初高中数学衔接讲义
贾丽婷
第一讲 代数恒等变形(上)
课堂要求 记笔记 代数恒等变形 必修1：函数→代数 必修2：几何{
解析几何→平面直角坐标系→算→代数立体几何→三维空间直角坐标系→代数
必修3：概率→大学时会学到概率其实是函数→代数 必修4：三角函数→代数 必修5：数列、不等式→代数
因式分解
代数恒等变形的手段{通分
配方
【例1】已知(𝑏−𝑐)2=(𝑎−𝑏)(𝑐−𝑎)且𝑎≠0,则
41
𝑏+𝑐𝑎
= .
【例2】已知𝛼∈(0,60°)且sin(60°−𝛼)=，则tan(𝛼+30°)= .
53
1
【例3】已知x=√5+√3√5−√3,y=,求𝑥4+𝑦4.
22
●(𝑎+𝑏)𝑛 ☆(𝑎±𝑏)2=
☆(𝑎±𝑏)3=
(𝑎±𝑏)4=
(𝑎±𝑏)5= 杨辉三角
2
●𝑎𝑛+𝑏𝑛 ☆𝑎2−𝑏2=
☆𝑎3−𝑏3=
☆𝑎3+𝑏3=
𝑎4−𝑏4=
⋮
𝑎𝑛−𝑏𝑛=
𝑎4+𝑏4=
☆(a+b+c)2
☆𝑎2+𝑏2+𝑐2=
【例4】已知𝑥+𝑦=1，则𝑥3+𝑦3+3𝑥𝑦= .
3
【例5】已知𝑥−=3，则𝑥3−
𝑥
11𝑥3= .
【例6】已知𝑥+=4，试求√𝑥+𝑥1
1√𝑥和𝑥3+
1𝑥3的值
【例7】(𝑥+𝑦−2𝑧)2+(𝑦+𝑧−2𝑥)2+(𝑥+𝑧−2𝑦)2−3(𝑥−𝑦)2−3(𝑦−𝑧)2−3(𝑧−𝑥)2=
4
【例8】已知𝑎𝑏𝑐≠0且𝑎+𝑏+𝑐=0，则代数式𝑏𝑐+𝑎𝑐+𝑎𝑏=
【例9】已知𝑎2+𝑎−1=0，试求2𝑎2+2𝑎和2𝑎3+2𝑎2+2015的值
𝑎2𝑏2𝑐2
5
第二讲 代数恒等变形(下)
常见因式分解的方法： 十字相乘 提取公因式法 公式法 分组分解法 求根法 待定系数法 整式除法
【例1】因式分解：（十字相乘）𝑥2−6𝑥+5
3𝑥2−20𝑥+12
𝑥2+(𝑎+2)𝑥+4𝑎−2𝑎2
2𝑥2−11𝑥+12 𝑥2−(2𝑎+1)𝑥+𝑎2+𝑎 𝑎𝑥2+(1−2𝑎)𝑥+𝑎−1 (𝑎≠0) 6
整式除法例题
𝑥3−7𝑥+6
𝑥3+3𝑥2+3𝑥+27
【例2】因式分解：𝑥4−7𝑥3+17𝑥2−17𝑥+6
【例3】因式分解：𝑥5−𝑥4+𝑥3−𝑥2+𝑥−1 分组分解
【例4】2𝑥3+𝑥2−2𝑥𝑦2−𝑦3+𝑥2𝑦−𝑦2
8
韦达定理
9
10
【例5】二次项系数为1的一元二次方程两根分别是1+√2和1−√2，那么这个方程是
A.𝑥2+2𝑥+1=0 B. 𝑥2+2𝑥−1=0 C. 𝑥2−2𝑥+1=0 D. 𝑥2−2𝑥−1=0
【例6】如果方程𝑥2+𝑝𝑥+1=0 (𝑝>0)的根之差是1，那么𝑝=
A.2 B. 4 C. √3 D. √5
【例7】已知𝑥1和𝑥2是𝑥2−5𝑥+5=0的两根(𝑥1>𝑥2).试求下列表达式的值：
(1) 𝑥12+ 𝑥22
(2) 𝑥1−𝑥2
(3) 𝑥+𝑥
1
2
11
(4) √𝑥1+√𝑥2
(5) √𝑥1−√𝑥2
11
(6) (𝑥13+𝑥)+(𝑥23+𝑥)
1
2
11
【例8】求𝑎的取值范围，使得𝑥2+𝑎𝑥+1=0的两个实根𝑥1，𝑥2满足|𝑥1−𝑥2|≥2.
【例9】已知实数𝑎≠𝑏，且满足(𝑎+1)2=3−3(𝑎+1), 3(𝑏+1)=3−(𝑏+1)2，求𝑏+𝑎的值.
12
𝑎
𝑏
【例10】设𝑥1和𝑥2是关于𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0 (𝑞≠0)的两根，且𝑥12+ 3𝑥1𝑥2+𝑥22=1，(𝑥1+𝑥)+(𝑥2+𝑥)=0，求𝑝和𝑞.
