线性代数北京理工大学出版社习题解答

第一章行列式

学习要求

1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；

2. 理解 n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；

3. 理解 n 阶行列式的概念和 n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角 行列式和一些简单的特殊的

n 阶行列式；

4. 掌握行列式的基本性质，会利用“化三角形”方法计算行列式；

5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开定理，会用降阶法计算行列式；

6. 掌握克莱姆法则，了解未知量个数与方程个数相同的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解 .

1. 计算二阶行列式：

§ 1.1 二阶与三阶行列式

(5)

x 1

x2 x2 1 ( x x 1

1)(x2 x 1)

x2 x3 x2 1;

2． 计算三阶行列式：

1 3 0

0 1

(2)

5 0 4 1

5 0 ( 12)

0 0 0

7;

x 0

3 x

4 1

3 1 x

x

4 0 1

3． 求解方程 D

0.

x 0

解

由 1 x

0 x2 4x 3

(x 1)(x

3)

0, 故原方程的解为 x 1或x 3.

4． 用行列式解下列方程组：

1

(1)

3x1 2x2

3,

1.

(2) 2 x1

x1 x1

2x2

x2

4x1 3x2

解

x2

x3 0, x3 1, 2x3 3.

(1) D

3 4

2 3 3 1 2

1

9

8 1 0,

D1

3 1

2 3

9 2 7,

D 2

3 4 1

(2)D2

3 12

9, 故所求的方程组有唯一解：

x1 7, x2 9.

1 1 1 2

222118 80,

1

0 2

D 1

1 2

1 2 1

0 1 1 1 3 2

1 2 1

2 0 1 1 1 3

1 3

1 1

1 4， D2

4， D3

12,

故所求的方程组有唯一解：

x1

1 2

, x2

1 2

, x3

3 2

.

x 2 1 2 3 3

3 3 3

6. 当 x 取何值时， 1 x

0.

x 2

解

由 1 x

1 2

3 3x 2

9x 6 3( x 1)(x 2)

0, 解得 x 1且x 2.

§1.3 n 阶行列式的定义

1. 写出四阶行列式中含有因子 解

a22a34 的项 .

利用 n 阶行列式的定义来求解 . 行列式的阶数是四，每一项都要有

4 个元素相乘，

题目已给出了两个已知因子，

那么还有两个元素还未写出， 由于因子 a22a34 的行标已经取了

1， 4，列标只能取 1，3，因此未写出的因

2， 3，列标取 2，4，所以剩下因子的行标只能取 子为 a11 a43 和 a13 a41 . 又因为

(1243) 1 ， (3241)

4 ，所以四阶行列式中含有因子 a22 a34 的

项为 ( 1)

(1243) a11a22 a34 a43 和 ( 1) (3241) a13 a22 a34 a41 ，即

aaaa1122 34 43 和a 13 aaa.22 34 41

2

3. 已知 f ( x)

x x 1 1 x 2 2 3 x 1 1 2

0 3 2 x

3

，用行列式的定义求 x 的系数 .

3

解

f ( x) 的展开式中含

的项只有一项：

(2134)

3 ，故 3 的系数为

1

x

( 1)x 1 x x

:

x

x

.

4. 利用行列式的定义计算下列行列式

(2)

0 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0

( 1) ( 4213)

1 2

3 4 24 ;

解析 由 n 阶行列式的定义可知

数和 . 因为第

1 行只有一个非零元素

2 行的元素，第

: 行列式等于取自不同行不同列的元素的乘积的代 1，先取 a14 2行只能取1a

，则第 1 行和第 4 列的元素不能

再取了，再考虑第 不能再取了，对第 不能再取了，最后第 4

a 22

2 ，则第 2行和第 2

31

列的元素也 1 列的元素

3 行的元素而言，此时只能取

3 ，则第 3 行和第

行 的 元 素 只 能 取 a43 4，那么行列式的结果为

( 1) ( 4213) a14 a22a31 a43 1 2

3 4 24;

补充练习

5x x 1

1. 由行列式的定义写出 D

1 2 x 1 2

3 2

的展开式中包含 x 和 x 的项 .

34x 3

x

解

两项 (

4

1 2 2x

(1234) D 的展开式中含 x 的项只有一项 ( 1)5x

x x

2x 10 x4 ，而含 x3 的项有

x3 的项为： 5x3 .

1) (2134) 1 x

x 2x 和 (

1) (4231) 3 x x

(

x ，从而展开式中含

(

1) ( 2134) 1 x

x 2x

1) (4231) 3 x

x x2x3 3x3

§1.4 行列式的性质

1. 利用行列式的性质计算下列行列式：

ab

(2) bd

ac cd cf

ae de ef

1

abcdef 1

1

1 1 1

bf

1

1 r2 r1

r3 r1 1

1

abcdef 0

0

1 0 2

1 2

2

3

1

r2

1 1 2 2

4abcdef ;

r3

abcdef 0 2

0 0

(3) 由于每一行 (或列 )的和都是等于 6，故将第 2， 3，4 行都乘以 1 加到第一行，再提 取公因子 6，利用性质 5 化成三角形行列式即可求值 .

