第二专题 函数连续性中的若干基本方法

§2.1 函数连续性

习题2.1

1.讨论函数fxarctannn2111的连续性. x1xx32n2.讨论函数fxlim1x的连续性.

x4nx213.讨论fxlimx14n的连续性. 3nxx1xx2enx4.讨论函数fxlim的连续性.(长沙铁道学院硕士研究生入学试题)

n1enxlnenxn5.讨论函数fxlimx0的连续性.(华东化工学院硕士研究生入学

nn试题) 6.讨论函数fxtanx4x1x,x0,2的连续性.(全国硕士研究生

x入学统考试题)

sintsintsinx的连续性.(全国硕士研究生入学统考试7.讨论函数fxlimtxsinx题)

sinx1x22x4,xQ,,8.讨论函数fx的连续性.

24sinx1x2x,xQ,.x4nax32x2b9.设fxlim是连续函数,求a,b的值. 4nn1xx2n1ax2bx10.设fxlim是连续函数,求a,b的值.(大连海运学院硕士研究生

nx2n1入学试题)

11.设x,yR,均有fxyfxfy,且fx连续,求fx. 12.设fx在R连续,且fra0ra1rnn1...anrQ,则

fxa0xna1xn1...anxR.

§2.2闭区间上连续函数性质的应用

习题2.2

1.设fx在a,b连续,且fa5a,fb2b,ab0,证明:方程fx3x在

a,b至少有一个根.

2.fx在R连续,f2a2fa,fab2fb,fafb0,证明:存在

a,b，使得faf(ab)

3.若fx在R连续,a,bR,ab,fafb,证明:存在a,b，使得

baff.

24.若fx,gx是a,b严格单增的正值连续函数,证明:存在a,b，使得

fbgafagb2fg.

5.若fx在a,b连续,证明:存在a,b使得对任意的自然数m,n都有

mnfafbf. mnmn3ab3ab6.若fx在R连续,a,bR,ab,ff,fabfa,证

22baba明:存在a,b，使得ff.

227.设fx在0,1非负连续,且f0f10,证明:l0,1,方程

fx0fx0l

在0,1至少有一个根.(上海交通大学研究生入学试题)

8.设fx,gx在闭区间a,b连续,且

f(a)3a42a22a1,g(a)3a42a22a; f(b)3b62cos2b2b,g(b)8b62b,

证明:方程fxg(x)在a,b至少有一个根.

9.设fx在a,b连续,且f(x)|x[a,b][a,b],证明:存在x0[a,b],使得

fx0x0.

10.设fx在0,1单调不减,且f00,f11,证明:存在x00,1,使得

2.(福建师范大学研究生入学试题) fx0x011.设fx在a,b连续,且x1,x2,...,xn[a,b],t1t2...tn1,证明:至少存在

a,b，使得ft1fx1t2fx2...tnfxn.

12.设fx在a,b连续,xia,bi1,2,...,n,证明:必存在a,b，使得

ffx2fx...nfx. nn12n12212nxx613.设fx在,连续,limfxa,且limfxb,证明:ca,b,必存在,使fcab.

14.设fx在a,b连续,且limfx,limfx,证明:fx在

xaxba,b内有最大值.(西北大学研究生入学试题)

15.设fx在(,)连续，若limfx,limfx,且fx在a处达

xx到最小值,若faa,证明:Fxf研究生入学试题)

fx至少在两点达到最小值.(哈尔滨工业大学

fx,证明:fx在a,b能取到最小值. 16.若fx在a,b连续,且limxbf(x)limf(x),证明:fx在a,b内至少可以17.若fx在a,b连续,且limxaxb取到最大值或最小值中的一个.

f(x)A,limf(x)B,证明:fx在a,b上有18.设fx在a,b连续,且limxaxb界.

19.若fx在,连续,且limf(x)A,limf(x)B,证明:fx在

xx,有界.

§2.3 函数的一致连续性

习题2.3

1.证明:

2sin2xsin3x2在1,一致连续. 2xx21cos32在4,一致连续. (2).fxx1xx41sin2在1,10非一致连续. 2.证明:fxx1x3.若fx,gx在区间I上一致连续,证明:fxgx在区间I一致连续.

(1).fx4.若fx,gx在a,b一致连续,证明:fxgx在a,b一致连续.

fx,limfx. 5.证明:fx在a,b一致连续fx在a,b连续,且limxaxb存在.

6.证明:fx在区间I一致连续xn,ynI,当limxnyn0时,

nlimfxnfyn0.

nfx,limfx存在,证明:fx在a,内一7.若fx在a,连续,且limxax致连续.

8.若fx在,连续,且limfx,limfx存在,证明:fx在R一致连

xx续.

9.若fx在a,b单调,有界,且连续,证明:fx在a,b一致连续. 10.若fx,gx在,连续,证明:fgx在,一致连续.

