=4∠AEF 2B．①②③

C．①②

D．①②④

A．①②③④

15．如图，在ABC中，ACB90，ACBC2，D是AB的中点，点E在AC上，点F在BC上，且AECF，给出以下四个结论：（1）DEDF；（2）DEF是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF面积的有（ ）．

1S△ABC；（4）EF2的最小值为2．其中正确2

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

16．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD＝是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①CN⊥BD； ②MN＝NP；

③四边形MNCP是菱形； ④ND平分∠PNM． 其中正确的有（ ）

1AC，M、N、P分别2

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=8，则S2的值为（ ）

A．22 B．24 C．44 D．48

18．如图，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠D＝90°．∠A的平分线交DC于E，EF⊥AB于F．已知AD＝3.5cm，DC＝4cm，BC＝6.5cm．那么四边形BCEF的周长是（ ）

A．10cm B．11cm C．11.5cm D．12cm

19．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法： 甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求； 乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）

A．两人皆正确 C．甲正确，乙错误

B．两人皆错误 D．甲错误乙正确

20．如图，ABCD的对角线AC、BD相较于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠ADC＝60°，AB＝OB；④OE＝

1BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②S2ABCDAB·AC；③OA＝

1BC．其中成立的个数是（ ） 4

A．1 B．2 C．3 D．4

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、易错压轴选择题精选：平行四边形选择题 1．D 【分析】

设BCx，先根据矩形的性质可得B90,ADBC，再根据折叠的性质可得

OAADx,OCBCx,COEB90，从而可得OAOC，又根据菱形的性

质可得AECE，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得AOECOE90，从而可得点A,O,C共线，由此可得AC2x，最后在RtABC中，利用勾股定理即可得． 【详解】 设BCx，

四边形ABCD是矩形，

B90,ADBCx，

由折叠的性质得：OAADx,OCBCx,COEB90，

OAOCx，

四边形AECF是菱形，

AECE，

OAOC在△AOE和COE中，AECE，

OEOEAOECOE(SSS)，

AOECOE90，即AOECOE180， 点A,O,C共线， ACOAOC2x，

在RtABC中，AB2BC2AC2，即32x2(2x)2， 解得x3或x3（不符题意，舍去）， 即BC3， 故选：D． 【点睛】

本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出AOECOE90，从而得出点

A,O,C共线是解题关键．

2．C 【分析】

选项①正确．证明∠GAF=∠GAD，∠EAB=∠EAF即可．选项②错误．可以证明

DG=GC=FG，显然△GFC不是等边三角形，可得结论．选项③正确．证明CF⊥DF，AG⊥DF即可．选项④正确．证明FG：EG=3：5，求出△ECG的面积即可． 【详解】

解：如图，连接DF．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°，

由折叠可知：AB=AF，∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°，BE=EF=4，∠BAE=∠EAF， ∵∠AFG=∠ADG=90°，AG=AG，AD=AF， ∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL）， ∴∠GAF=∠GAD， ∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=设GD=GF=x，

1(∠BAF+∠DAF)=45°，故①正确， 2在Rt△ECG中，∵EG2=EC2+CG2， ∴(4+x)2=82+(12-x)2， ∴x=6，

∵CD=BC=BE+EC=12， ∴DG=CG=6， ∴FG=GC，

易知△GFC不是等边三角形，显然FG≠FC，故②错误， ∵GF=GD=GC， ∴∠DFC=90°， ∴CF⊥DF， ∵AD=AF，GD=GF， ∴AG⊥DF，

∴CF∥AG，故③正确， ∵S△ECG=

1×6×8=24，FG：FE=6：4=3：2， 2∴FG：EG=3：5， ∴S△GFC=

372×24==14.4，故④正确， 55故①③④正确， 故选：C． 【点睛】

本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 3．C 【分析】

作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；由菱形的面积可求出BD=4，由题意可证△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质可得DM⊥BC，CM=BM=2，由勾股定理可求DM=23． 【详解】

