2023年全国高考数学模拟练习卷
一、单选题
1．已知全集 𝑈 = 𝑅 ,集合 𝐴={𝑥|𝑥>2},𝐵 = {𝑦|𝑦=2𝑥} ,则 𝐴∩(𝐶𝑈𝐵)= （ ）
A．∅
C．{𝑥|1≤𝑥<2}
2．复数 𝑧=
1+2𝑖
的共轭复数为（ ） 1−𝑖B．{𝑥|𝑥〉2} D．{1<𝑥≤2}
−1−3𝑖 A．𝑧̅=2−1+3𝑖 B．𝑧̅=2C．𝑧̅=−1−3𝑖
3．已知抛物线𝑦2
D．𝑧̅=−1+3𝑖
𝑥2𝑦2
=2𝑝𝑥（𝑝>0）的焦点𝐹为双曲线2−2=1（𝑎>0.𝑏>0）的一个焦点.经过两
𝑎𝑏
曲线交点的直线恰过点𝐹.则该双曲线的离心率为（） A．2+√2 B．1+√2 C．√3 D．1+√3
4．已知2a=3b=k（k≠1）.且2a+b=ab.则实数k的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
5．已知圆锥的高为1.母线长为 √5 .则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2
B．5 2→
C．4
→
→
→
D．5
6．在△ABC中.C=90°.且CA=CB=3.点M满足𝐵𝑀=2𝑀𝐴,则.𝐶𝑀·𝐶𝐵等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．在(3𝑥3−5𝑥2+1)5的展开式中.除𝑥5项之外.剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299 B．-301 C．300 D．-302
8．若函数𝑓(𝑥)的导函数𝑓′(𝑥)=𝑥2−4𝑥+3.则使得函数𝑓(𝑥−1)单调递减的一个充分不必要条件是
𝑥∈（ ） A．（0.1）
B．[0.2]
C．（2.3）
D．（2.4）
二、多选题
9．已知𝛼.𝛽是二个不重合的平面.𝑙是直线．给出下列命题.其中正确的命题有（ ）
A．若𝑙上两点到𝛼的距离相等.则𝑙//𝛼 B．若𝑙⊥𝛼.𝑙//𝛽.则𝛼⊥𝛽 C．若𝛼//𝛽.𝑙⊄𝛽.且𝑙//𝛼.则𝑙//𝛽
D．若直线𝑚，𝑛满足：𝑚⊥𝛼.𝑛⊥𝛽.且𝛼⊥𝛽.则𝑚//𝑛
10．定义在 𝑅 上的函数 𝑓(𝑥) 满足： 𝑥 为整数时. 𝑓(𝑥)=2021 ； 𝑥 不为整数时. 𝑓(𝑥)=0 .则
（ ）
A．𝑓(𝑥) 是奇函数 C．∀𝑥∈𝑅,𝑓(𝑓(𝑥))=2021
11．下列命题中正确是（ ）
B．𝑓(𝑥) 是偶函数
D．𝑓(𝑥) 的最小正周期为 1
A．中位数就是第50百分位数
B．已知随机变量X~𝐵(𝑛，1).若𝐷(2𝑋+1)=5.则𝑛=10
2C．已知随机变量𝜉~𝑁(𝜇，𝜎2).且函数𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥<𝜉<𝑥+2)为偶函数.则𝜇=1
D．已知采用分层抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数172.方差为120.女生样本平均数165.方差为120.则总体样本方差为132.25.
𝑥2𝑦2
12．已知椭圆 𝐶 ： 2+2=1(𝑎>𝑏>0) 的左､右端点分别为 𝐴1 . 𝐴2 .点 𝑃 . 𝑄 是椭圆 𝐶 上
𝑎𝑏
关于原点对称的两点(异于左右端点).且 𝑘𝑃𝐴1⋅𝑘𝑃𝐴2=−1 .则下列说法正确的有（ ）
2√
A．椭圆 𝐶 的离心率为 2 2B．椭圆 𝐶 的离心率不确定
C．𝑘𝑃𝐴1⋅𝑘𝑄𝐴1 的值受点 𝑃 . 𝑄 的位置影响 D．cos∠𝐴1𝑃𝐴2 的最小值为 −1
3三、填空题
1
13．已知数列{𝑎𝑛}为等比数列.𝑎1=1024.公比𝑞=．若𝑇𝑛是数列{𝑎𝑛}的前𝑛项积.则𝑇𝑛的最大值
2为 ．
14．一个圆锥和一个半球有公共底面.如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等.则圆锥轴截面顶角的余
弦值是
15．已知点A是抛物线 𝑥2=4𝑦 的对称轴与准线的交点.点B为抛物线的焦点.P在抛物线上且满足
|𝑃𝐴|=𝑚|𝑃𝐵| .当m取最大值时.点P恰好在以A.B为焦点的双曲线上.则双曲线的离心率为 ．
16．直线 𝑦=
1
𝑥+𝑏 是曲线 𝑦=1𝑛𝑥(𝑥>0) 的一条切线.则实数 𝑏= ． 2四、解答题
17．设 𝑆𝑛 为数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和.已知 𝑎3=7 . 𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1+𝑎2−2(𝑛≥2) .
