量纲分析与相似原理

B5 量纲分析与相似原理

实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。

主要内容：物理方程的量纲齐次性， 定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。

重点：（1）量纲齐次性原理；

（2） 定理和量纲分析； （3）常用的相似准则； （4）相似原理与模型实验。

B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 1. 物理量的类别和量纲

物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲（取三个）记为

dim m = M，dim l =L ,dim t=T 任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量纲幂次式。例如

dim g =LT -2

dim V = LT -1

dim QL3T1

dim ML2T2 dim L2T1

dim ML3 dim ML1T1 dim FMLT2

dim pdim dim KML1T2

△ 虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有在确定的单位制中才有意义。

2. 量纲齐次性原理

物理方程中各项的量纲必须齐次，称为物理方程的量纲齐次性。

以单位体积流体元能量守恒形式的伯努利方程为例 12vgzp常数 （沿流线）2 （B5.1.2） 方程左端各项的量纲分别为 1dim (v2)(ML-3)(LT-1)2ML1T22 dim (gz)(ML-3)(LT-2)LML-1T-2 dim pML1T2 可以断定，方程右端常数项的量纲为 12dim（常数）= MLT △ 量纲齐次性原理表明：在一流动现象中各相关物理量可组成若干个量纲齐次的组合群，它反映了该流动现象中各相关物理量在量纲上的相互制约关系，这是对一流动现象中相关的物理量做量纲分析的物理基础。 [思考题B5.1.1] V2gz2按量纲齐次性原理，单位质量流体元能量守恒形式的伯努利方程中

p（）=常数。第三项的形式应为

B5.2 量纲分析与 П 定理

量纲分析主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对相关的物理量做量纲幂次分析，将它们组合

成无量纲量，揭示他们间内在关系，并降低变量数目。

较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉

(E.Buckingham,1914），他提出了П定理。 B5.2.1 П 定理

△ П 定理指出：若一方程包含 n个物理量，每个物理量的量纲均由 r个独

立的基本量纲组成，则这些物理量可以并只可以组合成 nr个的无量纲量，称为 П数。

在流体力学中的基本量纲一般为 r3。设原来的方程为

（B5.2.1）

经量纲分析后， n个变量可组合成 n3个的 П 数，构成新的方程

П1 = f (П2, П3, ……, Пn-r )

(B5.2.2)

△ П 定理还指出：选择 r个的物理量为基本量，将其余 nr个物理量

作为导出量，依次对基本量做组合量纲分析，可求得相互的 nr个П数。

B5.2.2 量纲分析法 1. 量纲分析一般步骤

以光滑圆球在粘性流体中的运动阻力为例说明量纲分析的一般步骤。

第一步 列举所有相关的物理量。

本例的物理量包括： FD（阻力）， （流体密度）， d（圆球直径）， v（圆球速度） （粘度）共5个，构成关系式

FD(,V,d,)

第二步 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（3个）。

(B5.2.3)

本例中 包含质量量纲 M， d包含长度量纲， v包含时间量纲，他们是相互的可选作基本量。

第三步 将其余的物理量均作为导出量，分别与以基本量为底的指数式组成П表达式。

本例中导出量有5-3=2个，即 FD和 ，他们的П表达式分别为

1a1Vb1dc1FD

where the “mass””volume”and “speed”is the basic dimension,the force is the coefficient-deduced.

2a2Vb2dc2

Where the mean of the letter is the same as the formula above 第四步 用量纲幂次式求解每个П表达式中的指数，组成П数。

П1的量纲幂次式为

M0L0T0ML3LTLMLT

a11b1c12

M: a110L : -3a1b1c110T : -b201

b12， c12 解得 a11，FDCDV2d2

Π1（CD 称为阻力系数）

П2的量纲幂次式为

M0L0T0(ML-3)a2(LT-1)b2L2(ML1T1)

cM: a210L : -3a2b2c2-10T : -b-102

解得 a 2 = -1, b 2 = -1, c 2 = -1

2Vd1Re

（ Re 为雷诺数）

第五步 用П数构成新的方程 本例中П1 = f (П2 )即

CDFDf(Re)22Vd

(B5.2.4) (B5.2.5)

FDV2d2f(Re)

2. 简要说明

△ 量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易，关键在第一步。

若遗漏了必需的物理量将导致错误结果，而引入无关的物理量将使分析复杂

化。要正确选择物理量需掌握必要的流体力学知识和对研究对象的感性认识，并具有一定的量纲分析经验。

△ 量纲分析的结果主要用于指导实验。上例中原来有5个变量，若通过实

验确定（B5.2.3）式中的 ，按每个变量改变10次获得一条实验曲线计算，

4共需 10次实验，而且其中要改变10次 和 ，实际上难以实现。经量纲

分析后变量减少为2个，为确定函数关系 f只需要10次实验，而且通过改变速度（ v）便可实现。 [思考题B5.2.2]

