2021年高考数学二轮复习解析几何解答题专项训练（附解析）
题型归纳
解析几何是很多考生最头疼的题目了，整理了解
解析几何解答题专项训练，其中是一些典型题型，希望考生可以好好研究。 1.已知过抛物线y2=2p_(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(_1，y1)，B(_2，y2)(_1
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原 点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.
解 (1)直线AB的方程是y=22_-p2，与y2=2p_联立，从而有4_2-5p_+p2=0， 所以_1+_2=5p4.
由抛物线定义得|AB|=_1+_2+p=9， 所以p=4，从而抛物线方程是y2=8_.
(2)由p=4，知4_2-5p_+p2=0可化为_2-5_+4=0， 从而_1=1，_2=4，y1=-22，y2=42， 从而A(1，-22)，B(4,42).
设OC=(_3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)， 又y23=8_3 ，
所以[22(2-1)]2=8(4+1)， 即(2-1)2=4+1， 解得=0，或=2.
2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于_ 轴正半轴上，与直线3_-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13. (1)求圆C的标准方程;
(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?如果存在， 求出l的方程;如果不存在，请说明理由.
解 (1)设圆C：(_-a)2+y2=R2(a0)，由题意知 |3a+7|32+42=R，a2+3=R
解得a=1或a=138， 又S=13， a=1，R=2.
圆C的标准方程为(_-1)2+y2=4.
(2)当斜率不存在时，直线l为_=0，不满足题意.
当斜率存在时，设直线l：y=k_+3，A(_1，y1)， B(_2，y2)， 又l与圆C相交于不同的两点， 联立得y=k_+3_-12+y2=4， 消去y得(1+k2)_2+(6k-2)_+6=0， =(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200， 解得k 1-263或k1+263.
_1+_2=-6k-21+k2，y1+y2=k(_1+_2)+6=2k+61+k2， OD=OA+OB=(_1+_2，y1+y2)，MC=(1，-3)， 假设OD∥MC， 则-3(_1+_2)=y1+y2， 36k-21+k2=2k+61+k2，
解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立， 不存在这样的直线l.
3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC). (1)求点D的轨迹方程;
(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程. 解 (1)设C ，D点的坐标分别为C(_0，y0)，D(_，y)， 则AC=(_0+2，y0)，AB=(4,0)， 则AB+AC=(_0+6，y0)， 故AD=12(AB+AC)=_02+3，y02. 又AD=(_+2，y)，故_02+3=_+2，y02=y. 解得_0=2_-2，y0=2y.
代入|AC|=_0+22+y20=2， 得_2+y2=1，
即所求点D的轨迹方程为_2+y2=1.
(2)易知直线l与_轴不垂直，设直线l的 方程为 y=k(_+2)，①
设椭圆方程为_2a2+y2a2-4=1(a24).② 将①代入②整理，
得(a2k2+a2-4)_2+4a2k2_+4a2k2-a4+4a2=0.③ 因为直线l与圆_2+y2=1相切， 故|2k|k2+1=1， 解得k2=13.
故③式可整理为(a2-3)_2+a2_-34a4+4a2=0. 设M(_1，y1)，N(_2，y2)， 则_1+_2=-a2a2-3.
由题意有a2a2-3=245(a24)， 解得a2=8，经检验，此时0. 故椭圆的方程为_28+y24=1.
4.已知点F1，F2分别为椭圆C：_2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33. (1)求椭圆C的方程;
(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由. 解 (1)设|PF1|=m，|PF2| =n.
在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3， 化简得，m2+n2-mn=4.
由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33. 化简得mn=43.
于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.
m+n=22，由此可得，a=2. 又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1. 因此，椭圆C的方程为_22+y2=1.
(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(_-1)， 由y=k_-1，_22+y2=1
消去y，得(2k2+1)_2-4k2_+2(k2-1)=0. 设A(_1，y1)，B(_2，y2)，
则_1+_2=4k22k2+1，_1_2=2k2-12k2+1. ∵MAMB=_1-54，y1_2-54，y2 =_1-54_2-54+y1y2
=_1-54_2-54+k2(_1-1)(_2-1) =(k2+1)_1_2-k2+54(_1+_2)+2516+k2 =(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2 =-4k2-22k2+1+2516 =-716.
由此可知MAMB=-716为定值.
5.已知双曲线E：_2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线_-y+6=0相切. (1)求双曲线E的方程;
(2) 已知点F为双曲线E的左 焦点，试问在_轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由. 解 (1)由题意知|6|12+-12=a，a=3. 又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1. 双曲线E的方程为_23-y2=1. (2)当直线为y=0时，
则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)， FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.
当直线不为y=0时，
可设l：_=ty+m(t3)，代入E：_23-y2=1， 整 理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(_) 由0，得m2+t23.
设方程(_)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3， y1y2=m2-3t2-3， FPFQ
=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2) =(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2 =t2-2m2-12m-15t2-3.
当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值， 解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).
综上，过定点M(-3-3，0)任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点，使FPFQ=1. 以上的
解析几何解答题专项训练每道题都是编辑老师精心整理的，都有一定的代表性，希望考生可以掌握每道题的解题思路。