3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

1 3 1 2

2 0

1 2 r2 1 1 r3

6 6 1 3 1 1

6 6 1 1

6

1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3

1

6

1 0 0 0

1 1 2 0 0 2 0 0

1 0 0 2

48;

1 3 1 1 1 3 ( 3)r1 1 ( 1)r1 0

1 1 1 3 2

1 2

6 4 7 r2

(4)

( 1)r3

1 2 0 0 0 1 0 0

1 2

2 3 9 4 1 0 1

2

3 2 9

2 0 4

4 1 1

r4 2r1

0 0 1 0

4 1 0 1 2 0 0

1 2 3

2 3 2

r3 ( 2)r2

9r

4

1

2 0 0

1 2 3

( 5 )r3 0

10.

0 0

5 1

20 3

5 20 0

1

2. 证明下列等式：

a2 (a 1) 2 ( a 2) 2 (a 3)2

（ 2） b2

c2

(b 1) 2 (b 2) 2 (b 3)2 (c 1)2 (c 2)2 (c 3)2

0 ;

d 2 (d 1) 2 (d 2) 2 (d 3)2

1 x1 y1 1 x1 y2 1 x3 y1

证明

1 x1 y3

0 ;

1 x3 y3

（3） 1 x2 y1 1 x2 y2 1 x2 y3

.

1 x3 y2

(2) 把行列式中的括号展开，第 1 列乘以 -1 加到其它列，化简行列式 .

a2 b2 c2 d 2

( a 1)2 ( a (b 1)2 (b ( c 1)2 (c ( d 1)2 (d

2)2 (a 3)2 2)2 (b 3)2

a2 b2 c2 d 2

2a 1 4a 4 6a 2b 1 4b 4 6b 2c 1 4c 4 6c 2d 1 4d 4 6d

9 9 9 9

0 ;

2) 2 (c 3)2 2)2 (d 3)2

(3) 由性质 4，将 D 的第 1 列拆开，得

1 1 x1 y2 1 x1 y3 x1 y1 1 x1 y2 1 x1 y3 x2 y1 1 x2 y2

1 x2 y3 ,

x3 y1 1 x3 y2 1 x3 y3

D

1 1 x2 y2 1 x2 y3 1 1 x3 y2 1 x3 y3

4

将第 1 个行列式的第 1 列乘以 -1

加到第 2、 3 列，第 2 个行列式第

1 列提取 y1 ，得

1 x1 y2 x1 y3 D1 x2 y2 x2 y3 1 x3 y2 x3 y3

x1 1 x1 y2 1 x1 y3

y1 x2 1 x2 y2 1 x2 y3 ，

x3 1 x3 y2 1 x3 y3

将第 1 个行列式第 2、 3 列提取 y2 , y3 ，将第 2 个行列式的第 可得如下行列式，

2 列、第 3 列分别拆开，最后

1 x1 x1

D y2 y3 1 x2 x2

1 x3 x3

x1 1 1

y1 x2 1 1

x3 1 1

x1 1 x1 y3 x2 1 x2 y3 x3 1 x3 y3

x1 x1 y2 x2 x2 y2 x3 x3 y2

1 1 1

x1 x1 y2 x1 y3 x2 x2 y2 x2 y3 x3 x3 y2 x3 y3

0 0 0 ;

3. 计算下列 n 阶行列式 .

x 1

(1)

1 x 1 1

;

1 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2

2 2 2 ; n

(2)

1

1 x

解 (1) 把第 2,3,

公因子之后，再给第 的值 .

, n 列分别乘以 1 加到第 1 列，得到第 1 列的公因子 x (n

1 行乘以 ( 1) 加到第 2,3,

1) ，提取

,n 行，化成上三角形行列式，得到行列式

x 1 1 x

1 1

x ( n 1) 1 x ( n 1) x 1 1

1 1 1 x

1 1

[ x ( n 1)]

x ( n 1) 1

1 0

[ x ( n 1)]

0

1 1

x x

1 x 1

1 1

x

1 0

[ x 1

(n 1)](x 1)n 1 ;

0 x

(2) 把第 2 行乘以 (-1) 分别加至其余各行，再把第 1 行乘以 2 加至第 2 行，得

5

1 2 2 2 2 2 2 2 3

2 2 2

- 1 2 0 0

1

0 0 2 2 0 1 0 0

1 1 1

1

1 1 1 1

0 2 0 n - 2

- 1 0 0 0

0 0 2 2 0 1 0 0

0 2 0 n - 2

2 (n 2)! ;

2 2 2

n

1

4. 求方程

1 1 1

1

1 1

0

的根 .

解第1行乘以(

1) 加到第 2,3,4 行，得如下行列式 :

1

1

1 1 0 0

0 0

,

0 0

再将上述行列式的第

2，3， 4 列乘以 1 加到第 1 列，化成上三角形行列式 .

4 0 0 0

1 1

0 0 0 0

1 0 0

3

( 4),

即可求出根 :

0或 4 .

补充练习

a11

2. 已知行列式

aa21

aa

a12

22

a13

a

2a11 a21

23

2 ，求行列式 2a12

aa

3a11 a21 3a12 3a13

22

aa

a31

22

aa

32 的值 .