[BT5.2.2]:对光滑圆球在粘性流体中的定常运动问题做实验，按量纲分析后的 数方程

量纲分析前的关系式 画多少根曲线：1000

[例B5.2.2] 粗糙管中粘性流动：量纲分析一般步骤

，只要画一根曲线就能说明各物理量之间的关系。若按

为了全面说明各物理量之间的定量关系应

［例B5.2.2］粗糙管中的粘性流动：量纲分析

设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁粗糙的直圆管中作定常流动，

试用量纲分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。 解：按量纲分析一般步骤：

1．列举物理量。设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度），d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平均高

度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l（管长度），共7个，组成关系式为

p(,V,d,,,l)

(a)

2．选择基本量（3个）：ρ、V、d

3．列П表达式（应该有7-3 = 4个，本步与下一步合并） 4．求解П数 ① П1=ρa V bd cΔp

M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )

M:a10L:3abc10T:b20

解得：a = -1, b = -2, c = 0

1p1V22Eu

去的）

（欧拉数，1/2是人为加上

② П2 =ρa b b c cμ

M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )

M:a10L:3abc10T:b10

解得：a = b = c = -1

2Vd1Re(雷诺数)

③ П3 =ρa V bd cε

M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L

解得：a = b = 0， c = -1

3d （相对粗糙度）

④ П4 =ρa V bd c l (同上)

4ld （几何比数）

5．列П数方程

1f(2,3,4)

(b)

l,)ddp1V2即 2f(Re,(c)

或

p1lV2f(Re,,)2dd

(d)

[例B5.2.2A] 三角堰：量纲分析解与解析解对比

B5.3 流动相似与相似准则 B5.3.1 流动相似

“相似”概念来源于几何学。矩形的相似条件是对应边长成比例（图

B5.3.1）。

lhkll'h'

(B5.3.1)

图B5.3.1

称为几何相似， kl称为几何比数。

[思考题B5.3.1]

力学相似比几何相似的内容丰富，以机翼绕流流场为例（图B5.3.2）。 1、几何相似

所有对应的尺度（包括边界上和流动空间内）成比例

(B5.3.2)

所有对应的方向相同，夹角和方位相同。

图5.3.2

2、运动相似

所有对应点上的速度方向一致，大小成比例

(B5.3.3)

3、动力相似

所有对应点上的对应力成比例，在流场中有惯性力 Fi、粘性力 Fv、重力

F压力 p、阻力 Fd等，对应力成比例要求：

Fg、

(B5.3.4)

由于流场中决定不同类型的力的因素不同，要达到所有对应力成同一比例是难以达到的，只能保证起主要作用的力成比例。 [思考题B5.3.2]

B5.3.2 相似准则

将两个矩形的比例关系调整为一个矩形中的自身比例关系：

lhlhk  l*l''lhlh

△ 相似的矩形具有相同的长宽比 l

h，称为相似准则；长宽比值 l*为无量纲量，称为相

**似准则数。若将宽度作为特征长度， l也称为矩形的无量纲边长。相似准则数 l代表

了一簇长宽比相同的矩形的形状特征。 [思考题B5.3.3]

类似地，对流场也可引入相似准则和相似准则数。例如在翼形几何相似中，取翼长为特征尺度

r*被称为几何相似准则数，或无量纲尺度。

在流场运动相似中取流速度为特征速度

v*被称为运动相似准则数，或无量纲速度。

在流场动力相似中，取惯性力为特征力

FgFvFv*Fg*Fv,Fg,......FiFiFiFi

Fv,Fg等被称为动力相似准则数，或无量纲力。

**

[思考题B5.3.4]

B5.4 相似准则数的确定

确定动力相似准则数的方法有三种 ：量纲分析法、物理法则分析法和方程分析法，下面结合不可压粘性流体的流动为例分别介绍这三种方法。 1. 量纲分析法

量纲分析法又称参数分析法，以 П 定理为基础，在B5.2节中已作详细介绍。

对不可压粘性流动，有关物理量为ρ（流体密度），v（速度）， l（特征长度），μ（流体粘性系数），g（重力加速度），Δp（压强差），ω（脉动圆频率），根据П定理可组成4个的П 数。若取ρ，V，l为基本量可得（步骤略）

（雷诺数，Reynolds）

（斯特劳哈尔数，Stronhal）

（弗劳德数，Froude ） （欧拉数，Euler）

(B5.4.1a) (B5.4.1b) (B5.4.1c) (B5.4.1d)

△ 量纲分析方法适用于物理方程未知但相关物理量可以确定的物理现象，

主要缺点是相似准则数的物理意义不够明确。 2. 物理法则分析法

该法又称定律分析法。主要方法是列出支配现象的物理法则（或定律），根据这些法则用特征物理量的幂次表示相应的力，由这些力的比值得到动力相似准则数。特征物理量包括 ,V,l,g,,p,等。支配不可压粘性流动的物理法则有： ① 牛顿第二定律

