安徽大学期末试卷MK08-09-1B《量子力学》试题及答案.pdf

答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线---------------------------------------- 《 量子力学 》考试试卷（B卷）

（时间120分钟）

题 号 得 分 阅卷人

一

二

三

四

总分

院/系 专业 姓名 学号

一、简答题（每小题5分，共20分）

1. 能级简并、简并度。

得分

2. 用球坐标表示，粒子波函数表为 r,, ，写出粒子在球壳r,rdr中被测到的

几率。

3. 粒子在一维势垒

V(x)(x)

(0)

中运动，波函数为(x)，写出(x)的跃变条件。

4. 写出电子自旋sz的二本征值和对应的本征态。

B卷 共4页 第1页 2007下学期《量子力学》

安徽大学期末试卷二、填空题（每小题5分，共20分） 得

分

5. 量子力学中，体系的任意态(x)可用一组力学量完全集的共同本征态n(x)展开，展开式为 ，展开式系数 。



r,2

6. 一个电子运动的旋量波函数为 r,sz，电子自旋向上（sz2）、r,2



位置在r处的几率密度为 ；电子自旋向下（sz2）的几率为

。

7. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为

；它们的力学量完全集分别是 和 ；在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是 和 。

d

8. ① x,dx

d

,x2 ； ② dx

。

三、证明题（每小题10分，共20分） 得9. 设力学量A不显含时间t ，证明在束缚定态下，

分

dA

0 。 dt

B卷 共4页 第2页 2007下学期《量子力学》

安徽大学期末试卷1

10. 粒子自旋处于sz2的本征态 0 ，试证明sx和sy的不确定关系：



22（sx）（sy）2/4。

四、计算题（共40分）

1

R21Y112

11. 氢原子处于状态 r,sz

3R21Y102



1

2

得

分

， 

① 求轨道角动量的z分量Lz的平均值； ② 求自旋角动量的z分量sz的平均值；

ee

③ 求总磁矩MLs的z分量Mz的平均值。（12分）

2

B卷 共4页 第3页 2007下学期《量子力学》

安徽大学期末试卷12. 考虑在无限深势阱（0xa）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。（12分）

13. 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为ex，为参数。用变分法求基态能量。 （16分）

2

B卷 共4页 第4页 2007下学期《量子力学》

安徽大学期末试卷

安徽大学期末试卷2008-2009学年第一学期《量子力学》（B）卷参考解答及评分标准

一、简答题

1. 能级简并、简并度。

答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。

2. 用球坐标表示，粒子波函数表为 r,, ，写出粒子在球壳r,rdr中被测到的几率。

解：Prdrsindr,,d。

22

2

00

3. 粒子在一维势垒 V(x)(x)(0)

中运动，波函数为(x)，写出(x)的跃变条件。 解： (0)(0)

2m(0)。 2

4. 写出电子自旋sz的二本征值和对应的本征态。

10解：sz,12(sz)0；sz2,12(sz)1。 2

二、填充题

5. 量子力学中，体系的任意态(x)可用一组力学量完全集的共同本征态

n(x)展开，展开式为(x)cnn(x)，展开式系数

n

*cnn(x),(x)n(x)(x)dx



r,2

6. 一个电子运动的旋量波函数为 r,szr，电子自旋向上,2



、位置在r处的几率密度为r,/2（sz2）

2

；电子自旋向下（sz2）



的几率为d3rr,/22

。

1

安徽大学期末试卷7. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为耦合表象

22

和非耦合表象；它们的力学量完全集分别是J12,J2,J2,Jz和J12,J1z,J2,J2z；在

两种表象中，各力学量共同的本征态分别是j1j2jm和j1m1j2m2。 8. 计算下列对易式：



(1) x,



dd2 （2）1,x2x dxdx

三、证明题

9. 设力学量A不显含时间t ，证明在束缚定态下， 证：设束缚定态为 ，即有

HE， HE ，

dA

0 。 dt

dA1A

A,H。 

dtit

A

0，因而 t

因A不显含时间t，所以

dA11

A,HAHHA dtii



1

AHHA1EAEA0。 ii



 ，试证明sx和sy的不确定关系 

1

10. 粒子自旋处于sz2的本征态 0



22

（sx）（sy）2/4

2

解： (sx)2(sxsx)2sxsx。

2

2但 sx， 2/4（常数）

ˆx sxs

011100， 2100

所以 (sx)22/4。

2

安徽大学期末试卷同理， (sy)22/4。

22

所以 （sx）（sy）2/4。

四、计算题

1

R21Y112

11. 氢原子处于状态 r,sz

3R21Y102



1

2

， 

① 求轨道角动量的z分量Lz的平均值；

② 求自旋角动量的z分量sz的平均值；

ee

③ 求总磁矩MLs的z分量Mz的平均值。

2311

 。 解：① Lz022431

。 ② sz42222 ③ Mz

2

2

2

2

eee1ee

LzszMB。 

224484

12. 考虑在无限深势阱（0xa）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。

解：二电子体系，总波函数反对称。 一维势阱中，体系能级为

Enn

nn,

a

n,n,,

（1）基态： Ea。 空间部分波函数是对称的：

n

()(),sinxn。



a

a



3

安徽大学期末试卷自旋部分波函数是反对称的：



总波函数



()()()() 。



()()()()

。 

()()()()



（2）第一激发态： Ea。 空间部分波函数： S

12

1(1)2(2)1(2)2(1)，

A

1

1(1)2(2)1(2)2(1)。 2

()()

自旋部分波函数： S(,)()() ，

()()()()

A(,)



()()()() 。

二电子体系的总波函数

()()AS()()()()()()

()()()()



()()()()()()()()SA



基态不简并，第一激发态是四重简并的。

13. 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为ex，为参数。用变分法求基态能量。

解：设基态波函数Cex，归一化，得

2

2







Cex

2

2

dxC

2







e2x

2



dxC

2

2

1/2

1

4

安徽大学期末试卷取

1/4

C2



则有

21/4

x2





e

Hx2d2122

2dx2

2

x 1/2

E*2

Hdxe

x2

2d2122x2







2dx2

2x

edx1/2

2

2

2x2

2

12xdx1

22x2







e

2ex2dx

222

8 由

E222

820 得



2

考虑x在x处要求有限的条件，取



21

2

2 代入式（1），得谐振子（一维）基态能量

E1

0

2

 与严格解求得的结果完全一致。

5

1）2）

3）

（ （ （