2a11 2a12

解

a21 a

22

31 32

3a11 3a12

a33 aa21 31 aa

22

32

a

11

2 a12

a21 a22

2a13

23

3a11 3a12

aa21 31 aa22

32

23

33

aaaaaaa33 13 23 23 33 2a13 23 3a13 23 3a13

aaaaaaa11 21 21 31 11 31 3a11 21

aaaaa2 a12

22

22

32

2 a12 3a12 3a13

22

32

2 a12

aaaaa13 23 23 33 13 aaaaa11 21 21 11 21

aaa

22

22

a

2 a12

22

a31 a32

23

a11

a33

= 2 a21

aa12 13 aa

22

23

4 .

a

13

a

23

a

23

a

13

a

23

a6

33

a31

a

32

a

33

§1.5 行列式按行（列）展开

2

1. 求行列式

0 4

0 2 中元素 5 与 2 的代数余子式 . 1 1

5 3

解

元素 5 的代数余子式为

AA

21

2 1

0 1 2 3

4 1

( 1) ( 1)2

4,

元素 2 的代数余子式为

23

3

0

1

2.

2. 已知四阶行列式第

求行列式的值 .

解

3 行元素依次为 4、3、0、 -2，它们的余子式依次为

3

2、1、-1、 4，

由行列式按行（列）展开定理，得

D a

3 1

A

3 1

a A

3 1

3 2

3 2

a A

3 3 3 3 3 2

a A

3 4

3 4 3

3 4

4(1) 8 3

0 8

2 3 ( 1 ) 1 3.

10(1)

(1) (2)

(1)4

3. 求下列行列式的值

（ 2）

1 2 1 0 3 1

1 2

c3 ( 1)c1 3

c

1 2 4 ( 2)c1

4

1 2

1 0 3 1

2 1 2

1 2 0

2 0 2 0

2 1 1)

1 (

2 1 2

2 2 4 6 1 7

1 0

0 5

4 6 1 7 0

1 1

c 2 ( 1)c1 c3 ( 1)c1

3

5

3 3 5 9

2 ( 1)

3 9

24;

（ 3）所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得

1 1 1 2 1 4 1 8

1 2 8

1 x

2

4 x

(2 1)( 2 1)(

2 2)( x 1)(x 2)[ x

( 2)]

x3

12( x 1)(x 2)( x 1 1 0 0

1 k 0 0

0 0 2 0 k 3 3 k

2).

4. 讨论当 k 为何值时，行列式

0 .

7

1 1

解

1 k

0 0 1

2 0 c2 ( 1)c1 1

0 0 0

0 k 3

0 3 k

k 1 2 0

k

1 1 1)

1 (

1 2 0 0 k 3

0 0 k 3 0 0 3 k

0 0

0

3 k

( k 1) (

1)1 1 k

3

3 (k 1)(k 3)(k 3), k

1 1 0 0 0 3 k

所以，当 k 1，且 k

3 ，且 k

3 时，

1 k 2

0 0 k 0 0 3

0.

5. 计算 n 阶行列式

(3)按第 1 列展开，得

1 1

2 1

1 0 1 2 0 1

0 1 2

0 0 0 2 1

0 0 0

Dn 2( 1)

D

n 1

( 1)

0 0 0 0

0 0

, 1

2

上式右端的行列式再按第一行展开，得

Dn Dn

2Dn 1 Dn 2 , Dn 1 Dn 1

2

移项，得

D n 2 ，

递推，得

2

31

Dn

D

n 1

D

n 1

D

n 2

D

n

Dn

D 2D11

2 2 1,

从而得

D n Dn 1 1, D n 1 Dn 2 1, ,D2 D1 1,

把上面 n 1个等式相加，得

Dn D1 n 1 2 n 1 n 1.

7． 设四阶行列式

D4

a c d a

b b b b

c d c d d a , a c

试求

14

A

A

24

A

34

A

44 的值，其中

Ai4（

8

i 1, 2 , 3 , 4

i 4

）为行列式 D4 的第 列第 行

的元素的代数余子式 .

解 根据行列式按行（列）展开定理的推论，有

aAa22 A

12 1424

a32 A34

a42

A

即A44

0,

bA14 bA24 bA34 bA44 b( A14

24

A34 A44 ) 0,

A14 A24 A34 A44

0.

§1.6 行列式的应用

1. 用克莱姆法则解线性方程组

2x1 x2

x3 x4 1, （ 3）

x1 2x2

x3 x4

2,

3,

x2 2x3 3x4

x1 x2

x3

5.

解：

1 1

2 1 0 1 3 1

1 1

r

r2 ( 1)r4

1

( 2)r4 2 1

1 3 1

D1 2

0 1

( 1)4

1 1 2 1180, 0 1 2 3

0 1 2 3

1

1

10

1

11

2 3

1

0

所以方程组有唯一解 . 又

1 1 1 1

2 1 1 1

D2 2 1 1

1 2 1 1 1

18,

D2

36,

3 1 2 3 0 3 2 3 5 1 1 0

1 5 1 0 2 1 1 1

2 1 1 1

D1 2 2 1 1 2 1 2 3 36,

D4

18,

0 1 3 3 0 1 2 3 1 1

5 0

1

1

1 5

所以方程组的解为

x1

D1 18

1，

D

x2

D2 36 2 ，

18

D

18

x3D

3 36

D4 18 D

18

2 ，

x4

D

18

1 .

2． 满足什么条件时，线性方程组

9

x1 x1

有唯一解？ 解

x2 x3 1, x3 2,

x1 3x2

x2 3x3 1,

由克莱姆法则知，当系数行列式

D 0 ，线性方程组有唯一解，

1

2 0 3 1

3

8

1

1

3 1

1 r1 r2 1 3

D

r3 ( 3)r2

1 ( 1)

23

1

2 8

2(5 1),

0 1

3

当 D

0 时，

2(5

1) 0 ，即当

5

时，题设的线性方程组有唯一解.

