第二章 矿山岩体的原岩应力及其重新分布

第一节 岩体中的原岩应力

地壳中没有受到人类工程活动（如矿井中开掘巷道等）影响的岩体称为原岩体，简称原岩。

存在于地层中未受工程扰动的天然应力称为原岩应力，也称为岩体初始应力、绝对应力或地应力。

天然存在于原岩内而与人为因素无关的应力场称为原岩应力场。 一、自重应力

设岩体为半无限体，地面为水平面，在距地表深度为H处，任意取一单元体（图2-1），其上作用的应力为σz，σy，σx，形成岩体单元的自重应力状态。

图2-1 岩体单元体所在位置及其应力状态

单元体上所受的垂直应力σz等于单元体上覆岩层的重量，

zH （2-1）

式中 γ——上覆岩层的平均重力密度（Kn/m3）；

H ——单元体距离地表的深度（m）。 在均匀岩体内，岩体的自重应力状态为

(2-2)

式中λ为常数，称为侧压系数。在岩体自重应力场内，垂直应力σz和水平应力σx、σy都是主应力。

假设岩体为各向同性的弹性体，据广义虎克定律，单元体各方向的应变为

zHxyzxy01zxyE1xxyzE1yyxzE （2-3）

z由于εx=0，εy=0，σx=σy，σz与σx、σy之间的关系为

xy1z1H （2-4）



1 （2-5）

岩体初始应力状态的静水压力理论认为，在埋藏较深条件下，垂直压应力相当大，岩石呈现明显的塑性。泊松比μ近似等于0.5，侧压系数λ为1.0，此时

（2-6）

深部的岩体自重应力场达到静水应力状态。 二、构造应力

构造应力是由于地壳构造运动在岩体中引起的应力，岩体构造应力可以分为现代构造应力和地质构造残余应力。 ① 一般情况下地壳运动以水平运动为主，构造应力主要是水平应力；

② 构造应力分布不均匀，在地质构造变化比较剧烈的地区，最大主应力的大小和方向往往有很大变化。 ② 构造应力具有明显方向性，最大水平主应力和最小水平主应力之值一般相差较大。

zxyH图2-2 由地质特征推断构造应力方向（a）～（e）均为平面图 图2-3 世界各国垂直应力σv与深度H变化规律图

三、原岩应力分布的基本规律

(1) 实测垂直应力基本上等于上覆岩层重量

对全世界有关实测垂直应力的统计资料表明，在深度为25～2700m范围内，垂直应力σv呈线性增长，大致相当于按平均容重γ等于27kN/m3计算出来的重力γH，如图2-3所示。在绝大多数测点都发现确有一个主应力接近垂直方向，其偏差不大于200。 (2) 水平应力普遍大于垂直应力

根据国内外实测资料统计，水平应力σh多数大于垂直应力σv，最大水平应力σh,max

与垂直应力σv的比值，一般为0.5～5.5，很多情况下比值大于2，最大可达到30，最大水平主应力和最小水平主应力的平均值σh,av与σv相比，一般仍为0.5～5.5，大部分在0.8～1.5之间。这说明在浅层地壳中平均水平地应力也普遍大于垂直应力，垂直应力在多数情况下为最小主应力，在少数情况下为中间主应力。

(3) 平均水平应力与垂直应力的比值随深度增加而减小

平均水平应力σh,av与垂直应力σv的比值λ是表征地区原岩应力场特征的指标，该值随深度增加而减小。但在不同地区，变化的速度不相同。霍克和布朗用回归出下列公式，表示比值的变化范围：

h,av15001000.30.5HvH (2-7)

式中H为深度，单位为m。

(4) 水平应力具有很强的方向性

最大水平主应力和最小水平主应力一般数值相差较大，最小水平主应力和最大水平主应力之比σh,min/σh,max一般为0.2～0.8，多数情况下为0.4～0.8。

我国部分矿井原岩应力的实测值见表2-1。

表2-1 部分矿井原岩应力实测结果 矿名 深度/m 主应力 σ鹤壁六矿 447.66 σσσ焦作九里山矿 318.70 σσσ涟邵牛马司矿 556.57 σσσ北票冠山矿 9.05 σσσ新汶孙村矿 870 σσ1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 应力值/MPa 32.50 22.16 4.07 8.85 5.70 1.06 21.78 17.43 1.86 52.96 30.85 13.23 38.13 28.35 1.61 方位角/0 258.07 101.54 349.21 357.59 192.08 101.12 87.99 282.23 170.46 34.79 148.24 299.77 100.1 79.2 14.8 倾角/0 12.35 75.56 5.19 74.80 14.53 8.9 18.56 70. 4.38 11.25 63.45 23.71 24.2 61.5 14.1 τmax/MPa 14.22 3.90 9.96 19.86 第二节 岩体中的弹性变形能

