实际问题与二次函数_详解与练习(含答案)

一、利用函数求图形面积的最值问题 一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。 (1)设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式； (2)当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。 解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），

根据题意，得：yx(18x)x18x；

2又∵x＞0,0＜x＜18

18x＞02（2）∵yx(18x)x18x中，a= -1＜0，∴y有最大值，

4acb20182b1881 9时，ymax即当x4a4(1)2a2(1)故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使

养鸡场的面积最大？ 解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（

根据题意，得：yx(50x）（米）， 250x1)x225x； 22x＞0又∵50x,0＜x＜50

＞02∵yx(50x11)x225x中，a=＜0，∴y有最大值，

222b即当x2a2512()225时，ymax4acb20252625

14a24()2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为

625平方米。 23、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

2

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm

2

20x2)17 解得： x116,x24 4当x116时，20-x=4；当x24时，20-x=16

由题意得： ()(2x4答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能。理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为

204x(5x)cm，围成两个正方形的面积为ycm2， 4222根据题意，得：yx(5x)2x10x25，

∵yx(5x)2x10x25中，a= 2＞0，∴y有最小值，

2224acb2422510225b105即当x=12.5＞时，ymin4a4222a22212,故两个正方形面积的和不可能是12cm.

练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.

(1)求出y与x之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .

图（1） 图

【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数

2

解析式为：y=ax，利用待定系数法求解. 试题解析：设此函数解析式为：y则22

y12x. 2ax2，a0； 那么（2，-2）应在此函数解析式上．

4a 即得a1， 那么y212x． 2考点：根据实际问题列二次函数关系式. 练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在

过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是yx22x5.请回答下列问题： 4(1)柱子OA的高度是多少米？

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系. ①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米? （2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

三、利用抛物线解决最大利润问题 例题1 某市大力扶持大学生创业．李明在的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y＝－10x＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分） 答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600. 【解析】 试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．

试题解析：（1）由题意得出： Wx20yx2010x50010x2700x10000，

b35， 2a∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．

∵a10<0， （2）由题意，得：10x2700x100002000， 解这个方程得：x1=30，x2=40．

∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）∵a10<0，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000. ∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000. 设成本为P（元），由题意，得：P2010x500200x10000，

∵k=200＜0，∴P随x的增大而减小． ∴当x=32时，P最小=3600．

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 考点：二次函数的应用．

练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．

（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ； （2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；

（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元

2．为了落实的指示精神，地方出台了一系列“三农”优惠，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y2x80. 设这种产品每天的销售利润为w元.

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润y(万元)与所售产品x(吨)之间存在二次函数关系

yax2bx.当x1时，y1.4 ；当x3时，y3.6．

信息2：销售B种产品所获利润y (万元)与所售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y0.3x．

根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；

(2)该公司准备购进A,B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A,B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关：由协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由承担．李明按照相关投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y10x500． (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不

低于3000元，那么为他承担的总差价最少为多少元？

5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.

（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 个（用含x的式子表示）；

（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系： x y 3000 100 3200 96 3500 90 4000 80 （1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.

（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表: 租出的车辆数 未租出的车辆数 租出每辆车的月收益 所有未租出的车辆每月的维护费 （3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元． 四、利用二次函数解决动点问题

例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .

(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

(2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN∥PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t2

≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm .

① 求S关于t的函数关系式；② 求S的最大值.

解：(1) 当点P运动2秒时，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=3. 3∴ SΔAPE=.

2(2) ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点

33ttG，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=3t.

222233∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=. t22当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动. 设PM与DC交于点G，QN与AD3ttt，BP=t-6，CP=10-t，PG=(10t)3， 交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4-，QF=222而BD=43，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=532t103t343. 8当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动. 设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=(20-2t)3，CP=10-t，PG=(10t)3.

∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=

332t303t1503. 233,(0t6)t22532故S关于t的函数关系式为St103t343,(6t8)

8332t303t1503.(8t10)273 当6≤t≤8时，S的最大值为63 2当8≤t≤10时，S的最大值为63 所以当t=8时，S有最大值为63 . 初中数学专项训练：实际问题与二次函数

参

②当0≤t≤6时，S的最大值为

一、1

22

（1）y=2x-2ax+a (2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大. 【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求

2

出EF，即可得到S与x之间的函数关系式； （2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解． 解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形， ∴∠A=∠D=90°，AD= a米． ∵四边形EFGH为正方形， ∴∠FEH=90°，EF=EH． 在△AEF与△DHE中，

∵∠A=∠D，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH，EF=EH

∴△AEF≌△DHE（AAS），

∴AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，

2222222

∴y=EF=AE+AF=x+（a-x）=2x-2ax+ a，

22

即y=2x-2ax+ a；

a2a2（2）∵y=2x-2ax+ a=2（x-）+，

422

2

∴当x=

a时，S有最大值． 2故当点E是AB的中点时，面积最大．

二、练习1 （1）

955 （2） （3） 442【解析】本题考查了二次函数的应用.

