函数一致连续性的研究

分类号：

西安文理学院数学系学士学位论文

函数一致连续性的研究

系 院 名 称 数学与计算机工程学院

指 导 老 师 xxxxx 学 生 姓 名 xxxxx 学 生 学 号 xxxxxxxxxxxxx

专 业 班 级 数学与应用数学2008级1班

提 交 时 间 二○一二年四月

函数一致连续性的研究

Xxx

（xxxxxx数学与计算机工程学院， 西安， 710065）

摘要: 本文探讨了函数一致连续性的判定方法、基本性质及各区间的证明方法,对函数一致连

续性的判定方法、基本性质及各区间的证明方法进行了深入分析,旨在读者能更好的掌握函数的一致连续性.首先介绍了一致连续的概念，其次给出了一致连续函数的判定方法。再次证明了一致连续函数的基本性质。最后探讨了一致连续函数在各区间上的证明方法。为便于读者理解，在文章中还有对应的例题讲解。

关键词：一致连续性；判定；性质；区间

Research on uniform continuity of a function

Wang Zhihong

( Xi'an University of Arts and Science math and computer engineering, Xi'an,710065)

Abstract: This paper discusses the determination method of uniform continuity of a function, basic properties and the interval method, on uniform continuity of a function judging method, basic properties and the interval method to carry on the thorough analysis, aimed at readers can better grasp the uniform continuity of functions. First introduced the concept of uniform continuity, then the consistent continuous function determination method. Once again proved the basic properties of uniformly continuous function. Finally discusses the uniformly continuous function at each interval method. To facilitate the reader to understand, in the article as well as the corresponding examples to explain.

Key words: uniform continuity, judgement, nature, interval. 一、函数一致连续性的概念

1、定义：设函数f(x)在区间I有定义，若0,0,x1,x2I:x1x2 有

f(x1)f(x2),称函数f(x)在I上一致连续。

2、一致连续的实质：当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之差(就绝对值来说)可以任意小.

3、一致连续的几何解释：对任给的0总存在0，使得以为底，为高的矩形能从曲线弧一端沿曲线平移到另一端，而不发生曲线弧与矩形上下底相交的情形，这个与点位置无关的公共的正数()的存在性表明了函数在区间中各点的“连续程度”是一致的，这正是一致连续的缘故。 二、一致连续性判定的几种方法

1、利用定义判定：定义适用范围广，但用起来不太方便。 例1.证明：函数f(x)axb(a0)在(,)上一致连续。 证 ：0,由于f(x')f(x'')ax'x''，取=只要xx''''''a就有f(x)f(x)，故函数f(x)axb(a0)在(,)上，

2

，则对任何x',x''(,)，

一致连续。

例2.用定义证明x在0,上一致连续.

证 ：令f(x)=x，先证f(x)在1,上一致连续. 设x1,x21,且x1x2

x1x2x1x2x1x1x22、利普希茨条件判定

2x20,取2，当x1,x21,且x1x2时，有

x1x2x1x2。即证f(x)在1,上一致连续。

2。

定理1： 若函数 f(x)在区间I上满Lipschitz条件,即存在常数L0 ,使对任何

x1,x2I ,都有f(x1)f(x2)Lx1x2 ,则函数 f(x)在区间 I上一致连续.

证明：0，取，则当x1,x2I，且x1x2时

Lf(x1)f(x2)Lx1x2L，则f在I上一致连续。

L定理2 f(x)在区间I上连续，g(x)在区间I上一致连续，若对>0， 常数L>0，

使得对满足f(x1)f(x2)L|g(x1)g(x2)|的x1,x2I，总有f(x1)f(x2)，则函数f(x)在区间I上一致连续。

证明：由定理条件可知对>O，常数L>0，使得对满足f(x1)f(x2)的

x1,x2I，总有f(x1)f(x2)L|g(x1)g(x2)|知f(x)区间I上一致连续。

例1 证明函数f(x)cosx在0,上一致连续。 证明：由于对0,L2，使得x,x0,，都有

cosxcosxxx2xx即f(x)cosx在0,上满足

Lipschitz条件。所以函数f(x)cosx在0,上一致连续。 3、利用极限判定

定理1 设函数fx 在区间 I上有定义, 在I上一致连续的充要条件是对区间I上的任意两数列{xn}与{yn} ,当lim(xnyn)0 时,有lim(fxnfyn)0 .

nn证明 ［必要性］因为fx在I 上一致连续,所以0,0,x,yI, 当xy时有f(x)f(y) .

