四川省成都石室中学(四中)2017年自主招生数学试卷

成都石室中学2017年外地生招生考试

数学试卷

（满分200分，测试时间150分钟）

一、选择题： （本题共10小题，每小题6分，共60分） 1．若ab<0，则代数式ab可化简为（▲ ） (A)abb (B)abb(c) -abb (D) -abb

2．若四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且将它分成了△AOB，△COD，△BOC，△AOD四个部分，若

23OAOB2==，则下列说法正确的是(▲ ) ODOC3 (A)△AOB与△COD相似，△BOC与△AOD相似 (B)△AOB与△COD相似，△BOC与△AOD不相似 (C)△AOB与△COD不相似，△BOC与△AOD相似

(D)△AOB与△COD不相似，△BOC与△AOD不相似 ．

3．如图，在用量角器测量某几何图形数据时，将量角器的底边与∠AOB的OB边重合，角的另外一边OA与量角器交于点C，D，且点C处的度数是15°，点D处的度数为135°，OC的长度为7，则线段CD的长为(▲ )

(A)

723+6(B)73(C)

272

3+3 (D)73 -2

4．函数yx2(1n)x3，当3≤x≤5时，y在x=5时取得最大值，则实数n的取值范围是( ▲ )

(A)n≥5 (B)n≤5 (C)n≥3 (D)n≤3 5．如图，AB，AC是⊙O中的弦，圆心O在∠BAC的内部，若∠ABO=α，∠ACO=β，∠BOC=θ，则下列关系中正确的是（▲ ）

(A)θ=α+β(B) α+β+θ=180° (C) α+β+θ=180° (D) θ=2α +2β

6.若三角形三边长均能使代数式2x-11x+12的值为零，则此三角形的周长是(▲ ) (A)

2919919919，(B)7，12 (C)，12， (D)，7，12， 2222227.在平面直角坐标系中，将一个以A为钝角顶点的三角形△ABC绕顶点C(2，3)顺时针旋转

90°得到△A’B’C，设点A’的坐标为（a，b），则点 A的坐标为(▲ ) (A) (5-b,1+a) (B) (b-1,5-a) (C) (2-a,-b+3) (D) (-b+3,2-a)

8．以x为自变量的二次函数y =-X2+2(b-2)X-b2+1的图象不经过第一象限，则实数b的取值范围是(▲ )

55或b≤-1(B)b≥l或b≤-1 (C) -10）的图象交于A，B两点，其中A(1,m)，

x (A)1≤b<

点C是反比例函数在第一象限的图象上不同于A的一点，直线AC交y轴于点E，直线BC交y轴于点E，则线段EF的长是(▲ )

(A) 2m (B) 3k (C) 3m+k (D)与m和k无关

10．如图，在等边△ABC中，E1，E2，E3分别为AB，BC，CA的中点，P1，P2，M1，M2，N1，N2分别为AB，BC，CA的三等分点，若设△ABC的面积为a，则阴影部分的面积为(▲ )

(A)

aaaa(B)(C) (D) 3567

二、填空题： （本题共7小题，每小题6分，共42分）

11．(1)已知α，β是关于x的方程x+(2m+3)x+m=0的两个不相等实根，且满足则m的值为▲ ． (2)已知：2m-5m -1=0，

2221+

1=-1,

1511+-2=0，且m≠n．则+=▲ ． n2nmn212.若抛物线B关与抛物线A于x轴对称，将抛物线B向左平移1个单位，向上平移2个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y= 2x-4x+3,则抛物线A所对应的函数表达式是▲ ． 13.如图，在平面直角坐标系中，圆心位于第二象限的⊙P恰好与x轴相切，过圆上一点E作⊙P的切线y=

3x+3交y轴点B，交x轴于点A，射线BP与x轴交于点C，当点C为线段4OA中点时，过点P的反比例函数解析式为▲ ．

14．如图所示，设AD，BE，CF为锐角三角形ABC的三条高，若AB=m，BC=n，EF=k，则线段BE的长为 ▲ ．

15.如图所示，在⊙O中，弦EF与直径AB相交于半径OB上一点P，点N为EF的中点，连接ON与弦EF交于点H，HP=OH,若直径AB的长为d,则PE+ PF=▲ ．