（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y的值，即可求出答案．

（2）通过抛物线的顶点坐标求得

（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式

55，即柱子OA的高度是 4492（2）由题意得：当x==1时，y=,即水流距水平面的最大高度

42（1）得：y=

（3）把y=0代入抛物线

551=0，解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=

2245故水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外

2得：x22x2．（1）①y12x4；②10；（2）①14.5；②47． 25【解析】 试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x的值即可；

222

（2）①构造直角三角形利用BW=BC+CW，求出即可；

222

②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF=WF﹣WG，求出即可．

2试题解析：（1）①设抛物线解析式为：yaxc，∵桥下水面宽度AB是20米，高CD是4

1a100ac0米，∴A（﹣10，0），B（10，0），D（0，4），∴，解得：25，∴抛物

c4c4线解析式为：y12x4； 2512x4，解得：x5，∴EF=10米； 25②∵要使高为3米的船通过，∴y3，则3222（2）①设圆半径r米，圆心为W，∵BW=BC+CW，∴r(r4)10，解得：r14.5；

2

2

2

②在RT△WGF中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF=WF﹣WG，

222

即GF=14.5﹣13.5=28，所以GF=27，此时宽度EF=47米．

222

考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．

2

三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.

【解析】 试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；

(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）

2

=-3x+360x-9600；

2

(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x+360x-9600的最大值. 试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；

2

（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x+360x-9600； (3)当x≤60，y随x的增大而减小， 当x=55时，w最大=1125

所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 考点：（1）一次函数；（2）二次函数． 2．（1）w2x2120x1600；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 【解析】 试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.

试题解析：（1）由题意得：wx20yx202x802x2120x1600， ∴w与x的函数关系式为：w2x2120x1600. （2）w2x2120x16002x30200，

∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.

答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值. 3．见解析 【解析】

试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入yaxbx

22得a0.1a0.12

解得 ，所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x；

b1.5b1.5（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W

元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6， 试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，

222

ab1.4∴

9a3b3.6解得a0.1 ，

b1.52

所以，二次函数解析式为y=-0.1x+1.5x； 3分

（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，

222

则W=-0.1m+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m+1.2m+3=-0.1（m-6）+6.6， ∵-0.1＜0，

∴当m=6时，W有最大值6.6，

∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．

考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质. 4．（1）这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，每个月为他承担的总差价最少为500元. 【解析】 试题分析：（1）根据每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）w3000同时满足x25，根据函数图象的性质知道，k0随x的增大而减小，当x25时，该函数有最大值时，p有最小值500.

试题解析：（1）当x20时，y10x5001020500300，300(1210)3002600，

∴这个月为他承担的总差价为600元。

（2）依题意得，w=x-1010x+500=10x2+600x-5000=-10x-30+4000， a100，

∴当x30时，w有最大值4000.

∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000．

2（3）由题意得：10x2+600x-50003000， 解得：x120，x240.

a100，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当20x40时，w3000. 又x25，∴当20x25时，w≥3000.

设每个月为他承担的总差价为p元，

p121010x50020x1000.

k200，p随x的增大而减小.

∴当x25时，p有最小值500.

∴销售单价定为25元时，每个月为他承担的总差价最少为500元.

【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.

5．（1）（220－10x）；（2）w10x2320x2200（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元． 【解析】

试题分析：用含x的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x）个，列出函数关系式w(22010x)(x10)，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知10x14所以x=1４时，W最大为320. 试题解析：（1）（220－10x）；

（2）w(22010x)(x10) 3分

10x2320x2200 5分 w10x2320x2200

10(x16)2360 6分

2∵抛物线w10x320x2200的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w随x的增大

而增大.8分

由题意可知10x14， 9分 ∴当x=14时，w最大为320.

∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元. 考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．

6．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为ykxb，

1k3000kb100将（3000，100），（3200，96）代入得，解得：50 。

3200kb96b160∴y1x160。 501x160。 50未租出的车辆数

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。 ∴y与x间的函数关系是y（2）填表如下： 租出的车辆数 租出每辆车的月收益

所有未租出的车辆每月的维护费

（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：

1x160 50x150 1x60 50x3000

W150x160x150x3000（150x2163x24000）（x3000）

150x2162x21000150x405030705

当x=4050时，Wmax=307050，

∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元 【解析】 试题分析：（1）判断出y与x的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。 （2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。 （3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。

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