任取I上的两数列{xn} 与{yn} 并且满足lim(xnyn)0 .

n则对00,N ,当nN时有xnyn0 . 于是

f(xn)f(yn),即lim[f(xn)f(yn)]0 .

n［充分性］假设fx在I上不一致连续,

则00,0,x1,x2I:x1x2 ,但fx1fx20 . 特别,取1nnf(xn)f(yn)0,lim[f(xn)f(yn)]0,这与已知条件矛盾.所以原命题成立.

nx(nN) ,则xn,ynI,xnyn1,但

定理2 若函数fx在a,连续，且limbxfx0，其中b是非零常数，则函数fx在a,一致连续.

3

证明 设Fxfxaxb.有题设函数fx在a,连续，且axb为线性函数，在a,连续.而连续函数之差为连续函数，从而函数Fx在a,连续.又由题意知，limFx0，因此，根据命题6可知，函数Fx在a,一致连续.易知线性函数axb在a,一致连续，由fxFxaxb，故函数fx在

xa,一致连续.

例题1.若f(x)在0,上连续，limx上一致连续。

f(x)A存在，则f(x)在0,

证明：因为limf(x)A，由柯西准则，0，存在M0，

x当 x1,x2M 有 ①

又由于f(x)在0,M1上连续，从而一致连续。

故对上述0，存在10，当f(x1)f(x2)x3,x40,M1 且x3x41时，有 f(x3)f(x4) ② 取min1,1，则 x,x0, 且xx时，则或者

x,x0,M1 或者 x,xM， 由①，②均有

f(x)f(x) 此即证f(x)在0,上一致连续。

4、利用导函数有界判定

定理1：若函数fx在R上连续且fx在R上有界，则函数fx在区间R上一致连续。

证明：只要能找到满足0,x1,x2R:x1x2时，有fx1fx2即可。由于函数fx在R连续且可导，所以fx在x1,x2连续而且在x1,x2可导,满足拉格朗日定理的条件。所以cx1,x2使得fcfx有界,所以

fx2fx1x2x1又因为函数

M0使得xR有fxMfx2fx1要满足fx1fx2只需取区间I上一致连续。

x2x1M即可Mfx2fx1Mx1x2

定理2：若函数fx在任意区间I上连续，且fx在区间I上有界，则函数fx在定理3：函数fx在无穷区间0,上一致连续的充要条件是fx在无穷区间

0,上有界。

为证明这个结论，我们先看下面的引理：

引理1：若fx在0,上一致连续，则存在正数A与B使得

fxAxB, x0,

证明：由题设知，对任意的0，存在0当x1,x20, 且x1x2 时有

fx1fx2现在对任意充分大的x0,，我们总可以取x00,，

使得x有表达式： xnx0，n为正整数。

注意到fx在0,上有界，不妨设为fxM,x00,从而有

4

fx所以

i1fx fxfixfxfxifxi1fxnn000i1n000Mi1

xM0,BAxM令即得所证。 xM引理2：如果存在正数A与B使得fxAxB ，x0,成立，则limfx存

x在。

证明：（反证法）假设limfx不存在即limfx（关于limfx且极限不

xxx存在的其他情况因能力有限暂时不与考虑）

当limfx时

x设xfxAxB 则xfxA由于limfx所以存在点

xx0使得xx0时x0所以x在x0,单调递增，因此存在x1x0,使

得对任意的点xx1,有x0，即fxAxB ，矛盾。 所以结论成立。 同理可知limfx时结论成立。 本题得证

x例1.证明：函数f(x)证： 因为 f(x)lnx4xxxlnxxlnx在1,上一致连续。

lnx22x0，x1,，

，所以f'(x)f(x)''0，x1,.故f(x)单调递减，

'1limxf(x)'limxlnx22xlimxx1xlimx1x0.

limx1f(x)'limx1lnx22x1,

所以f'(x)在1,上有界，设f'(x)M,x1,.

0,存在M'，那么当x1,x2，1,，且x1x2时，

Mf(x1)f(x2)f()(x1x2)Mx1x2M ①

其中在x1,x2之间，由①式f(x)xlnx在1,上一致连续。

定理3 若函数f(x)在[a,)可导,且limf'(x)（常数或）,则f(x)在

x[a,)一致连续的充要条件是为常数.