解：作点B关于对角线AC的对称点，该对称点与D重合，连接DM，则PB与PM之和的最小值为DM的长；

∵菱形ABCD的面积为83，对角线AC长为43， ∴BD=4，

∵BC=CD，∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=4， ∵M是BC的中点， ∴DM⊥BC，CM=BM=2， 在Rt△CDM中，CM=2，CD=4， ∴DM=CD2CM216423， 故选：C． 【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的性质，直角三角形勾股定理；掌握利用轴对称求最短距离，将PB与PM之和的最小值转化为线段DM的长是解题的关键． 4．B 【分析】

根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④. 【详解】

解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠CAE=60°， 又∵AE=BF，

∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确； ∴∠BAF=∠ACE，

∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确； ∵∠B=∠CAE=60°， 则在△ADO和△ACH中， ∠OAD=60°=∠CAB，

∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO， ∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误； ∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G， ∴∠BAG=30°，BG=∴AG=21， 2ABBG=23, 233=，故④错误； 22∴菱形ABCD的面积为：BCAG=1故正确的结论有2个， 故选B.

【点睛】

本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等. 5．D 【分析】

由正方形和折叠的性质得出AF＝AB，∠B＝∠AFG＝90°，由HL即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，得出①正确；

设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2，由勾股定理求出x＝3，得出②正确；

由等腰三角形的性质和外角关系得出∠AGB＝∠FCG，证出平行线，得出③正确； 根据三角形的特点及面积公式求出△FGC的面积＝【详解】

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC＝6，∠B＝D＝90°， ∵CD＝3DE， ∴DE＝2，

∵△ADE沿AE折叠得到△AFE，

∴DE＝EF＝2，AD＝AF，∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°， ∴AF＝AB，

∵在Rt△ABG和Rt△AFG中，

18，得出④正确． 5AGAG， ABAF∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴①正确；

∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴BG＝FG，∠AGB＝∠AGF，

设BG＝x，则CG＝BC−BG＝6−x，GE＝GF＋EF＝BG＋DE＝x＋2， 在Rt△ECG中，由勾股定理得：CG2＋CE2＝EG2， ∵CG＝6−x，CE＝4，EG＝x＋2 ∴（6−x）2＋42＝（x＋2）2 解得：x＝3， ∴BG＝GF＝CG＝3，

∴②正确； ∵CG＝GF， ∴∠CFG＝∠FCG， ∵∠BGF＝∠CFG＋∠FCG， 又∵∠BGF＝∠AGB＋∠AGF， ∴∠CFG＋∠FCG＝∠AGB＋∠AGF， ∵∠AGB＝∠AGF，∠CFG＝∠FCG， ∴∠AGB＝∠FCG， ∴AG∥CF， ∴③正确；

∵△CFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边， 则这两个三角形的高相同．

S∴SCFGCEGFG3， GE5∵S△GCE＝∴S△CFG＝

1×3×4＝6， 2318×6＝， 55∴④正确； 正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】

本题考查了正方形性质、折叠性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、平行线的判定等知识点的运用；主要考查学生综合运用性质进行推理论证与计算的能力，有一定难度． 6．B 【分析】

由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=形斜边上中线等于斜边一半可得EG=平行四边形，即可得FH=S△EFD=S△OEF+S△ODE=【详解】

连接FG，如图所示：

1AB；由直角三角21CD，即可得EF=EG；连接FG，可证四边形DEFG是211FD，由三角形中位线定理可证得S△OEF=S△AOB，进而可得24311S▱ABCD，而S△ACD=S▱ABCD，推出S△EFDS△ACD，即可得出结论． 1622

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AD=BC，AD∥BC，AB=CD，AB∥CD， ∵BD=2AD， ∴OD=AD， ∵点E为OA中点， ∴ED⊥CA，故①正确；

∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点， ∴EF∥AB，EF=

1AB， 2∵∠CED=90°，G是CD的中点， ∴EG=

1CD， 2∴EF=EG，故②正确； ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥CD，EF=EG=DG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴FH=DH， 即FH=

1FD，故③正确； 2∵△OEF∽△OAB， ∴S△OEF=

1S△AOB， 411S▱ABCD，S△ACD=S▱ABCD， 42∵S△AOB=S△AOD=∴S△OEF=

1S▱ABCD， 1611S△AOD=S▱ABCD， 28113S▱ABCD+S▱ABCDS▱ABCD， 16816∵AE=OE， ∴S△ODE=

∴S△EFD=S△OEF+S△ODE=∵

11S△ACDS▱ABCD， 24∴S△EFD1S△ACD，故④错误； 2综上，①②③正确； 故选：B． 【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 7．B 【分析】

由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值． 【详解】

由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，

如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，

从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上， 如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值， 作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，

则CMMPCPHE故选B． 【点睛】

135EC1=2.5. 222本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键． 8．B 【分析】

延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-

BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长． 【详解】

解：如图，延长BG交CH于点E，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=CD=10， ∵AG=8，BG=6， ∴AG2+BG2=AB2， ∴∠AGB=90°， ∴∠1+∠2=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 同理：∠4=∠6， 在△ABG和△CDH中， AB＝CD＝10 AG＝CH＝8 BG＝DH＝6

∴△ABG≌△CDH（SSS）， ∴∠1=∠5，∠2=∠6， ∴∠2=∠4， 在△ABG和△BCE中，

∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4， ∴△ABG≌△BCE（ASA），

∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°， ∴GE=BE－BG=8－6=2， 同理可得HE=2， 在Rt△GHE中，

GHGE2HE2222222,

故选：B． 【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键． 9．B

【分析】

利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】

（1）∵F是AD的中点， ∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴∠DCF=

1∠BCD，故正确； 2（2）延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF， ∵F为AD中点， ∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

A＝FDM， AF＝DFAFE＝DFM∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°， ∵FM=EF， ∴EF=CF，故正确； （3）∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM， ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF错误； （4）设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°-x， ∴∠EFC=180°-2x，

∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x， ∵∠AEF=90°-x， ∴∠DFE=3∠AEF，故正确， 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键是得出△AEF≌△DME． 10．D 【分析】

根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】

①如图，连接AC，BD交于O，

四边形ABCD是菱形，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，

则四边形MNPQ是平行四边形，

故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确； ②如图，

当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确； ③如图，

当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确； ④如图，

当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故至少存在一个四边形MNPQ是正方形；故④正确；

综上，①②③④4个均正确， 故选：D． 【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，熟记各定理是解题的关键． 11．A 【分析】

先利用勾股定理求出AC=5，再令CHx，则DH4x，利用勾股定理求出答案. 【详解】

∵四边形ABCD为矩形， ∴ABDC4， ∵AD3， 在RtADC中， 由勾股定理得：

AD2DC2AC2，

得：AC5，

令CHx，则DH4x， 由折叠性质可知：

DHHD4x， ADAD3，

故DCACAD532， 在Rt△HDC中，

由勾股定理得：HD2DC2HC2，

22∴4x2x，

2∴x5. 2故CH5. 2故选：A. 【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，涉及直角三角形的边长的计算题时可多次进行勾股定理的计算. 12．D 【分析】

①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB;

②证明∠BGE＝60＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60; ③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积;

④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,故为定值. 【详解】

解：①∵ABCD为菱形, ∴AB＝AD, ∵AB＝BD,

∴△ABD为等边三角形, ∴∠A＝∠BDF＝60 又∵AE＝DF,AD＝BD, ∴△AED≌△DFB（SAS）, 故本选项正确;

②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60＝∠BCD, 即∠BGD+∠BCD＝180, ∴点B、C、D、G四点共圆,