迁移惯性力 Fi1mvVV~l3l2V2xl

当地惯性力 Fi2mV~l3Vx 重力 Fgmg~l3g

② 牛顿粘性定律

粘性力 FvduVA~l2Vldyl ③ 压强公式

压差力 FppA~pl2

以惯性力为特征力与其他力相比所得相似准则数与(B5.4.1)式相同：

(B5.4.2a) (B5.4.2b)

(B5.4.2c) (B5.4.2d)

△ 用物理法则法导出的相似准则数物理意义明确，例如Re数代表惯性力

与粘性力之比， Fr数代表惯性力与重力之比等，只要物理法则运用得当，导出

的相似准则数便具有代表性。

[例B5.4.1] 用物理法则法确定相似准则数：M,We 3. 方程分析法

根据物理方程的量纲齐次性可对已知方程进行量纲为1化，无量纲形式的方程将包含相关的相似准则数。

不可压粘性流动遵循纳维-斯托克斯方程，在 x方向的投影式为

uuuu1p2u2u2uuvwfx(222)(B5.4.1) txyzxxyz

引入特征速度V，特征长度 l，特征压强 p0，特征质量力 g，特征时间 1，各物理量可化为量纲为1量

u*u*v*w*x*y*z*fx*p*,v,w,x,y,z,fx,p,ttVVVlllgp0 代入(B5.4.1)式后整理可得

***lu**u*u*u()*uvw***Vtxyz

p0p*lg2u*2u*2u**(2)fx()*()(2)222***VlxVVxyz 或

(B5.4.2

)

△ 上式中出现的无量纲系数分别为（B5.4.2）式定义的四个相似准则数，由于

纳维-斯托克斯方程各项分别代表不定常惯性力、质量力、压力和粘性力，四个无量纲系数分别表示各种力与迁移惯性力之比值，物理意义也是清晰的。 [思考题B5.4.1]

B5.5 常用的相似准则数 1. Re 数（雷诺数）

Re 数以英国工程师雷诺（O.Reynolds）命名，是流体力学中最重要的相似准则数，所有与粘性流动有关的模型实验都必须考虑Re数。

Re 数是惯性力与粘性力之比

Vl

Re(B5.5.1)

上式中 l为物体特征长度，如对圆管流动取管直径，对钝体绕流取绕流截面的宽度； V为特征速度，如对圆管流动取管内平均速度，对钝体绕流取来流速度等， 为运动粘性系数。

2. Fr数（弗劳德数）

Fr数以英国船舶设计师弗劳德（W.Froude）命名。当模拟具有自由液面的液体流动时，如水面船舶运动、明渠流动等， Fr数是必须考虑的相似准则数。

Fr数是惯性力与重力之比：

惯性力V重力gl

Fr(B5.5.2)

上式中 l为船舶或明渠的特征长度，对船舶取船长，对明渠取水深； V为特征速

度（ Fr数对明渠流动的影响将在C3.9节中讨论）。 3. Eu数（欧拉数）

Eu数以瑞士数学家欧拉（L.Euler）命名。当讨论流场中某点的特征压强或两点间的压强差时常用到 Eu数。

Eu数是压力或压差力与惯性力之比

Eu压力p惯性力V2

(B5.5.3a)

或

压力差p惯性力V2

Eu(B5.5.3b)

在描述压强差时 Eu数常被称为压强系数，并表示为

p212V

cp(B5.5.4)

当液体流动中局部压强 p低于当地蒸汽压强 pv时会产生空化效应或气蚀，

Eu数被称为空泡数或空蚀系数，并表示为

(B5.5.5)

4. Sr 数（斯特劳哈尔数）

Sr 数以德国物理学家斯特劳哈尔（V.Strouhal）命名，他在研究风吹过金属丝发出鸣叫声时创立此数。在研究不定常流动或脉动流时， Sr 数成为重要的量纲为1的参数。

Sr 数为当地惯性力与迁移惯性力之比

SrlV

(B5.5.6)

上式中 l为物体特征长度，如金属丝或圆柱的直径等， ω 为当地流体脉动圆频率。

5. Ma数（马赫数）

Ma数以奥地利物理学家马赫（E.Mach）命名。当气体作高速流动时气体压缩性成为重要属性，Ma数用来描述流体压缩性的影响。

Ma数为惯性力与压缩力之比

Ma = V / c (B5.5.8)

上式中 c为声速。用Ma数可表示气体以亚声速、接近声速及超声速流动时的动力特性（将在C5章中作详细讨论）。

6. Ne数（牛顿数）

Ne数以英国物理学家牛顿(S.I.Newton)命名。 Ne数含义广泛，主要用于描述由流体产生的阻力、升力、力矩和（动力机械的）功率等外力行为的影响。

Ne数为外力与惯性力之比

外力F22惯性力lV

Ne(B5.5.10)