证明 ［充分性］ 若为常数,由局部有界性,Aa,可使f'(x)在[A,)有界,f(x)在 [A,)上一致连续,再由Cantor定理知f(x)在[a,A] 一致连续 .故

5

f(x)在[a,)一致连续.

［必要性］（反证法） 设limf'(x) .则0x'12故Aa,xA,有f(x)G..取x1,x2A ,且使x1x2 ,

21据拉格朗日定理有f(x1)f(x2)f'()x1x2G.

22故f(x)在[A,)非一致连续,这与f(x)在[a,)一致连续矛盾.

,0 ,取G1,

三、一致连续的性质

性质1、在,上连续的周期函数必一致连续。

证：设周期为T，f在（，上连续 f在0，T上连续，由Cantor定理得）f在f在0，T上一致连续，从而对任意＞0，＞0，|x'－

x0,T,|f(x')f(x\")|\"x\"|<，x'，

。 对

|x1-x2|＜ x1，x2,x3，x40，T，使得x1=x3+kT,x2=x4kT 且 |x3-x4|＜ |f(x3)—-f(x4)|＜ 而f(x1)f(x3),f(x2)f(x4)这便得到|f(x1)f(x2)|＜ ，所以f在,上一致连续。

性质2 若f(x)和g(x)都是区间I上的有界的一致连续函数,则F(x)f(x)g(x)也在I上一致连续. 证明

由题设

f(x),g(x)有界,从而存在M0 ,使

f(x)M,g(x)M,xI. .

再由 f(x),g(x)都一致连续,则0,10 和20 ,使x1,x2,x3,x4I ,且x1x21,x3x42,时有f(x1)f(x2)令min{1,2},则x5,x6I,且x5x6时

M2M,g(x3)g(x4)2M ,

F(x5)F(x6)f(x5)g(x5)f(x6)g(x6)f(x5)g(x5)g(x6)g(x6)f(x5)f(x6).所以f(x)g(x)在I上一致连续.

2M性质3 函数f(x)在 [a,b]上一致连续,又在[b,c]上一致连续,abc .用定义

2MM证明：f(x)在[a,c] 上一致连续.

证明 由f(x)在[a,b]一致连续,故0,10,使当x1,x2[a,b],且

x1x21 时,有 f(x1)f(x2)x3x42时,有 f(x3)f(x4)同理,f(x)在[b,c]上一致连续,对上述0,存在20,使当x3,x4[b,c] ,且

2令min{1,2} ,则对 0,当x5,x6[a,c] 且 x5x6时,

（1）若x5,x6[a,b],由（i）式有f(x5)f(x6)

2（2）若x5,x6[b,c],由（ii）式也有f(x5)f(x6)

2 (i) (ii)

（3）若x5[a,b],x6[b,c]时,则x5b,x6b 所以 f(x5)f(x6)f(x5)f(b)f(b)f(x6)[a,c]上一致连续.



22.从而得证 f(x)在

性质4 设函数f(x)在[a,)连续,函数g(x)在[a,)一致连续,且

6

xlimf(x)g(x)0 ,则f(x) 在 [a,) 一致连续.

x证明 limf(x)g(x)0,故 0,Aa,x1,x2A,有

33 ,且 xx0,0,x1,x2A12f(x1)g(x1),f(x2)g(x2) .及函数g(x)在[a,)一致连续,故对上述

,有g(x1)g(x2)3 .

综上x1,x2A,且 x1x2,有

f(x1)f(x2)f(x1)g(x1)g(x1)g(x2)f(x2)g(x2)

333即 f(x)在[A,) 一致连续,再由Cantor定理知f(x) 在 [a,A]上一致连续,故

f(x)[a,)在 一致连续.