3． 当 k 为何值时，齐次线性方程组

2x1 kx2 kx1

x3 x3

0, 0, 0,

x2

4x1 5x2 5x3

有非零解？

解 齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式

D

1 0

0 ，

2 k

D k

1

4 5

1 r1 r2 r3 5r2 1 5

k 2 k 1 0 k 5k

4

.

1

4

0

2 3 ( 1)

k 5k

2

k 1 0

(k 1)(5k 4),

4

由 D

0 得： k 1 ， k

和

5

4．

为何值时，齐次线性方程组

x1 x1

x2 x3 0, x2 x3 0, 2 x2 x3 0,

x1

有非零解？

解

齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式

D

1

0 ，

1 1)

3

D

1 1

1 1 r2 ( 1)r1

r3 ( 1)r1 1 2

1

1

1

1

2

1

0 (

1 1

(1 ),

1 1 0 0 或

1

2

由 D

0 得： 0 或

1.即当

ax 2

1 时，方程组有非零解 .

5． 求二次多项式 f ( x) 解 由 f (1)

bx c ，使得 f (1) 2 ， f ( 1)

，得

10

10 ， f (2)5 .

2 ， f ( 1) 10 ， f (2)5

a a

b c 2,

b c 10, 4a

2b c 5.

要求二次多项式需要求出系数

a , b , c ，即要求出上述非齐次线性方程组的解

.

由其系数行列式

1 D 1

4

1 2

1 1

1 1 6 0,

所以可用克莱姆法则求解

.由于

2

D1 10

5

1 2

1

6,

1

D1 D

1 4

2 1

36,

5 1 D2 D

1

D3 1

4

D 3 D

1 2

2 5

1 1 D2 1 10 1 1 10 18,

从而

a

1， b

6 ， c 3 .

即所求的二次多项式为 f ( x)

x2 6x 3 .

补充练习

2． 系数 ai 1 , ai 2 , ai 3 , ai 4 (i 1, 2 , 3 , 4) 满足什么条件时，四个平面 ai 1x ai 2 y

ai 3 z ai 4 0 (i 1, 2 , 3 , 4) 相交于一点（ x0 , y0 , z0 ）？

解

把平面方程写成如下形式

ai1 x ai 2 y ai3 z ai 4t 0 ，（ t

1， i

1, 2,3,4），

于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组

a11x a12 y a13 z a14t a21x a31x a41x

a22 y a23 z a24t a32 y a33 z a34t a42 y a43 z a44t

0, 0, 0, 0,

有一非零解（ x0 , y0 , z0 ,1 ） .根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式

D 0 ，即四个平面相交于一点的条件为

aaaa11 12 13 14 aaaa

a

21 31

a

22 32

a

23 33

a

24 34

0.

a

41

a

42

a

43

a

44

11

3．设平面曲线 y ax 3 bx2 cx

系数 a , b , c , d .

d 通过点（ 1， 0），（ 2，-2），（ 3，2），（ 4，18），求

解

由平面曲线通过点（ 1，0），（ 2， -2），（ 3， 2），（ 4， 18），得

a 8a 27a

b c d 0, 2, 2,

4b 2c d 9b 3c d

a 16b 4c d 18.

a , b , c , d . 1 1 2 1 3 1 4 1

我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数

D

1 8 27

1 4 9 16

12 ，

又

D1

0 2 2 18 1 8

1 4 9 16 1 4

1 1 2 1 3 1 4 1

12 ，

D 2

1 8 0 2 1 1 2 1 3 1 4 1 1 0 2 2 3 2 4 18

36 ，

27 2 18 1 8

1 4

D3

0 1 2 1 2 1 18 1

0 ，

D 4

24,

27 9 16

从而

27 9 16

a

D1 D

1

， b

D 2 D

3 ， c

D3 D

0

， d

D 4

2 .

D

12

第二章矩阵

学习要求

1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；

2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律

. 了解方阵的行列式、方阵的

幂与方阵的多项式的性质；

3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。理解伴随矩阵的概念，掌握通过伴随矩阵求可逆矩阵的方法；

4. 知道分块矩阵的概念及其运算规律；

5. 了解矩阵等价的概念， 掌握矩阵的初等变换， 并能用初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵、行

最简形矩阵和标准形． 掌握用初等变换求逆矩阵和矩阵方程． 理解初等矩阵的定义及其理 论 ;

6. 理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的相关性质，并能用初等变换求矩阵的秩;

§2.1 矩阵的概念

2． 图 2.1 表示了 b 省三个城市 b1、 b2、 b3 和 c 省三个城市

c1、 c2、 c3 相互间高等级道路的通路情况 . 试用矩阵表示 b

省和 c 省之间的通路情况 .

解

图 2.1 中两省的城市相互间的通路情况可以用矩阵表示，规定矩阵元素

a

1，城市 i与城市 j 之间有通路

ij

0，城市 i与城市 j之间没有通路

由上规定，

b 省和 c 省之间的城市通路情况可用下列形式表示：

c1 c2 1 0 1

1 1 0

c3 0 1 1

13

b1 b2

1

，记为矩阵A 0

1 0 0 1

1 1 .

1

b3

补充练习

1. 图 2.2 表示某物质在四个单位之间的转移路线

. 设

a

1，物质在单位 i和单位 j之间有转移

ij

1

2

0，物质在单位 i 和单位 j 之间没有转移

试用矩阵表示该物质在这四个单位之间的转移路线

.