∴∠BGC＝∠BDC＝60,∠DGC＝∠DBC＝60, ∴∠BGC＝∠DGC＝60, 故本选项正确;

③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）,

则△CBM≌△CDN（AAS）, ∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN S四边形CMGN＝2S△CMG, ∵∠CGM＝60,

∴GM＝

13CG,CM＝CG, 2211323×CG×CG＝CG, 2242∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×故本选项正确;

④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,为定值, 故本选项正确;

综上所述,正确的结论有①②③④, 故选：D. 【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质． 13．B 【分析】

①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；

②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；

③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可； ④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC； ⑤由③的结论进行计算即可． 【详解】 ①连接CF，

∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点， ∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB， ∵AD=CE， ∴△ADF≌△CEF， ∴EF=DF，∠AFD=∠CFE， ∵∠AFD+∠CFD=90°， ∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°， ∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；

②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线， ∴CD=DF=

11AC，FE=EC=BC， 22∴CD=DF=FE=EC，

四边形CDFE是菱形，又∠C=90°， ∴四边形CDFE是正方形，②错误；

③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小， 当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF=

1BC=4． 2∴DE=DF2EF2424242，③错误； ④∵△ADF≌△CEF， ∴S△CEF=S△ADF， ∴S四边形CEFD=S△AFC，

∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确； ⑤由③可知当DE最小时，DF也最小， DF的最小值是4，则DE的最小值为42， 当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小． 此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8，⑤正确； 综上，正确的是：①④⑤， 故选：B． 【点睛】

本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 14．B 【分析】

分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】

解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD．

∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF． ∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=延长EF，交CD延长线于M．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF． ∵F为AD中点，∴AF=FD．在△AEF和△DFM

1∠BCD，故①正确； 2AFDMAFDF，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M． 中，AFEDFM∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°． ∵FM=EF，∴EF=CF，故②正确； ③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．

∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC 故③正确； ④设∠FEC=x，则

∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，∴∠EFC=180°﹣2x，∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．

∵∠AEF=90°﹣x，∴∠DFE=3∠AEF，故④错误． 故答案为B．

点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键． 15．A 【分析】

根据等腰三角形的性质，可得到：CDAB，从而证明ADE≌CDF且

ADC90，即证明DEDF和DEF是等腰直角三角形，以及四边形CEDF面积

1S△ABC；再根据勾股定理求得EF，即可得到答案． 2【详解】

∵ACB90，ACBC2

∴AB222222 ∴AB45 ∵点D是AB的中点

∴CDAB，且ADBDCD∴DCB45 ∴ADCF， 在ADE和CDF中

1AB2 2ADCDADCF AECF∴ADE≌CDFSAS ∴DEDF，ADECDF ∵CDAB ∴ADC90

∴EDFEDCCDFEDCADEADC90 ∴DEF是等腰直角三角形 ∵ADE≌CDF

∴ADE和CDF的面积相等 ∵D为AB中点 ∴ADC的面积1ABC的面积 2EDCSCDF∴四边形CEDF面积SSEDCSADESADC1S2ABC；

当DEAC，DFBC时，EF2值最小 根据勾股定理得：EF2DE2DF2 此时四边形CEDF是正方形 即EFCD2 ∴EF2(2)22 ∴正确的个数是4个 故选：A． 【点睛】

本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解． 16．C 【分析】

证出OC＝BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN＝

11AB，由直角三角形的性质得NP＝CD，则MN＝NP，②正确；周长22四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND＝∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论． 【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD，OA＝OC＝∵AD＝