22

16.设抛物线y= (x+2)-1的顶点为M,直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现 将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共 点，则平移过程中符合条件的抛物线顶点横坐标的最大整数值与最小整数值之差为▲ ．

2

17．如图，△ABC内接于半径为R的⊙O中，∠BAC=90°，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI，下列结论：①AB+AC=BC+2IF； ②4∠AIB-∠BOA=180°;③EB=EI;④IF+R=

2AE，其中正确的结论有▲ ． 2

三、解答题： （共98分，请将解题过程及结论写在答题卡的相应位置） 18．(12分)解下列关于x的方程：

x23xx2x4112(1)2+=; (2)x+2|x+2|-4=0 22x2x83x9x12

19．（10分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA和cosB为关于x的方程X2=2xn的两个根，求n的值． 20．（12分）如图，以△AOC的AO边所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系， A，C两点的坐标分别为(-2，0)，(2，4)，过线段OC中点D的直线交线段AC于点E，交x轴于点B，且SAOCSOBD． (1)求直线BD解析武； (2)求

CE的值； AE(3)求CED的面积．

21.（16分）某工厂为开发A型和B型两种新产品，共投资700万元更新设备和购买原料．己知生产每件A型和B型产品分别还需成本费30元和20元，一台A型产品和一台B型产品的经济价值之和为90元．其中A型产品的经济价值为x（元／台），年生产量为y（万台），当35≤x<50时，y与x之间的函数关系式为y=20-0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式为y= -0.1x+15，B型产品的经济价值在每台25元（含）到45元（含）之间，且年生产量稳定在10万台．

(1)若工厂第一年的年生产量效益（年生产量效益=年生产经济价值-生产成本）为W（万元）， 那么经济价值x取何值时，可使第一年的年生产量效益最大？最大年生产量效益是多少？ (2)在(1)的条件下，第二年公司可重新对产品进行经济价值评估，测算后得到A型产品的经济价值x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总生产量效益（总 生产量效益=两年的年生产量效益之和-投资成本）不低于85万元，请测算出第二年B型产 品经济价值m（元）的范围．

22.（16分）已知在⊙0中，弦CD⊥直径AB，连接C与半径OA上一点E，延长CE交⊙O于

F.

(1)如图1，当E为OA中点，弦CD经过圆心O时，求tan ∠ABF的值；

(2)如图2，当CD经过点E时，弦AG交BC于M,连接DG交BC边于N,交AB于K，连MK，求证：BM·EK= BK·CM；

(3)如图3，在(2)问条件下，MK∥CD，弦AG经过半径OC中点H, AE=2，0C=5，求MN的长．

（16分）已知直线m和n为平面内的两条距离为2的平行直线，在直线m上取A，D23．

两点，在直线n上取B，C两点，线段CD在AB的右侧，AB⊥BC, AD=1，BC=3。

(1)如图1，P为线段AB上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD,能否取合适的点 P使得四边形CPDQ为矩形？

(2)如图2，P为线段AB上的一点，延长PD到E，使DE=PD,再以PE，PC为边作平行四 边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

(3)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE=nPA（n为常数），以PE，PB 为边作平行四边形PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出其最小值（用含n的式子表示），如果不存在，请说明理由．

24．（16分）如图，已知关于x的二次函数yaxbx283与x轴交于点A,B两点，其3

中点A的坐标为（-2，0），对称轴为x=1. (1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

(2)过点B作BF⊥x轴，经过点C,D的直线交x轴于点E，与直线BF交于点F，在y轴及 y轴的右侧，直线CD上方的平面内是否存在一点G，使以点G, F,C为顶点的三角形与△COE 相似，若有请求出符合要求的点G的坐标，若没有请说明理由； (3)如图，过点M(1，0)的一条直线TN交射线DA，DB于T,N两点，

DNDT的值；②设DN=m，DT=n，试求直线TN绕点M旋转过

DNDTDNDT程中,△DNT的面积（用含m，n的代数式表示）； 并探究的取值变化情况．

DNDT①试求出当TN⊥DB时，