解

图 2.2 中物质在四个单位间的转移情况可用一个

4 4 矩阵表示：

0 0 1 1

3

A

1 1 0 0 1 0 0 1

0 1 0 0

图 2.2

4

.

y1 y2 yn

x1

2． 若有线性变换

x2

xn

，试写出该线性变换的矩阵 .

解

该线性替换的矩阵为

n 阶单位矩阵：

1

1

En

1

3．某一城市在 2000 年的城市和郊区人口数量分别为

.

r0 和 s0 ，一年后约有 5%的城市人

98%留在郊区） .假设

口移居郊区（其他

95%留在城市），而 2%的郊区人口移居城市（其他

2001 年的城市和郊区人口数量分别为 区人口分配情况，并写出相应的移民矩阵

r1 和 s1 ，请用线性方程组表示 2001 年该市的城市和郊

.

解 根据题意，可写出下列方程组

r1 r0 0.95 s0 0.02 s1 r0 0.05 s0 0.98

该方程组的系数即构成了移民矩阵，即

由： 城市

郊区 移至：

0.95 0.05

0.02 0.98

城市 郊区

记为

14

M

0.95 0.02 0.05 0.98

.

§2.2 矩阵的运算

1 3 2 2 0 1 1.设 A

0 1 5 ， B 1 1 3，计算A

2B和5A

3B .

6

2 4

5

0 5

解

1 3 2 2 0 1 1 3 2 4 0 2 A 2B

0 1 5 2 1

1 3 0 1 5 2 2 6

6 2 4 5

0 5

6

2 4

10

0

10

3 3 0 2 3 1 4

2 6

1

3 2 2 0 1 5 15

10 6 0 3 5A 3B

5 0

1 5 3 1 1 3 0

5

25 3 3 9

6

2 4

5

0 5

30 10 20

15

0 15

1 1 1 5 1 3

3 2

3 4

4 5

1 0

3 5

2、计算

1 1 1 1 1 3 （4）

2

1 0 2 1 2 1

0 1

3 3

1

2 3 3 3

1 1 (1)21111(1)1 1

(2) 1 3 ( 1)213

2 1 1 2 0 1 21110( 2) 2 31203

1 1 0211 11011 ( 2)

1 3 0 2 1 3

0 2 4 4

3

8 2

1

6

15

（ 5）

0 1 5

2 3

1 6

3 4 1 1

3 2

2 6 0

0 1 1(3)5(1) 061451 2 1 6(3)0(1) 2601

A B

k31 k32

8

9 16 36

5.设矩阵 M 为某公司在第一季度生产的四种产品 A 、 B 、 C 、 D 的产量表：C D

30 20 50 20 一月

M60

40 30 10 二月 ，

10 20

18 25 三月

矩阵 N 为这四种产品的生产成本的各种费用：

原材料

人工 杂费

2000 300 150 A

N3000 280 180 B

，

5000 250 120 C 4000

200 140 D

求该公司第一季度各月生产这四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费

.

解

记该公司第一季度各月所需费用为矩阵K

原材料 人工 杂费

k

11

k

12

k13 一月

K

k21 k22 k23 二月

k33三月

那么

k1 j ( j 1, 2 , 3是)一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费 k2 j ( j 1 , 2 , 3是)二月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费 k3 j ( j

1 , 2 , 3是)三月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费

根据矩阵乘法定义，有

30 20 50 202000 300

150

K

MN

60 40 30 103000 280

180

10 20 18 255000 250

120

4000 200 140

16

450000 430000 270000

31100 16900 38700 21200 . 18100 10760

所以

二月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为 三月份所需的原材料费用、人工费用和杂费各为

一月份生产四种产品所需的原材料费用、人工费用和杂费各为 450000、 31100 和 16900；

430000、 38700 和 21200； 270000、 18100 和 10760.

补充练习

a 1 0

2.设A0 a 1 ，计算 An .

0 0 a

解

本题的求解方法是：先根据方阵的幂的定义，具体计算 A2 ，中找出 An 的规律 . 找到规律后，用数学归纳法证明该规律.

a 1 0

a 1 0 a2 2a 1 A2

AA 0

a 1 0 a 1

0 a2 2a

0 0 a 0 0 a

0

0

a2

a2 2a 1

a 1 0 a3 3a2 3a A3

A2A 0 a2 2a

0 a 1 0 a3 3a2

0 0 a2 0 0 a

0

0

a3

a3 3a2

3a a 1 0 a 4 4a3 6a2 A4

A3 A 0 a3

3a2 0 a 1

0 a4 4a3 0 0 a3 0 0 a

0

0

a4

a4

4a3 6a2 a 1 0

a5 5a4 10a3 A5

A4A 0

a4 4a3 0 a 1 0 a5 5a4 0

0

a4

0 0 a

0

0

a5

⋯⋯

由以上 A 的各次幂的计算结果可推断

an na n 1

n(n 1) a n 2

2

An

An 1A 0

an nan 1

0

0

an

17

3 ， A4

A ，⋯，并从

a 1 0

以下用数学归纳法证明

A 的幂的规律：当 n

1时， A1

0 a 1 显然成立； 0 0 a

a k kak 1

k(k 1) ak 2

2

设当 n

k 时， Ak

0 ak na k 1 成立，

0

0

a k

于是则有

a k ka k 1

k( k 1) ak

2

2

a 当 n

k 1时， Ak 1

Ak A 0

a k kak 1

0

0

0

ak

0 a k 1 (k 1)ak k (k 1) ak 1

2 0

a k 1

(k 1)ak

0

0

a k 1

故由归纳法得

an

na n 1 n( n 1) an 2

2

An

0 an na n 1 成立 .