（1）证明： {𝑎𝑛+1} 为等比数列；
（2）求 {𝑎𝑛} 的通项公式.并判断 𝑛 . 𝑎𝑛 . 𝑆𝑛 是否成等差数列？
sin𝐶cos𝐶 18．在①(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏−𝑐)=3𝑎𝑏②tan𝐴+tan𝐵=√3③这三个条件中任选=tan𝐴tan𝐵−12sin𝐵−sin𝐴cos𝐴一个.补充在下面的横线上.并加以解答．
在 △𝐴𝐵𝐶 中.角 𝐴，𝐵，𝐶 所对的边分别为 𝑎，𝑏，𝑐 .且满足________． （1）求角 𝐶 的大小；
（2）若 𝐷 为边 𝐵𝐶 上一点.且 𝐴𝐷=6 . 𝐵𝐷=4 . 𝐴𝐵=8 .求 𝐴𝐶 ．
19．如图.四棱锥P﹣ABCD中.PA△底面ABCD.AB△AD.AC△CD.△ABC=60°.PA=AB=BC.E是PC的
中点．求证：
（△）CD△AE； （△）PD△平面ABE．
20．在某地区进行某种疾病调查.需要对其居民血液进行抽样化验.若结果呈阳性.则患有该疾病；若结
果为阴性.则未患有该疾病．现有n（𝑛∈𝑁+.𝑛≥2）个人.每人一份血液待检验.有如下两种方案： 方案一：逐份检验.需要检验n次；
方案二：混合检验.将n份血液分别取样.混合在一起检验.若检验结果呈阴性.则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性.再对n份血液逐份检验.此时共需要检验n＋1次．
（1）若𝑛=5.且其中两人患有该疾病.采用方案一.求恰好检验3次就能确定患病两人的概率； （2）已知每个人患该疾病的概率为𝑝(0≤𝑝≤1)．
（△）若两种方案检验总次数的期望值相同.求p关于n的函数解析式𝑝=𝑓(𝑛)；
（△）若𝑛=8.且每单次检验费用相同.为降低总检验费用.选择哪种方案更好？试说明理由．
𝑎
21．已知函数𝑓(𝑥)=ln2𝑥+.𝑎∈𝑅.
𝑥（1）若函数𝑓(𝑥)在[2，+∞)上是增函数.求实数a的取值范围； （2）若函数𝑓(𝑥)在[1，𝑒]上的最小值为2.求实数a的值.
22．抛物线 𝐶 ： 𝑥2=2𝑝𝑦 上有两点 𝐴 . 𝐵 .过 𝐴 . 𝐵 作抛物线的切线交于点 𝑀(−2,−1) .且
∠𝐴𝑀𝐵=90° .
（1）求抛物线 𝐶 的方程；
（2）过 𝑀 点斜率为1的直线交抛物线于 𝑃 . 𝑄 .直线 𝑦=𝑥+𝑐(𝑐<1) 交抛物线于 𝐶 . 𝐷 .求四边形 𝑃𝑄𝐷𝐶 面积的最大值.
案解析部分
1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】C 9．【答案】B,C 10．【答案】B,C,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】A,D 13．【答案】255 314．【答案】
515．【答案】√2+1 16．【答案】1𝑛2−1
17．【答案】（1）证明：∵𝑎3=7 . 𝑎3=3𝑎2−2 .∴𝑎2=3 . 2𝑎+2𝑎+1
∴𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1+1 .∴𝑎1=1 . 𝑎𝑛+1=𝑎𝑛−1+1=2(𝑛≥2) .