1
2
11
13
𝑥24
【例11】已知{有两组解(𝑥1,𝑦1)和(𝑥2,𝑦2)并且有(𝑥1−2)(𝑥2−2)+𝑦1𝑦2=0，试
𝑦=𝑘𝑥+𝑚确定k与m的关系
14
+𝑦2=1
第三讲 常见不等式求解(上)
常系数不等式求解: (1)一元一次不等式 (2)一元二次不等式 (3)一元高次不等式 (4)分式不等式 (5)绝对值不等式 (6)根式不等式
【例1】 求解一元一次不等式:
(1)2𝑥−1>0
【例2】 求解一元二次不等式:
(1) 𝑥2−𝑥−42>0
(4) 𝑥2+4𝑥+5>0
【例3】 求解一元高次不等式:
(1) (𝑥+1)(𝑥−2)(𝑥+3)>0
(2)−5𝑥+4<0 (2) 6𝑥2−13𝑥−28<0 (3) −𝑥2+3𝑥−2<0证明：𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2≥0 (5) −𝑥2+𝑥−2>0 (2) (−3𝑥−1)(2𝑥−2)(𝑥+5)(𝑥−4)<0 15
(3) (𝑥−1)2(𝑥−3)3(𝑥+2)4(𝑥−4)5>0 (4) 𝑥3−5𝑥2+8𝑥−4>0
【例4】 求解分式不等式: (1) 2−𝑥𝑥−3
≥0 (3) 7𝑥−2𝑥+4≥4
【例5】 求解绝对值不等式:
(1) |𝑥|<3
(2) 2<|𝑥|<4 16
(2) 1
𝑥
>2
(4) 2
𝑥>3−𝑥
(3) |2𝑥−1|<3 (4) |2𝑥−1|<|𝑥| (5) |𝑥−1|+|𝑥−2|<5
【例6】 求解根式不等式:
(1) √𝑥2+2𝑥−3<𝑥+2
(2) √2𝑥−1>𝑥−2 17
第四讲 常见不等式求解(下)
含参不等式求解: (1)一元一次含参不等式 (2)一元二次含参不等式 (3)分式含参不等式
【例1】求解一元一次含参不等式 (1) −𝑎𝑥+5>𝑥−1
3𝑏
(2) 若𝑎𝑥+𝑏>0的解集为𝑥<，则不等式𝑏𝑥−𝑎<0的解集是
31
(3) 已知(2𝑚+1)𝑥>1的解集是𝑥<
18
12𝑚+1
，求m的取值范围
【例2】求解一元二次含参不等式 (1) 𝑎𝑥2−2𝑥+𝑎>0
(2) 𝑥2+(𝑎+2)𝑥+4𝑎−2𝑎2<0
19
(3) 𝑎𝑥2+(𝑎−1)𝑥>0
(4) 一元二次不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+2>0的解集为(−2，3)，则𝑎+𝑏=
20
1
1
(5) 不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐<0的解集为(−∞，−2)∪(3，−∞)则不等式c𝑥2+𝑏𝑥+𝑎>0的解集为
【例3】求解分式含参不等式 (1) 𝑎(𝑥−1)𝑥−2
>1
21
(2)
若不等式组{2𝑥−1
3
𝑥<𝑎
>1无解，则a的取值范围是
𝑥+15
(3) 若关于x
2
的不等式组{2𝑥+2
3
>𝑥−3<𝑥+𝑎
只有4个整数解，则a的取值范围是
22
第五讲 二次函数
【例1】求下列函数的取值范围： (1) 𝑦=𝑥2−4𝑥+3 (4≤𝑥≤9)
(2) 𝑦=𝑥2−6𝑥+2 (−1≤𝑥≤4)
(3) 𝑦=−𝑥2−8𝑥+9 (−6≤𝑥≤0)
23
【例2】(1)设𝑦=𝑥2−2𝑎𝑥，当0≤𝑥≤1时，求y的最大值和最小值及对应的x值.
24
(2)已知二次函数𝑦=𝑥2+4𝑥−2 ，当a≤𝑥≤𝑎+1(其中a为参数)时，求y的最大值，最小值和对应的x值.
25
【例3】(1)已知函数𝑦=−𝑥2+𝑎𝑥−+，当0≤𝑥≤1时，y的最大值是2，求实数a的值.
4
2
𝑎1
26
(2) 已知函数𝑦=𝑥2+𝑎𝑥+3−𝑎，当−2≤𝑥≤2时，𝑦≥0恒成立，求a的取值范围.
27
【例4】求下列函数的取值范围：
(1) 𝑦=𝑥−4√𝑥+6 (1≤𝑥≤25) (2) 𝑦=2−+6 (≤𝑥≤2) 1
4
1
(3) 𝑦=6𝑥2+4𝑥+1
𝑥2
(−1
4
≤𝑥≤−1)
(4) 𝑦=𝑥2
1
2𝑥2−2𝑥+1 (3≤𝑥≤2)
𝑥𝑥528
第六讲 三角形五心问题
三角形五心
1.重心：三角形三条中线的交点 2.外心：三角形三边的中垂线的交点 3.内心：三角形三条内角平分线的交点
4.垂心：三角形三边上的三条高线或其延长线的交点
5.旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 五心常用性质
1.已知△𝐴𝐵𝐶重心为G，D是边BC中点， (1) 𝐴𝐺:𝐺𝐷=2:1
(2)𝑆△𝐺𝐴𝐵=𝑆△𝐺𝐵𝐶=𝑆△𝐺𝐴𝐶
(3)若A，B，C坐标分别为(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，(𝑥3,𝑦3)则点G坐标为(
2. 已知△ABC内心为I，连接AI交BC于点D
(1)假设三条边长为a,b,c内切圆半径为r,则𝑆△𝐴𝐵𝐶=(𝑎+𝑏+𝑐)𝑟
21
𝑥1+𝑥2+𝑥3𝑦1+𝑦2+𝑦3
3
,
3
)
(2)𝐴𝐶=𝐷𝐶
𝐴𝐵
𝐷𝐵
29