0

0

an

3.计算

T

（3）2 0 11 6

1 3 241

2 0

此题有两种求解法：方法一：先求矩阵乘积再转置

. 故有

T

2T

0 11 6

12

0 140 1

3 2

17

9

12

2 0

方法二：利用矩阵转置运算规律

( AB)T BT AT .故有

18

1 0

a 1

0 a

9

17

2

0

1

1 6

T

1 6

T

2 0

1

T

1 3 2

4 1

2 0

4 1

1 3

2 0

1 6

4 2 1 0

2

T

2 1 0 3 1 2

0 17 12

9

3

4.设 A

1 1

,

1

B

3 2

0 1 3 2

T

2 2

， C

，求 ABC .

T T

解

此题有两种求解方法：方法一：

T

T

ABC

T

(AB)C

T

CT

ABCT BT AT

ABC

0 1 3 2 1 2 3 2 3 2

1 1

0

3 1 3

2 2

3 2 1 1

9 7

6 2

3 1

2 1

1 2 33 12 23 12

T

T

方法二：先求矩阵乘积，再作转置

T

. ABC

T

3 2

1 1 1 2

3 2

0 1 3 2

1 11 0 3 2

1

33 23 12 12

33 23 A A 1

T

12

4 4

5.

12

E

，

A a1,a2 , , an

BE2AA

为 n 阶单位阵，

T

T ，

设列矩阵

T

，满足

T

证明（ 1）矩阵 B 是对称阵；（ 2） BBT

证明 （1） BT

T

E .

E 2AAT

ET

2 AAT

E 2AT

AT

E 2AAT

B

根据对称阵的定义，所以矩阵 （ 2）方法一：

B 是对称阵

BBT B2 (E 2AAT )2 (E 2AAT )( E 2AAT )

(E 2AAT )E (E 2AAT)2AAT

E 2AAT 2 AAT 2 AAT 2 AAT

E

4AAT

4A( AT A) AT .

19

由已知 AT A

1，所以

BBT E 4AAT 4AAT

E

方法二： 由于矩阵乘积 AAT 是一个 n 阶方阵， 而任一 n 阶方阵与 n 阶单位阵 E 是可交

换的

即 (AAT)E

E( AAT ) ，所以

2

BB

T

B( E 2AA )

T2

E

2

2E 2 AA

T

2 AA

T

2

E 4AAT (2 AAT )(2 AAT ) E 4AAT 4A( AT A) AT 1 ，所以

BBT

由已知 AT A

E 4AAT 4AAT

E

§2.3 可逆矩阵

4

1 的逆矩阵 .

1

1.求矩阵A3

0 2

0

1 3

故

解 因为

A50,

A 可逆 又由于

.

M

11

2 1 1 3

8 ,

617,M12

3 1 0 3

2. 所以， 4，

9 ,M13

3,M21 4,M22 3 ,M 23 1 ,M31

M

32

11 ,M33

M 21

A11 ( 1)1 1M 11 7，A12 ( 1)1 2M12

9， A13 M 13 3； A21

A

22

M

22

3， A23

M 23

A

AAA11 21 31 AAA12

22

1， A31

M

31

8， A32 7 9 3

4

M

8

32

11， A33

M

33

2 .

23

3 11 1

2

A

13

A23

A

33

7 5 9

5 3 5

4 5 3 5 1 5

8 5

11 .

A11A

A

1 5

7 9 3

4 8 3 11 3

2

5 2 5

2. 设方阵 A 满足 A2

A

3E 0，证明 A 2E 可逆，并求可逆矩阵 .

20

2x1 x2

（ 1）

3x1 4x2

证 A2

A 3E A 2E A 3E 6E 3E 0 A2EA3E3E

即 A

E

1 A E E

可逆，

1

1

2

3

. A 2E A 2E

3

A E .

3. 求解下列矩阵方程的 X ：

（ 1）设矩阵 A2 1 3

,B2

, AX

B ；

3 2

1 0

2 ,B2 1 ,C3 2

,AXBC . (2) A1

1 3

3

2

1 5

解（1）

A 1 0， A可逆 . 又 M11 2, M12 3,M 21

1, M 22 2 ,

A

11

A21

M

11

M 21

A

2 1

1

1

21

，即 A

A *

A

12 A22

M

12 M 22

3 2

A

3 2

X A1B

2 1 2 3 5 6 .

3 2 1 0

8 9

(2)

A 1 0，A可逆 因为 A*

A11 A21 M 11

M 21 3

2

A12 A22

M 12

M 22

1 1

A 11 A2

3 .又 B

1 0， B可逆

A

1

1

由于 B

*

B11

B

21

2 1 B 1 1 B

2 1

B

12 B

22

3 2 B 3 2 X2 3 2 2 1

34 19

A1CB

1

3

1 1

1 5

3 2

17

10

5.用逆矩阵方法求解下列方程

2x3 3,

x1 2x2 x3 4,

x3 2;

解

方程可写为：

2 1 2 x1 3 1

2 1 x2

4 3

4

1

x3

2

21

2

设 A 1

1 2 4

2

1A28 0, 所以 A可逆.

