宁城县二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

宁城县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知全集I={1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，那么∁I（A∩B）等于（ ） A．{3，4} B．{1，2，5，6} C．{1，2，3，4，5，6} D．∅

2． 在△ABC中，A．等腰三角形

，则这个三角形一定是（ ）

B．直角三角形

C．等腰直角三角 D．等腰或直角三角形

3． 设数集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}，P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集，如果把b﹣a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ） A．

B．

C．

D．

ax2x,x04． 已知f(x)，若不等式f(x2)f(x)对一切xR恒成立，则a的最大值为（ ）

2x, x07911A． B． C． D．

161624

5． 边长为2的正方形ABCD的定点都在同一球面上， 球心到平面ABCD的距离为1，则此球的表面积为（ ）A．3π B．5π

C．12π D．20π

6． 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

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精选高中模拟试卷

A． B． C．

D．

7． 已知函数f（x）=ax﹣1+logax在区间[1，2]上的最大值和最小值之和为a，则实数a为（ ） A．

B．

C．2

2D．4

8． 已知集合M{x|2x5x0,xZ}，N{0,a}，若MN，则a（ ） A．1 B． C．1或 D．1或2 9． 函数f（x）=

有且只有一个零点时，a的取值范围是（ ）

A．a≤0 B．0＜a＜ C．＜a＜1 D．a≤0或a＞1

10．f=x+2， 己知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，（x）那么不等式2f（x）﹣1＜0的解集是（ ）A．C．

B． D．

或

或

11．设集合AxR|2x2，Bx|x10，则A【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算，属容易题.

(ðRB)（ ）

A.x|1x2 B.x|2x1 C. x|2x1 D. x|2x2 12．某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（ ）

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精选高中模拟试卷

8A. 316C. 3

B．4 20D． 3

（c﹣b）sinC，

二、填空题

13．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+且bc=4，则△ABC的面积为 ．

14．曲线y=x2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．

15．在4次重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是 ．

16．已知直线l过点P（﹣2，﹣2），且与以A（﹣1，1），B（3，0）为端点的线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是 ．

17．（若集合A⊊{2，3，7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．

18．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）= ．

三、解答题

1

19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

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20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160,180，180,200，200,220，

220,240，240,260，260,280，280,300分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数．

1111]

21．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD（如图所示，其中O为圆心，C，D在半圆

32

上），设∠BOC=θ，直四棱柱木梁的体积为V（单位：m），侧面积为S（单位：m）．

（Ⅰ）分别求V与S关于θ的函数表达式； （Ⅱ）求侧面积S的最大值； （Ⅲ）求θ的值，使体积V最大．

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22．为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名

观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：

9 10 11 12 13 14 场数 人数 10 18 22 25 20 5 将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？

非歌迷 歌迷 合计 男 女 合计 （Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．

0.01 P（K2≥k） 0.05 k 2

附：K=

3.841 6.635 ．

23．（本题12分）

2正项数列{an}满足an(2n1)an2n0．

（1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn

1，求数列{bn}的前项和为Tn.

(n1)an第 5 页，共 16 页

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24．（本题满分13分）已知函数f(x)（1）当a0时，求f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[,2]上是增函数，求实数a的取值范围.

【命题意图】本题考查利用导数知识求函数的极值及利用导数来研究函数单调性问题，本题渗透了分类讨论思想，化归思想的考查，对运算能力、函数的构建能力要求高，难度大.

12ax2xlnx. 213第 6 页，共 16 页

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宁城县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】B ∴A∩B={3，4}，

， ，

=

22

，整理可得：b=c，

【解析】解：∵A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∵全集I={1，2，3，4，5，6}， ∴∁I（A∩B）={1，2，5，6}， 故选B． 转化．

2． 【答案】A 【解析】解：∵又∵cosC=∴

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价

∴解得：b=c．即三角形一定为等腰三角形． 故选：A．

3． 【答案】C

【解析】解：∵集M={x|m≤x≤m+}，N={x|n﹣≤x≤n}， P={x|0≤x≤1}，且M，N都是集合P的子集， ∴根据题意，M的长度为，N的长度为， 当集合M∩N的长度的最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端， 故M∩N的长度的最小值是故选：C．

4． 【答案】C

【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．

当a0（如图1）、a0（如图2）时，不等式不可能恒成立；当a0时，如图3，直线y2(x2)与

=

．

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函数yaxx图象相切时，a观察图象可得a212，切点横坐标为，函数yaxx图象经过点(2,0)时，a，

32161，选C． 25． 【答案】C

【解析】解：∵正方形的边长为2， ∴正方形的对角线长为∴球的半径R=故选：C．

【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．

6． 【答案】D

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C

当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B 故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题

7． 【答案】A

【解析】解：分两类讨论，过程如下：

①当a＞1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是增函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

=2=

， ，

∵球心到平面ABCD的距离为1，

2

则此球的表面积为S=4πR=12π．

在[1，2]上递增，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，舍去；

②当0＜a＜1时，函数y=ax﹣1 和y=logax在[1，2]上都是减函数， ∴f（x）=a

x﹣1

+logax

在[1，2]上递减，

∴f（x）max+f（x）min=f（2）+f（1）=a+loga2+1=a， ∴loga2=﹣1，得a=，符合题意；

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故选A．

8． 【答案】D 【解析】

试题分析：由Mx2x25x0,xZx5x0,xZ2,1，集合N0,a， 2又MN，a1或a2，故选D． 考点：交集及其运算． 9． 【答案】D

【解析】解：∵f（1）=lg1=0， ∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，

xx

故﹣2+a＞0或﹣2+a＜0在（﹣∞，0]上恒成立， xx

即a＞2，或a＜2在（﹣∞，0]上恒成立，

故a＞1或a≤0； 故选D．

【点评】本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．

10．【答案】B

【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0， 根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2， 当x＜0时，f（x）=x+2，

代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3， 解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣； 当x≥0时，f（x）=x﹣2，

代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5， 解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜， 综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}． 故选B

11．【答案】B

【解析】易知Bx|x10x|x1，所以A12．【答案】

(ðRB)x|2x1，故选B.

