人教版高中数学必修5导学案 1.1.2余弦定理(1)

1.1.2 余弦定理(1)

【学习目标】

1. 掌握余弦定理的两种表示形式； 2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 【重点难点】

1．重点:余弦定理的证明及其应用. 2．难点:理解余弦定理的作用及其适用范围. 【学习过程】 一、自主学习：

问题:在三角形中,已知两角及一边,或已知两边和其中一边的对角,可以利用正弦定理求其他的边和角.那么,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边呢?已知三条边,又怎么求出它的三个角呢?

余弦定理：a=____________

2求角公式：cosA____________

b2= ____________

cosB____________

c2=_____________ cosC____________

二、合作探究归纳展示 探究新知

问题：在ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b. ∵AC ， ∴ACAC

同理可得： a2b2c22bccosA， c2a2b22abcosC．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍． 思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论：

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AbcCaB.

b2c2a2， ， cosA2bc ．

三、讨论交流点拨提升 [理解定理]

（1）若C=90，则cosC ，这时c2a2b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

例1. 在△ABC中，已知a3，b2，B45，求A,C和c．

变式：在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝

例2. 在△ABC中，已知三边长a3，b4，c37，求三角形的最大内角．

变式：在ABC中，若a2b2c2bc，求角A．

四、学能展示课堂闯关 知识拓展 在△ABC中，

若a2b2c2，则角C是直角； 若a2b2c2，则角C是钝角； 若a2b2c2，则角C是锐角．

1. 已知a＝3，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）. A. 9，则BC＝_______． 103422 B. 34 C. D. 22 222. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）. A．60 B．75 C．120 D．150

.

.

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）. A．5x13 B．13＜x＜5. .C． 2＜x＜5 D．5＜x＜5

4. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，则|AB－AC|＝________． AB与AC的夹角为60°，5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足

b2a2c2ab，则∠C等于

五、学后反思

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2. 余弦定理的应用范围： ① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边

【课后作业】

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝

2. 在△ABC中， AB＝5，BC＝7，AC＝8，求ABBC的值．

13，求最大角的余弦值． 14.