1

3

又 M11

2 4

1 1

2 4 2,M12

1 3

1 1

4,M13

10,M 21 9 ,

M

22

4,M 23

A

AAA11 21 31 AAA

12

22

23

11, M 31 5,M32

M 11 MM 13

12

M 21 M

22

4,M33 3

M 31 MM

33

2 4

7

1

9 4 11

5 4 3

32

A

13

A

2 3

A

33

M

23

10

x1 x2 x3

3

A 1 4

2

1

28

9 4 11

5 3 4 4 3

13754 10

2

2 57

x1

137

, x2

5 , x3

5 . 7

1 ,求 2A*

4

7

6. 设 A 是三阶矩阵， A

3A 1

解

A

1 4

0, A可逆. 又因为 A*

A A E,故A* A A.

1

2

* 2A 3A 1 2 A A

1

3A

1

A 1 3A 1

5 2

3

A

1

5 2

3

A

1

125 2

.

4

7. 设 A

diag( 1,2, 1),A* BA BA 4E , 求 B .

1

解

A

2

0

A可逆，且 A 1

1 2

.又A*A

A E ,

1

所以可得 A* 由A*BA BA

1 2A.

4E得 A* E BA

3

4E 以及( 2A1

E) BA

4E .

又

2 A 1 E

2

1

6

0 . 则

2 A 1 E 可逆且

22

2 A

1

E

1

1 3

1

.

2

1

B (2A1 E) 1( 4E)A 1 4( 2A1 E)1A1

1 3

4

1 2

1

1

4

1 2

1

3

1

4

.

补充练习

,AB A B，求B E1

1 2 0

1.设矩阵A2

0 1

.

1 1 2

0 2 1

2 1

0 1

解

方法 1： AB A B得(A E)B

A .而A E

1 1 ,

1

1

1 0 1

1

A E 2 0,故 A E可逆，且 (A E)

1

2 3 2

0

2

1 1 2 3 2

1 1

2 3

1 0

1 1 2 0 0 2 0 1

2 1 2 3 2

1 1

1 0 . 3

所以B (A E)1A

1

2

1 1

2

1

1 0

1

0 ，又B E

B E

1

2

,故可知 B

E 可逆，且

2

1

2

23

0 2 0 (B E)1

2 1 1 .

1

1 1

方法 2： AB

A B

AB A B AB

A E B

E 则得到

A(B E) E

B

E

可得

( A E)( B E)

E

因为 (A E)(B E) E, A E

0,E 0,所以 B E

0,B E可逆

将（ 1）式两边同时右乘 ( B

E) 1 ，

得到A E E(B E)1

(B E) 1，

0 2 0 进而

B E 1

A E

2 1 1 .

1

1

1

2. 已知 A 的伴随矩阵为

11 0 0 0

A*

1 0 0 0 1 2 0

2

0 0 4

且ABA1

BA 1

2E ,求矩阵 B

解

首先由 A* 来确定 A

（由A1

1 A * A*

A A 1

A*A AA 1A A*A AE

A

4

3

A*A AA*A A

A*

A

)

3

可知AA* 8,故 A 2 ,

由 ABA1

BA 1 2E，可得: A E BA 1

2E

A EB 2A.

求解该矩阵方程有两种方法：

方法 1：先求出 A . 由 AA*

A E ,可知，

24

（ 1）

1 0 0 0

2 0

1 0 0 0

-1

A AEA*1

1

*

2 A

2 1

1 10 0

0

2 1 1

21100

2

0 1 2 0 2 2

2

2 0

0 4

10

0

1

1

0

2

4

3 0 0 0

2 3 0 0

A E

1

1 2 0 ，A E 27

0 A

E 可逆

3

1

0

0

2

1

0

0

0

3

29 1

1

3

0

0

A E

1 1

1

0.

18 6

2

2 2

9

0

0

3

1

0 0

0

4

3

3 0

0

0

0 0 0

2

1

2

2

4

4

2 0

0

0

1

9

0 B 2(A E)

30

0

A 2

1 1 1

0

9 3

1 1 1

1

1 1

0

18 6 2

1

0

0

29

1

0

3

2

2

4

2

9 0 0

0

3

90

3

方法 2：

，得 A 1(A

E)B

A 1 2 A

1

（A E）B 2A

即 (E A

)B 2E.

3

0

0 0

2

因 A 1

* * . 得 E1 1 A 1A

1 A* 2 23 0 0

A

2

2

01

2

0

2

1

0 0 3

故 E

A 1

E

1 A* 27 0，所以 E

1 A* 可逆，

2

2

2

25

0 0 0 0

01

2

.

2

0

30

0

1

2

因此

( E

1

A*

) 1

( E

1 *

A

) *

920

3

0

2

E 1 A*

2

1 1 1 0 2

18

6 2

2

90

01

3

4

30 0 0

4 4

由此可得

B

2( E

1 A* )

1

9

3 0 0

2

1 1 1 0 9 3

4 2

90 0

3

§2.4 分块矩阵

1

0 0 0 0 2 1 0 1. A01 0 0

, B2 1 0 1

，求 AB

1 3 1 0 1 2 2 1 1

2 0 1

2

1 3 1

1 0 0 0

解 把 A,B 按以下方式分块为 A0 1

0 0

E

O

1A, 其中

3 1 0 21

E

1

2 0 1

E1 0 3

， A

1 21

， O0 0

.又设

0 1

1

2

0 0

0

2

1 0

B2 1 0 1 B11

E

, 其中 B 110 2 1

, B21

1 2 2 1 B21 B22

2 1

2

2

1 3 1

B

2 1

1 0

22

, E

.