当描述阻力 D时，称为阻力系数

CDD2212Vl

(B5.5.11)

当描述升力 L时，称为升力系数

L2212Vl

CL(B5.5.12)

当描述力矩时，称为力矩系数

M2312Vl

CM(B5.5.13)

当描述动力机械的功率 P时，称为动力系数

PPV3l2D5N3

CP(B5.5.14)

上式中 D为动力机械旋转部件的直径， N为转速。

B5.6 模型实验与相似原理

模型实验是指为定量地预计原型的某些物理特征对简化的相似模型所作的

实验。 为了“定量”，必须保证“相似”；应按相似原理设计和组织模型实验。 B5.6.1 相似原理

П定理指出，描述原型流动现象的方程可化为若干的π数的方程：

П1= f (П2 , П3 , ……Пn )

(B5.6.1)

П数由相关的物理量和物理法则确定，与物体尺度、流体性质和流速大小等无关，

因此也适用于模型（脚标 ）

(B5.6.2)

П1m = f (П2 m, П3 m, ……Пn m )

当模型方程设计成

П2 m=П2，П3 m= П3，……，Пn m= Пn

(B5.6.3)

由（B5.6.1）和(B5.6.2)式必有

П1= П1m

(B5.6.4)

这就是模型实验的相似原理，（B5.6.3）式称为相似条件，(B5.6.4)式称为相似结果。

根据支配物理现象的主要物理法则导出的相似准则数，称为主相似准则数，

或简称为主П数。 △ 相似原理和实践经验表明：在几何相似的条件下，保证模型和原型的主

П数相等，即满足模型和原型的相似要求，除主П数外的其他相关π数也相等。 [思考题B5.6.1]

[例B5.6.1] 矩形板绕流阻力：相似原理

B5.6.2 关于相似原理的讨论 1. 几何相似

模型与原型的物体表面粗糙度相似也属几何相似范畴，表面粗糙度δ被定义为表面所有粗糙凸起的平均高度（图B5.6.1）。

B5.6.1

实验表明表面粗糙度对湍流阻力有明显影响，因此研究湍流阻力时应保证表面粗糙度相似。尼古拉兹（J.Nikuradse）用筛选分类的沙粒均匀粘贴于圆管内表面形成人工粗糙度，他能成功的模拟湍流光滑区和完全粗糙区的流动，但却不能模拟粗糙过渡区的流动，原因是原型（实际管道）的粗糙度并非均匀分布而是随机分布的，因此在处理表面粗糙度这类几何相似条件时也得小心。 2. 主π数相等

当一流动现象中有两个以上主П数时，保证模型和原型主π数相等并非易事。

例如水面船舶运动时既有兴波阻力也有粘性阻力，前者的主П数是

后者的主П数是Re数。设几何相似条件已满足： 数相等

数，

（几何比数），由

(B5.6.5)

由 Re 数相等

(B5.6.6)

若模型也用有水做实验， ，（B5.6.5）和（B5.6.6）式不能同时成立。为了使两式同时成立必须用特殊介质作模拟实验，使运动粘度满足

若模型按1: 10缩小， 件。

通常的做法是仍用水做实验介质，以

阻力，然后根据经验作粘性阻力修正。

(B5.6.7)

，实际上无法找到适当的液体满足条

数为主作模型实验测得船舶的兴波

以上的相似称为近似相似或相似准则的放宽，是实际模型实验中常常碰到

的。 △ 重要的是要辨别起主要作用的主П数，对次要的主П数或者用解析方法

或者用经验方法作修正。要正确做到这一点，除了对流动现象有深刻认识外还需要掌握一定的经验和技巧。 [思考题B5.6.2]

C1 流体的平衡

C1.1 引言

流体平衡是流体运动的特殊形式。流体平衡时速度场处处为零，静压强场成为决定性因素。在惯性系（静止或匀速运动）中压强分布与重力平衡，在非惯性系中除重力外还要与惯性力分布平衡。本章的主要目的是研究流体平衡时压强分布的一般规律及对被接触固壁的压强合力等。这些知识在分析贮液罐、水坝的受力；水压机、离心分离机、虹吸泵、比重计、高度仪的原理，及船舶、浮吊的浮力和稳定性方面有广泛应用。

主要内容：流体的平衡微分方程和积分关系式，均质液体在非惯性系中的相对平衡，均质液体对平壁和曲壁的总压力，浮力与稳定性，大气中的压强分布。 重点： （1）等压面概念；

（2）流体静力学基本方程；

（3）均质液体对平壁的总压力大小和作用点； （4）均质液体对二维曲壁的总压力。