1AC， 21AC， 2∴OC＝BC， ∵N是OB的中点， ∴CN⊥BD，①正确；

∵M、N分别是OA、OB的中点， ∴MN是△AOB的中位线， ∴MN∥AB，MN＝

1AB， 2∵CN⊥BD， ∴∠CND＝90°， ∵P是CD的中点， ∴NP＝

1CD＝PD＝PC， 2∴MN＝NP，②正确； ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD，

又∵NP＝PC，MN＝NP， ∴MN＝PC，

∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形；③错误； ∵MN∥CD， ∴∠PDN＝∠MND， ∵NP＝PD， ∴∠PDN＝∠PND， ∴∠MND＝∠PND， ∴ND平分∠PNM，④正确； 正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质等；熟练掌握三角形中位线定理、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 17．C 【分析】

根据已知条件得到AB＝3，CD＝22，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝22，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝AB2AE2，于是得到结论． 【详解】 ∵S1＝3，S3＝8 ∴AB＝3，CD＝22 过A作AE∥CD交BC于E

则∠AEB＝∠DCB ∵AD∥BC

∴四边形AECD是平行四边形 ∴CE＝AD，AE＝CD＝22 ∵∠ABC+∠DCB＝90° ∴∠AEB+∠ABC＝90° ∴∠BAE＝90° ∴BE＝3811 ∵BC＝2AD ∴BC＝2BE＝211 ∴S2＝211故选：C． 【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键． 18．D 【分析】

根据角平分线性质得出AD=AF，根据勾股定理求出EF=DC，求出AB长，求出BE，即可求出答案． 【详解】

∵AE平分∠DAB，∠D=90°，EF⊥AB， ∴AF=AD=3.5cm，EF=DE， ∴DC=CE+DE=CE+EF=4cm，

过A作AM⊥BC于M，则四边形AMCD是矩形，

244

∴AM=DC=4cm，AD=CM=3.5cm， ∵BC=6.5cm，

∴BM=6.5cm-3.5cm=3cm， 在Rt△AMB中，由勾股定理得：AB∴BF=AB-AF=5cm-3.5cm=1.5cm，

∴四边形BCEF的周长是BC+BF+CE+EF=6.5cm+1.5cm+CD=8cm+4cm=12cm， 故选：D． 【点睛】

本题考查了勾股定理，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点，能求出各个边的长度是解此题的关键． 19．A 【分析】

如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据\"SSS\"可判断

APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ， 则根据\"SSS\"可判断△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断. 【详解】 解：如图1， ∵PQ垂直平分AD， ∴PA= PD,，QA= QD， ∵PQ= PQ，

∴△APQ≌△DPQ (SSS)， 所以甲正确； 如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP， ∴四边形APDQ为平行四达形， ∴PA=DQ,，PD=AQ， ∵PQ=QP，

∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确； 故选：A.

42325（cm），

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定. 20．C 【分析】

①先根据平行四边形的性质可得BAD120,ABC60,OAOC，再根据角平分线的定义可得∠BAE60，然后根据等边三角形的判定与性质可得ABAEBE，

AEB60，又根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得

ACECAE30，最后根据角的和差即可得；②由①已推得BAC90，再根据

SABCD2SABC即可得；③在

RtAOB中，根据直角边小于斜边即可得；④在ABC中，利用三角形中位线定理可得OE【详解】

11AB，再根据ABBC即可得．

22四边形ABCD是平行四边形，ADC60，

BAD120,ABC60,OAOC，

∵AE平分BAD，

BAE1BAD60， 2ABE是等边三角形，

ABAEBE,AEB60，

AB1BC， 2ABAEBECE，

ACECAE，

AEBACECAE60，

ACECAE30，

BACBAECAE90,CADBADBAC30，则结论①成立，

ABAC，

SABCD2SABC21AB·ACAB·AC，则结论②成立， 2在RtAOB中，OA是直角边，OB是斜边，

OAOB，则结论③不成立， OAOC,BECE，

OE是ABC的中位线， OE1111ABBCBC，则结论④成立， 2224综上，结论成立的个数是3个， 故选：C． 【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握并灵活运用各判定定理与性质是解题关键．