𝑛+1
𝑛−1
∴{𝑎𝑛+1} 是首项为 2 公比为 2 的等比数列. （2）解：由（1）知. 𝑎𝑛+1=2𝑛 .∴𝑎𝑛=2𝑛−1 .
𝑛+1∴𝑆𝑛=2−2−𝑛=2−𝑛−2 . 1−2𝑛+1
∴𝑛+𝑆𝑛−2𝑎𝑛=𝑛+2𝑛+1−𝑛−2−2(2𝑛−1)=0 .∴𝑛+𝑆𝑛=2𝑎𝑛 . 即 𝑛 . 𝑎𝑛 . 𝑆𝑛 成等差数列.
18．【答案】（1）选①.由题意化简得 𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2−𝑐2=3𝑎𝑏 .即 𝑐2=𝑎2+𝑏2−𝑎𝑏 .根据余弦定
22𝜋2
理得 cos𝐶=𝑎+𝑏−𝑐=1 .因为 𝐶∈(0，𝜋) 所以 𝐶=3 .选②.由题意得 −tan(𝐴+𝐵)=√3 .则
2𝑎𝑏2𝜋
tan𝐶=√3 .因为 𝐶∈(0，𝜋) 所以 𝐶=3 .
𝜋1
选③.由题意化简得 sin𝐵=2cos𝐶sin𝐵 .当 sin𝐵=0，𝐵=2 时代入原式显然不成立.故 cos𝐶= .
2
𝜋
因为 𝐶∈(0，𝜋) 所以 𝐶=3 .
2226+4−81 .所以 cos∠𝐴𝐷𝐵=1 .故 ∠𝐴𝐷𝐵∈（2）在 △𝐴𝐵𝐷 中.根据余弦定理得 cos∠𝐴𝐷𝐵==−42×6×44𝜋𝐴𝐶6 .(0，2) .所以 sin∠𝐴𝐷𝐶=√1−cos2∠𝐴𝐷𝐶=√15 .在 △𝐴𝐷𝐶 中根据正弦定理得 =sin∠𝐴𝐷𝐵sin𝐶4解得 𝐴𝐶=3√5 19．【答案】证明：（△）∵PA△底面ABCD.∴PA△CD.又AC△CD.PA∩AC=A.
故CD△平面PAC．
又AE△平面PAC.∴CD△AE． （△）由题意：AB△AD. ∴AB△平面PAD.从而AB△PD． 又AB=BC.且△ABC=60°. ∴AC=AB.从而AC=PA． 又E为PC之中点.∴AE△PC．
由（△）知：AE△CD.∴AE△平面PCD.从而AE△PD． 又AB∩AE=A. 故PD△平面ABE
20．【答案】（1）解：将5份待检血液排成一排有𝐴55=120；
满足条件的排法：第一步.将两份选一份排在第三位有2种； 第二步.在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法； 第三步.将剩余3份排成一排有𝐴33=6. 所以满足条件的排法共2×2×6=24.
241 所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为=1205（2）解：（△）因为每个人都有可能患病.故方案一检验次数为定值n； 记方案二检验次数为X.则X的取值为1.n+1 𝑃(𝑋=1)=(1−𝑝)𝑛.𝑃(𝑋=𝑛+1)=1−(1−𝑝)𝑛
所以𝐸(𝑋)=(1−𝑝)𝑛+(𝑛+1)[1−(1−𝑝)𝑛]
由题可知(1−𝑝)𝑛+(𝑛+1)[1−(1−𝑝)𝑛]=𝑛.即𝑛(1−𝑝)𝑛=1.
11整理可得𝑝=1−𝑛.即𝑝=𝑓(𝑛)=1−𝑛 √𝑛√𝑛（△）当𝑛=8时.记单次检验费用为x. 则方案一：检验费用为𝑛𝑥；
方案二：记检验费为Y.则Y的分布列为 Y P 𝑥 (1−𝑝)𝑛 (𝑛+1)𝑥 1−(1−𝑝)𝑛 则𝐸(𝑌)=𝑥(1−𝑝)𝑛+(𝑛+1)𝑥[1−(1−𝑝)𝑛]=[𝑛+1−𝑛(1−𝑝)𝑛]𝑥
𝐸(𝑌)−𝑛𝑥=[𝑛+1−𝑛(1−𝑝)𝑛]𝑥−𝑛𝑥=[1−𝑛(1−𝑝)𝑛]𝑥
记𝑔(𝑝)=1−𝑛(1−𝑝)𝑛.因为𝑛=8.所以𝑔(𝑝)=1−8(1−𝑝)8 因为0<1−𝑝<1.所以𝑔(𝑝)单调递增.