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【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面

120

为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V＝23－×2×2×1＝，故选D.

33

二、填空题

13．【答案】 ．

【解析】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，

222222

∴由正弦定理得a=b+c﹣bc，即：b+c﹣a=bc， 222

∴由余弦定理可得b=a+c﹣2accosB，

∴cosA=∵bc=4， ∴S△ABC=bcsinA=故答案为：

==，A=60°．可得：sinA=，

=．

【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．

14．【答案】

2

【解析】解：∵曲线y=x和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，） 2

∴曲线y=x和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=

．

（）dx+dx=（x

3

﹣x）+（x3﹣x）=．

故答案为：．

15．【答案】 [

] ．

13222

【解析】解：由题设知C4p（1﹣p）≤C4p（1﹣p）， 解得p∵0≤p≤1， ∴

， ，

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故答案为：[

]．

=3，

16．【答案】 [，3] ．

【解析】解：直线AP的斜率K=直线BP的斜率K′=

=

由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]， 故答案为：[，3]，

【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与 倾斜角及其应用的知识，属于中档题．

17．【答案】 6

【解析】解：集合A为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．

故答案为：6

【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．

18．【答案】 1 ．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，

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f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1． 故答案为：1．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x， 设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0）， 由h（x）＝ln x得

1

h′（x）＝，（x＞0），

x1x0＝m则有，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1. ∴m的值为1.

1

（2）φ（x）＝x2＋x＋a－ex，

2φ′（x）＝x＋1－ex， 令t（x）＝x＋1－ex， ∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0， x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0， 即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0， 当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

20．【答案】（１）x0.0075；（２）众数是230，中位数为224． 【解析】

试题分析：（１）利用频率之和为一可求得的值；（２）众数为最高小矩形底边中点的横坐标；中位数左边和

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右边的直方图的面积相等可求得中位数．1

试题解析：（1）由直方图的性质可得(0.0020.00950.0110.0125x0.0050.0025)201， ∴x0.0075．

考点：频率分布直方图；中位数；众数． 21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD） =10（2+4sin

+2cosθ）=20（cosθ+2sin

+1），θ∈（0，

），

），

梯形ABCD的面积SABCD=

﹣sinθ=sinθcosθ+sinθ，θ∈（0，

）；

+2cosθ）

体积V（θ）=10（sinθcosθ+sinθ），θ∈（0，

（Ⅱ）木梁的侧面积S=10（AB+2BC+CD）=10（2+4sin=20（cos设g（θ）=cos∴当sin 即θ=所以θ=

=，θ∈（0，

+1），θ∈（0，

），

+2sin

+1，g（θ）=﹣2sin2），

+2，

时，木梁的侧面积s最大．

2

时，木梁的侧面积s最大为40m．

2

（Ⅲ）V′（θ）=10（2cosθ+cosθ﹣1）=10（2cosθ﹣1）（cosθ+1）

令V′（θ）=0，得cosθ=，或cosθ=﹣1（舍）∵θ∈（0，当θ∈（0，

），∴θ=．

）时，＜cosθ＜1，V′（θ）＞0，V（θ）为增函数；

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当θ∈（∴当θ=

，）时，0＜cosθ＜，V′（θ）＞0，V（θ）为减函数．

时，体积V最大．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由统计表可知，在抽取的100人中，“歌迷”有25人，从而完成2×2列联表如下： 非歌迷 歌迷 合计 男 女 30 45 15 10 45 55 25 100 合计 75 … 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得： K2=

=

≈3.030

因为3.030＜3.841，所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关．…

（Ⅱ）由统计表可知，“超级歌迷”有5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2． Ω由10个等可能的基本事件组成．…

用A表示“任选2人中，至少有1个是女性”这一事件，则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2） }，事件A由7个基本事件组成． ∴P（A）=

…12

【点评】本题考查性检验的运用及频率分布直方图的性质，列举法计算事件发生的概率，涉及到的知识点较多，有一定的综合性，难度不大，是高考中的易考题型．

23．【答案】（1）an2n；（2）Tnn.

2(n1)第 14 页，共 16 页

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考

点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和． 24．【答案】

【解析】（1）函数的定义域为(0,)，因为f(x)12ax2xlnx，当a0时，f(x)2xlnx，则2111.令f'(x)20，得x.…………2分 xx2所以x,f'(x),f(x)的变化情况如下表：

111x (0,) (,) 222f'(x) － 0 ＋ f'(x)2f(x) 所以当x↘ 极小值 ↗ 11时，f(x)的极小值为f()1ln2，函数无极大值.………………5分

22第 15 页，共 16 页

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