.性质5 若单调有界函数f(x)在区间I上连续，则函数f(x)在区间I上一致连续。 证明: 不妨假设Ia,b。由于函数f(x)在I上单调有界，即函数f(x)在a,b上单调有界，从而极限limf(x)与limf(x)都存在。可知，函数f(x)在a,b上一致连续。

xaxb性质6 若z=g(y)于区间J，Y= f(x)于区间I都是一致连续的，且 f(I)J，，则z=g(f(x ))在区间I上一致连续。

证明：由于z=g(y)于区间J上一致连续，任给>0，总存在1>0，当y`、y\"∈J且|y`y\"|1时，有|g(y`)g(y\")|。 (1) 又由Y= f(x)于区间I上一致连续，故对上述的

1>0，总存在正数，当x`,x\"∈J且 |x`x\"|时，有

|y`y\"||f(x`)f(x\")|1。

联系(1)得：对任给的正数，存在>0，只要|x`x\"|，便有

|g(f(x`))g(f(x\"))|，这就证明了z=g(f(x ))在区间I上一致连续。

四、一致连续性在各区间的探讨 1、闭区间上一致连续性的证明

Cantor定理 函数f(x)在a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在a,b上连续。

证明：用有限覆盖定理。

xa,b，任取某一0，做邻域Ox,

2显然，开区间集Ox,|xa,b覆盖了a,b 2由有限覆盖定理，Ox,Ox1,122,Ox,22|xa,b中的有限个开区间： 2nina,bOx…Ox,覆盖了，即i,2a,b n2i1 7

x',x\"a,b,必有i0N1i0n

i0i0使得x'Oxi0,i，即x'xi0022今取=min12,…n , 若x'x\"

222iii则x\"xix'xix'x\"00020202i0

∵f(x)在点xia,b上连续

0∴由Cauchy收敛准则，0,上述的i0,x',x\"Oxi,i000

有f(x')f(x\")成立

∴0,0,x',x\"a,bx'x\" 有f(x')f(x\")成立 ∴f(x)在a,b上一致连续

例 1： 证明：f(x)cosx在0,上一致连续

证：0,=0,11,，在1,上成立不等式|cosx'－cosx\"|≤|x'－

x\"|≤x'x\"|，f(x)在1,上满足Lipthitz 条件，从而在1,上一致连续。

又cosx在0,1上连续，由Cantor定理cosx在0,1上一致连续。综上所述，cosx在0,上一致连续。

应用：我们利用Cantor定理还可以得到较为实用的判定方法。

设I=a,,f(x)在I上连续，f(x)A(x)，则f(x)在I上一致连续。 证：因为

f(x)A(x)，由Cauthy准则知，对

0,M0,当x1,x2M时，有|f(x1)f(x2)|. (1)

又由于f(x)在a,M1上连续，有Cantor定理知f(x)在a,M1上一致连续，故对上述的

0,存在10,当x3,x4a,M1且|x3x4|1时，有

|f(x3)f(x4)| （2）

取min1,1，则对x',x\"a,,且|x'x\"|时，有（1），（2）两式均有|f(x')f(x\")|，有一致连续性定义，f(x)在a,上一致连续2、开区间上一致连续性的证明