岩体受外力作用而产生弹性变形时，在岩体内部所储存的能量，称为弹性应变能。 一、单向应力条件

单元体在单向应力状态下（图2-4a），设单元体各边长分别为dx，dy，dz。在x面上作用的力为σxdydy（对单元体而言看作外力），沿x方向的伸长为εxdx（图2-4b）。当应力有一增量时，相应的变形增量为dεxdx，在单元体上力所作的功为（σxdydz）（dεxdx）。应力由零逐渐增加至最终值，应力在单元体上所作的功可用下式表示：

dWxdydzdxdxxdxdV（2-8）

单元体的应变能dVε在数值上等于力所作的功

(2-9)

单位体积的应变能称为应变能密度,记作

dVsdWxdxdVv (2-10) 对于线弹性体，其应力与应变成正比，

dVxdxdVxEx

2x112vExdxExx22E2 (2-11)

图2-4 单元体在单向应力作用下变形状态 图2-5 单元体在三向应力作用下体积变化

二、空间应力状态

vV3122121232m2E6E （2-12）

单元体的畸变能密度vd等于总的应变能密度vε与体积应变能密度vV之差。

vdvvV （2-13） 三、岩体中的弹性变形能

在自重应力场中，对于深度为H的开采条件，岩体所受到的应力为

11222326E1H

23H1

UV单位体积岩体体积改变能为

Ud单位体积岩体畸变能为

考虑构造应力影响，在原岩应力场中，对于深度为H的开采条件，一般情况下岩体所受到的应力为

212122H26E1 （2-14）

211222H23E1 （2-15）

式中 λ—平均水平主应力与垂直应力的比值。

单位体积岩体体积改变能为

2H

13222H

UV2121222H6E （2-16）

第三节 “孔”周围的应力分布

一、双向等压应力场内的圆形孔

（一） 基本假设 围岩为均质，各向同性，线弹性，无蠕变或粘性行为；原岩应力为各向等压（静水压力）状态；巷道断面为圆形，在无限长的巷道长度里，围岩的性质一致。并且埋深H大于或等于20倍的巷道半径R0（或其宽、高）。即有

H20R0 （2-17）

研究表明，当埋深H≥20R0时，忽略巷道影响范围（3～5倍的R0）内的岩石自重（图2-6），与原问题的误差不超过10%。于是，水平原岩应力可以简化为均布的。这样，原问题就构成荷载与结构都是轴对称的平面应变圆孔问题（图2-7）。

图2-6 深埋巷道的力学特点 图2-7 轴对称圆巷的条件

（二） 计算结果

rH(1r)2r12 (2-18) (2-19)

tH(1r12r2)

式中 r1——孔的半径。 主要结论：

① 在双向等压应力场中，圆孔周边全处于压缩应力状态。 ② 应力大小与弹性常数E、μ无关。

③ σt、σr的分布和角度无关，皆为主应力，即切向和径向平面均为主平面。

④ 双向等压应力场中孔周边的切向应力为最大应力，其最大应力集中系K=2，且与孔径的大小无关。当σt=2γH超过孔周边围岩的弹性限时，围岩将进入塑性状态。

⑤ 其它各点的应力大小则与孔径有关。若定义以σt高于1.05σ1或σr低于0.95σ1为巷道影

15，工程上有时以10％作为影响半径，则响圈的边界，则σt的影响半径iσt的影响半径Ri≈3r1。有限元计算常取5r1的范围作为计算域。

⑥ 由公式（2-32）和（2-33）可知，在双向等压应力场中圆孔周围任意点的切向应力σt与径向应力σr之和为常数，且等于2σ1。

二、双向不等压应力场内的圆形孔

R20r（一） 双向不等压应力场内的圆形孔应力解

根据弹性理论，双向应力无限板内圆形孔的应力解为：

rH2(1)(1r2)r122r12H2(1)(14r23r4)cos2r144r12r14 (2-20)