3 1

0 1

26

,

21

则 AB

EOB11

A21

E B21

E B22

B

0 5 2

2 3

1 3 5 2

0 2101

4 1

.

11

E A21

A21B11

B21

B22

2 0 0 2

2. 设矩阵 A

3 2 1

0 0 0 0 1 0 1 1 0

34

，求 A和 A .

0 0

3 0

解 令 A

3

2100

0

0

A

11

0

,其中 A11

2 3 2 1

, A22

1 0 1 1

.

0010 1 1

0 A22

所以 A

A113

O

A223

3 .又 A11

22 3

3 , A22

1 0 3

.

O

3

2

3

23

0

0 0

1

22 2 0 0

所以 A3

4

A11 O

11

O

A223

23 0 0 0

22

，

4 22

1 3

4

0 1

11

A

A

O

4

4

A

4

3. 设矩阵 A

O

1 2 0 0 1

AAA11 AA

1

22

84 14

84 .

.

3 1 0 0 3

0 0 0 0 1 2 3 2

，求 A和A

解 令 A

0 0 2100

A11 O

,其中 A11

1 3 2

, A22

1 2 3 2

.根据分

0 0

0012 3 2

O A22

1

块矩阵的性质，可得：

A

AA11

1

22

3 1 2 1 3 2 1

3

2

7

4

28 .

1

1

1 1

又 A 1

11

1 3 2 1

， A221 7 7

2 1

1 2

3 2

2 2 . 3 1 4

4

7 7

27

1 7 2 7

3 7 1 7 0

0

0 0 1 2 1 4

A

1A111

O

O

0 1 2 3 4

.

A221

0

0

0

§2.5 矩阵的初等变换

1 3 1

r2 (

3) r1

1 2 3 0 2 2

2. 请用矩阵初等变换把

2 1 4 化为标准形矩阵 .

r2

解

1

1 2 3

1

1

2

3 5 1

r3

1

1

2

3

3 1

2 0

1 4 2 2

r3 ( 1) r1

0 5 0 1

5 0

r3 ( 5) r2

0 0

1 0

0 5

1

0

( 1 )r

5

3

1022

c 3 ( 2) c1

c4 ( 2) c1

1000

r1 r2

0 1 0

1 0

4 7

c 4 c2

0 1 0 0 0 0 1 0

0 0 1

1 3

3 2 2 1

2 3

3. A

5 11

,请用行初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形矩阵

.

解

r2

( 3) r1

1

3

2 4

1

3

2

4 1 1

1

3

2

4 1 0

A

3 2

1

2 1

5 11 3

1 0

r3 2r1

0 0

7 7

1 1

r3

r2

0 0

7 0

1 0

7

( 7 )r2 r1

11/ 7 25/ 7 1 / 7 0

( 3) r2

0 1 1/ 7 0

0 0

6. 用初等变换求下列矩阵的逆矩阵

1 0

(1) A

1

1 1 0;

2

0 1

28

1 1 0

0 1

1 2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

r2 r1

1

(

1)

0 1 1

1 1 2

1 0

0 0 0 1

解 A E

1 0

0

1 1 0

0

r3 r2

1 0 0

r

0 1 0

1 1 1

1 0 0

r2 r3 r1 ( 1) r 3

1 r2

1 0 0 0 1 0

2 2 1

1 1 2 1 1

1

1 1 0 1 1 1

0 0 1

2

EA可逆且A1

2 1 1 0 1 1 1 2

1 1 1 0 3

1 1

A

2 1

1 0 X2 0

1 . 2

7. 试用初等变换求矩阵方程

1 0 1 1 1 0 , B 1 2 3

1 0 2 1 0 2

解 记 A

1 0 1 A 1 1 0

1 2 3

在矩阵方程 AX

4

0

A 可逆

B 两边同时左乘

1 0 2 1 0 2 1

A1，得到的解是 X A 1B．

r2 ( 1) r1 r3 ( 1) r1

1 0 1

(AB) 1 1 0

1 2 3

r3 ( 2) r2 ( 1/4) r3

1 0 0 1

1 1 2

1 0 3 1 1 2

1/ 4

0 2

1 0

1

0 1

r2 r3 r1 ( 1)r3

1 0 0

0

0 1 0 0

1 1

3 0 1 0 0 0 1

7 / 4 1

5/4 0

5/4 0

r

1/ 4 0

EA可逆且X A1B7/4 1

5 / 4 0

3 0 1

A

9. 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB

A 2B，其中 A 1 1 0 ，求矩阵 B .

0 1 4

29

1 0 1

1 2

解由 AB

A 2B ,有 (A 2E)B

A.因为, A 2E 1

0

1 0

1 0,所以

B ( A

2E)1 A. 下面用初等变换求出矩阵

1 1

B .

0 1 A 2EA

1 0

3 0 1 1 1 0

r2 ( 1) r1

1 0 1 0 1 1

3 0 1

2 1 1

1 r3 r2

0 0

A 2E

0

1

2

0

1 4

0

0 1 30 r2 r3 1 r1 ( 1) r3

1 0 1 1

2 1

1 1r2

0 1

0

1

2

2

3

0 0

r

E

A

2E可逆，且B

( A 2E) 1A

30

1

2

0

1 0 5 2 2 0 4

3 2

1

2 2

3

5 2 2 4 3 2

2

2

3

4