定理1.函数f(x)在a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在a,b上连续且

f(a)与f(b)都存在。

8

，命题得证。

证明：先证充分性。 f(a) xa 构造辅助函数F(x) f(x) xa,b f(b) xb 显然，F(x)在a,b上连续

∴由Contor定理，F(x)在a,b上一致连续

∴F(x)在a,b上一致连续，即f(x)在a,b上一致连续

再证必要性：f(x)在a,b上连续显然。下证f(a)与f(b)都存在。 ∵f(x)在a,b上一致连续

∴0,0,x',x\"a,b且x'x\" 有f(x')f(x\")成立

现对0ba，取x'x1,x\"x2a,a 则有x1,x2a,b且x1x2

∴0,0,x1,x2a,a且x1x2 有f(x')f(x\")成立 ∴由Cauchy收敛准则，f(a)存在 同理，f(b)存在

3、无限区间上一致连续性的证明

定理1 f(x)在,内一致连续的充分条件是f(x)在,内连续，且

limf(x)和limf(x)都存在。

xx证明：（1） 先证f(x)在a,上一致连续。

令limf(x)A，由柯西收敛准则有对0,M0使对x,xM，有

xf(x)f(x)。 现将a,分为两个重叠区间a,M1和M,，因为f(x)在a,M1上一致连续，从而对上述0,10，使x,xa,M1，且

xx1时，有 f(x)f(x)。对上述0，取min,1，则1x,xa,，且xx，都有 f(x)f(x)。

所以函数f(x)在a,内一致连续。

（2） 同理可证函数f(x)在,a内一致连续。 由（1）、（2）可得f(x)在,内一致连续。

推论3 函数f(x)在a,内一致连续的充分条件是f(x)在a,内连续，且

limf(x)x存在。

都存在。

推论4 函数f(x)在a,内一致连续的充分条件是f(x)在a,内连续，且

limf(x)与limf(x)xa推论5 函数f(x)在,b内一致连续的充分条件是f(x)在,b内连续，且

limf(x)xx存在。

9

推论6 函数f(x)在,b内一致连续的充分条件是f(x)在,b内连续，且

limf(x)与limf(x)xb都存在。

x4、任意区间上一致连续性的证明

定理1.若对于定义在区间X上的函数f(x)和g(x)，L0,x',x\"X，有

f(x')f(x\")Lg(x')g(x\"成立，而)g(x)在X上一致连续，则f(x)在X上

也一致连续。

证明：∵g(x)在X上一致连续

∴0,0,x',x\"X且x'x\" 有g(x')g(x\")L成立

L成立

∴0,0,x',x\"X且x'x\" 有f(x')f(x\")Lg(x')g(x\")L∴f(x)在X上一致连续

limsupf(x)f(x)00定理2 函数f(x)在区间I上一致连续x,xI,当xx时有

。

，且xx时，有 f(x)f(x)2证明： 由函数f(x)在I上一致连续，则

0,0，使得当x,xI于是，当0时，令，只要xx，就有f(x)f(x)从而supf(x)f(x)所以

02

，

。

2limsupf(x)f(x)0  由x,xI，当xx时，有

0limsupf(x)f(x)0，则0,0，使得当xx时，有

supf(x)f(x)，从而有f(x)f(x)supf(x)f(x)。

所以函数f(x)在I上一致连续。 例1 讨论f(x)解：f(x)x1x2x在0,上一致连续性。

x在0,上连续，设x00

x1x2（1） 当0xx0时，设0x1x0,0x2x0,x1x2，则

，0supf(x1)f(x2)，

且 lim00。所以f(x)在0,x0上一致连续。

（2） 当x0x时，

x1x2x1x2x1x22x0，且 lim02x00。

所以f(x)在x0,上一致连续。由（1）、（2）可得，f(x)在0,上一致连续。

结束语

10

对于函数的一致连续性问题，给出了以上的判别方法和证明，加深了我们对一致函数的理解与应用，判断函数一致连续性的方法是多种多样的,只要灵活多变,就能做到事半功倍.所以要熟练掌握一致连续性的判定定理，这样对于解决一致连续性的问题才会游刃有余.上面介绍的几种判定一致连续性的方法，每种方法用起来各有千秋，在遇到判定一致连续性的问题时，注意善于选择适合的判定方法。

[参考文献]

[1]华东师范大学数学系．数学分析(上册){第二版)[M]．北京： 高等教育出版社 ,1992 [2]刘玉链，傅沛仁．数学分析讲义(上册)(第3版)[M]．北京：高等教育出版社,1992 [3] 华东师范大学数学系．数学分析(第3版)[M]．北京：高等教育出版社，2001 [4] 刘玉链，傅沛仁．数学分析(第3版)[M]．北京：高等教育出版社，1991 [5]李克典，马云苓．数学分析选讲[M]．厦门大学出版社，2005．

[6]杨峻，何朝兵．函数一致连续性的判定[J]．安阳师范学院学校．2006

[7]李锋杰等．关于函数的一致连续问题[J]．烟台师范学院学报，2001，17(4)：305—309 [8]冉凯.关于函数一致连续性证明的几个方法[J]．西安联合大学学报。2002。(4)：71—73 [9]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社，2001 [10]刘广云．数学分析选讲[M]．哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000．

[11]范新华．判别函数一致连续的几种方法[J]．院学报，2004，17(4)：49—51

11

致 谢

本论文是在我的指导老师xxx老师的亲切关怀和悉心指导下完成的.他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我.在此我要向我的指导老师致以最衷心的感谢和深深的敬意.同时，也向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！

另外，我的同学和朋友不但为我提供了很多的论文素材，而且在论文的撰写、排版等过程中提出了修改意见，给予我热情的帮助，在此对所有帮助过我的老师和同学致以诚挚的谢意.

感谢学校给我提供的学习环境，让我能够学习这么多知识，图书馆能够提供相关资料，从而能顺利完成毕业论文和学业. 在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!

最后，我衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加答辩的各位老师、教授.

12