HtH(1)(1)22(1)(13r)cos2r （2-21）

（二）讨论

(1) 若取极限情况λ=0，则有

rrrHrH(1)(143)cos22rrr212212414 （2-22）

tH2(1r2)r12H2(13r4)cos2r14 （2-23）

当0时，圆孔的顶.底部出现了拉应力区；在圆孔两侧的最大应力集中系数值达到3。

(2) 只考虑自重情况下原岩应力状态的侧向应力系数在0与1之间，即0≤λ≤1。考虑λ=0；

0000

1/7；1/2；1在θ=0；90；180；270时的应力分布，圆孔两侧的切向应力集中系数处于2～3之间。

(3) λ=1/3可得切向应力

212t为

1414rrt2(1)(13)cos2313rr取θ=90、θ=270，则周边出现

00

t=0，即此时圆孔顶与底部不会出现拉应力。

圆巷道

图2-8 λ=0，1/7，1/2，1时，圆孔周围应力分布 图2-9 深埋椭

由上述讨论可见，>1/3,周边不出现拉应力；<1/3时，将出现拉应力；1/3，

0

圆孔顶部与低部不出现拉应力。λ=0时，θ=90处，拉应力最大。所以，λ=0为最不利情况。1为均匀受压的最有利于稳定情况。 三、椭圆形孔周边的应力分布

在一般原岩应力状态（图2-9）下，深埋椭圆巷道周边切向应力计算公式为

m2sin22msin2cos2cos22mcos2m2sin2p0p0222cosmsincos2m2sin2 （2-24）

(1) 等应力轴比（理查兹（R.Richards）,1978）

由

d0d

得

 （2-25）

＝p0p0 （2-26）

m11 时，m1，ab，最佳断面为圆形（圆是椭圆的特例）；

12 时，m2，2ab，最佳断面为2ab的竖椭圆。

1m2时，2，a2b，最佳断面为a2b的横（卧）椭圆。

 (2) 应力（无拉应力）轴比。

孔两侧的最大切向应力将随孔的几何尺寸发生变化，其切向应力集中系数：当1ab，当0时,k时,。显然，孔越扁，则应力集中系数越大。例如b=2:1 ，则

k4~5 同理，分析 θ=π/2、θ=3π/2时的t情况。可知在0时，t1即形成拉

k2a2abbt2ba11应力。当时，。

将不同侧压系数和不同轴长比的椭圆形孔周边切向应力集中系数列于表2-2。

表2-2 椭圆形孔周边切向应力集中系数 a/b θ 0 1/2 1/1.5 1/1 1.5/1 2/1 1.00 4.00 1.75 0.25 2.00 -1.00 1.33 3.00 2.08 0 2.33 -1.00 2.00 2.00 2.75 -0.25 3.00 -1.00 3.00 1.33 3.75 -0.42 4.00 -1.00 4.00 1.00 4.75 -0.50 5.00 -1.00 1 90 0 0.25 90 0 0 90 四、矩形孔和其它形状巷道周边的应力分布

表2-3 矩形巷道周边切向应力部分计算结果表 a:b=5 λp0 1.192 1.158 2.692 P0 -0.940 -0.4 7.030 a:b=3.2 λp0 1.342 2.392 P0 -0.98 -0.193 6.201 a:b=1.8 λp0 1.200 3.352 2.763 -0.599 P0 -0.801 0.821 2.747 5.260 a:b=1(正方形) 附图 λp0 1.472 3.000 0.980 P0 -0.808 3.000 3.860 00 4550650 0 0 900 -0.678 2.420 -0.770 2.152 -0.334 2.030 -0.808 1.472 注：表格内的数字分别表示λp0 、P0对该点的应力集中影响系数。 五、存在多个孔时，孔周围的应力分布

(1) 断面相同的相邻两个孔的应力分布

以双向等压应力场中的圆形孔为例，若相邻两孔的间距>2Ri，则此两孔就不会产生相互影响，巷道周边的应力分布也将和单一孔的情况基本相同。在这种情况下，即使存在多条巷道，它们之间相互也不产生影响。 (2) 大小不等的相邻两孔的应力分布