11
=1−8时.𝑔(𝑝)=0. 由（△）知.当𝑝=1−𝑛√𝑛√81
所以当0<𝑝<1−8时.𝑔(𝑝)<0.则𝐸(𝑌)<𝑛𝑥；
√81
当1−8<𝑝<1时.𝑔(𝑝)>0.则𝐸(𝑌)>𝑛𝑥.
√811
故当0<𝑝<1−8时.选择方案二；当1−8<𝑝<1时.选择方案一.
√8√8𝑎1𝑎′
21．【答案】（1）解：∵𝑓(𝑥)=ln2𝑥+𝑥.∴𝑓(𝑥)=𝑥−2 𝑥
∵𝑓(𝑥)在[2，+∞)上是增函数.
1𝑎′
∴𝑓(𝑥)=𝑥−2≥0在[2，+∞)上恒成立.即𝑎≤𝑥在[2，+∞)上恒成立.
𝑥∴𝑎≤2.
（2）解：由（1）得𝑓(𝑥)=
′
𝑥−𝑎
.𝑥∈[1，𝑒]. 𝑥2①若𝑎≤1.𝑓′(𝑥)>0在[1，𝑒]上恒成立.此时𝑓(𝑥)在[1，𝑒]上是增函数.所以𝑓(1)=ln2+𝑎=2.解得𝑎=2−ln2（舍去）.
𝑒
②若1<𝑎<𝑒时.𝑓(𝑥)在(1，𝑎)上是减函数.在(𝑎，𝑒)上是增函数.所以𝑓(𝑎)=ln2𝑎+1=2.解得𝑎=2
③若𝑎≥𝑒.𝑓′(𝑥)<0在[1，𝑒]上恒成立.此时𝑓(𝑥)在[1，𝑒]上是减函数.所以𝑓(𝑒)=2.所以𝑎=𝑒(1−ln2)（舍去）.
𝑒
综上.得𝑎=2.
22．【答案】（1）解：过点 𝑀 作 𝑥2=2𝑝𝑦 的切线.方程为 𝑦+1=𝑘(𝑥+2) .
即 𝑦=𝑘𝑥+2𝑘−1 代入 𝑥2=2𝑝𝑦⇒𝑥2−2𝑝𝑘𝑥−2𝑝(2𝑘−1)=0 . 𝛥=0 .
化简为 𝑝𝑘2+4𝑘−2=0 . 𝑘1𝑘2=−1⇒−2
𝑝=−1⇒𝑝=2 .
即 𝑥2=4𝑦 .
（2）解： {𝑦=𝑥+1𝑥2
=4𝑦,⇔,𝑥2,−,4,𝑥,−,4,=,
0 . 故 |𝑃𝑄|=√2⋅|𝑥𝑃−𝑥𝑄|=√2⋅√32=8 .
𝐶𝐷 ： 𝑦=𝑥+𝑐 代入 𝑥2=4𝑦=4(𝑥+𝑐)⇒𝑥2−4𝑥−4𝑐=0⇒|𝐶𝐷|√16+16𝑐=4√2⋅√1+𝑐 .
且由 𝛥=16+16𝑐>0⇒−1<𝑐<1 .
由平行线之间的距离公式可得：梯形 𝑃𝑄𝐷𝐶 的高为
|𝑐−1|√2=1−𝑐√2 . 故 𝑆𝑃𝑄𝐷𝐶=12⋅(8+4√2⋅√1+𝑐)⋅1−𝑐√2 =(1−𝑐)(2√2+2√1+𝑐) .
令 √1+𝑐=𝑡 .则 𝑆𝑃𝑄𝐷𝐶=(2−𝑡2)(2√2+2𝑡)(𝑡∈(0,√2)) .
𝑆′=(−2𝑡)(2√2+2𝑡)+(2−𝑡2)⋅2
=−6𝑡2−4√2𝑡+4=−6(𝑡+√2)(𝑡−√23) . 在 (0,√23) 上. 𝑆′>0 .在 (√
23,√2) 上. 𝑆′<0 .
故当 𝑡=√
23 时. 𝑆 取最大值为 128√272 =√2⋅|𝑥𝐶−𝑥𝐷|=√2⋅