图2-10所示为不等径相邻两孔的切向应力分布图。从图中可以看出，小孔周边的切向应力集中系数高达4.26，而大孔周边的应力集中系数仅为2.75。这说明大孔对小孔的应力分布影响较大，而小孔对大孔的影响则甚微。这个特点对于研究回采工作面与邻近巷道的相互

影响很有参考价值。

(3) 在同一水平多孔相互影响条件下的应力分布

图2-11所示为λ=0条件下，同一水平多孔的相互影响。由图可以看出，孔周边的应力集中系数是随D／B值的增大而增大的(D为孔径，B为孔周边的间距)。另一方面又受同一水平上孔的数目影响。显然，孔的数目愈多，孔周边的应力集中系数也愈大。

图2-10 不等径相邻两孔的切向应力分布图 图2-11 多孔对应力集中系数的影响

六、回采空间周围应力重新分布

西德埃森采矿研究中心对回采空间周围应力分布进行了模拟研究作出应力分布图(图2-12)。图中表明，两个空间相衔接的拐角处应力值最高。图2-13为这种空间周边切向应力分布的实例。开采深度为1000m，原岩垂直应力为σz=25MPa。综上所述，在假设孔周围都处于弹性状态的条件下，应力重新分布有以下一些特点：

(1) 孔周围形成了切向应力集中，最大切向应力发生在孔周边。对圆形和椭圆形孔，最大切向应力发生在孔两帮中点和顶底的中部。对矩形孔，则最大切向应力发生在四角处。

(2) 应力集中系数的大小，对单一孔来说，圆形孔仅与侧压系数有关，其值k=2～3。对椭圆形孔，则不仅与有关，还与孔的轴长比有关，一般当a/b=2，λ=0～1时，k=4～5。对多孔来说，k值升高是由于单孔应力分布迭加作用的结果，其值视孔的大小和间距以及原岩应力场的侧压系数值而定。如图2-21所示，在前后两个回采空间的影响条件下，中间巷道所在地点的应力集中系数可达7，有时可能更大。

(3) 不论何种形状的孔，它周围的应力重新分布(主要是指切向应力分布)从理论上说影响是无限的,但从影响的剧烈程度来看多都有一定的影响半径。通常，可取切向应力值超过原岩垂直应力5％处作为边界线。

(4)孔的影响范围与孔的断面大小有关。

图2-12 两相邻回采空间周围的应力分布示意图 图2-13 两相邻回采空间周边应力分布计算

实例

第四节 围岩的极限平衡与支承压力分布

在岩体内开掘巷道后,巷道围岩必然出现应力重新分布，一般将巷道两侧改变后的切向应力增高部分称为支承压力。由前面分析，可近似地认为，一般巷道两侧的应力集中系数为2～3。对于b/a=1/2的椭圆形孔，则可能达4～5，甚至更大。这样，在巷道两侧周边的围岩上就将承受(2～3)σ1或(4～5)σ1的垂直压应力。由于处于周边的岩块侧向应力为零，为单向压缩状态。随着向深部发展，岩块逐渐变为三向应力状态。若巷道两侧是松软岩层，如煤，页岩等，则在此压力下就可能处于破坏状态。随着向岩体内部发展，岩块的抗压强度逐渐增加，直到某一半径R处岩块又处于弹性状态。这样，半径R范围内的岩体就处于极限平衡状态，即此范围内岩块所处的应力圆与其强度包络线相切。这个范围称为极限平衡区。

为了进一步了解支承压力的性质，常将回采工作面前方或巷道两侧的切向应力分布，按大小进行分区，如图2－14所示。根据切向应力的大小，可分为减压区和增压区。比原岩应力小的压力区是减压区，比原岩应力高的压力区是增压区。增压区即是通常说的支承压力区。支承压力区的边界一般可以取高于原岩应力的5％处作为分界处。再向内部发展即处于稳压状态的原岩应力区。另一种分类方法是将其分为极限平衡区和弹性区。

图2－14 支承压力的分区

A— 减压区；B—增压区；C—稳压区；D—极限平衡区；E—弹性区