《三角函数模型的简单应用》优质课比赛说课教案

一、内容与内容解析

《三角函数模型的简单应用》是人教A版普通高中课程标准实验教科书数学4第一章第6节内容.学生学习本节需要两课时，这是第一课时的内容，主要学习前3个例题．

三角函数是中学数学的重要内容之一，三角函数与日常生活及生产实践密切相关，在测量、计算与角有关的问题中有广泛的应用．本节内容是在对三角函数的定义、性质、图象等基本知识作完整的学习以后专门设置的，目的在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习，因此在整个课程安排上起到总结、提升的作用.学生利用已学知识来解决实际问题并在此过程中培养其应用意识和创新意识.

三角函数模型可以解决许多实际生活中的问题，如果某现象的变化有周期性，结合这一现象的特征和条件，根据三角函数的性质，建立数学模型，从而将这一具体现象转化为一个特定的数学模型——三角函数模型．本节的四个例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，第一课时讲解下面的三个例题，其中：

例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题，要特别注意自变量的变化范围.

例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数

ysinx与正弦函数有紧密的联系.

例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题．应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．

应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型，解决问题的一般程序是：

（1）审题：先审清楚题目条件、要求、理解数学关系． （2）建模：分析题目周期性，选择适当的三角函数模型． （3）求解：对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论． （4）还原：把数学结论还原为实际问题的解答． 二、目标和目标解析

依据《普通高中数学课程标准》，本节目的是加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学

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习，本节课从四个层次介绍三角函数模型的应用．

①根据解析式引出图象→由数到形； ②根据图象求出解析式→由形到数；

③将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型（建模）；

④利用收集到的数据引出散点，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型（是前三点的结合应用）.

此确定以下的教学目标： 【知识与技能】

初步掌握三角函数模型的简单应用：

(1)能根据解析式用描点法或几何变换法作出图象，提高学生的作图能力． (2)能根据图象建立解析式，培养学生观察、分析图象，获取数据的能力．

(3)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型．

【过程与方法】

师生共同探讨，通过设计一系列阶梯型题目，由浅入深，由易而难，由熟悉问题到陌生问题，引起学生学习的兴趣与探究的热情，并达到突出重点，突破难点的目的．在此过程中体会和感受数学建模思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．

【情感态度与价值观】

增强学生“数形结合”的数学思想，提高由“形”到“数”地解决问题的能力，培养学生在实际问题中应用数学的意识和能力，切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活、其他学科的联系，从而使学生热爱数学学习．

【重点与难点】

重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题，引导学生学习从实际问题中发现周期变化的规律，并将所发现的规律抽象为恰当的三角函数模型．

难点：将实际问题抽象为三角函数的模型． 三、教学问题诊断分析

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本节课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用课.学生在这之前已经系统地学习了三角函数的定义、图象和性质，对三角函数有了一定的知识基础，同时学生也熟练掌握了使用计算器，可以给角求值，也可以在给出已知三角函数值时求对应的角度，为本课的顺利开展作好了一定的铺垫作用.

学生在数学1已经学习过“函数模型的应用实例”，学习过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数等描述现实世界变化规律的函数模型，已经体会到解决实际问题中建立函数模型的过程，这为本节课的学习奠定了又一基础．

依据学生的认知规律和水平，本课时教学中将例1与例2调整了顺序，目的是顺应学生的认知习惯，由数识图到由图认数，既可以复习函数中的相关知识点，又可强调从图中观察相应的函数性质以及解决问题的基本思路和方法，复习周期函数的相关知识点，在此基础上为解决课本例1打下一个良好的基础和准备工作，在讲解课例1中，着重注意以下几个方面的问题．

（1）要和学生共同体验并总结求函数y=Asin(ωx+)+b的通式和通法，教会学生在过程中成长，在过程中总结，在过程中体验．

（2）注意与所学知识的联系，从另一个方向加强由高中数学知识到数学本质的理解． 例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题．应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．通过本题的实用价值，增强学生学习三角函数的兴趣，为下一节的学习做一个准备工作． 四、教学过程设计

问题1：本章研究的问题是三角函数，函数是研究两个变量之间的一种对应关系，回忆从前所学，指数函数、对数函数以及幂函数的模型常用来描述现实世界中的哪些规律？三角函数是描述什么变化规律的模型？

【设计意图】三角函数是特殊的函数，将三角函数纳入到函数体系结构中，使学生加强对新旧知识的联系．通过回忆学生在数学1已经学习过“函数模型的应用实例”，将本节的应用模型化归到已有的函数模型应用中．

预设答案：描述现实世界中不同增长规律的函数模型．三角函数是描述周期性变化规律的模型．

1.数学模型——具体的数学函数关系 问题2

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例1.请画出函数ysinx的图象，并依据图象观察其周期．

【设计意图】通过画图象来让学生复习三角函数的作图方法，利用三角函数的图象直观地研究三角函数的周期性，使学生复习旧知识，为新知识的学习作铺垫．其中要渗透数形结合思想.

活动方式：教师给出问题，全体学生动手来画，由一名学生在黑板上展示自己的作业，教师给予总结、点评．

学生解答1：

x y 0 0 π 21 π 3π 21 2π 0 0

学生解答2：

追问1：你是用什么方法画出此函数图象的？请用语言描述函数图象的形状． 追问2：此函数的定义域是什么？你画出的函数图象对吗？

【设计意图】使学生回顾一般情况下作三角函数图象的方法；纠正学生画图象的过程中出现的错误，会用语言描述三角函数的图象．

师生共同总结（详见课件）：

（1）ysinx与ysinx的区别与联系，并归纳得到一般规律：如何由

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yf(x)y|f(x)|的图象．

（2）周期性，通过观察图象可知T=π；

fxπsin(xπ)sinxsinxf(x)． 变式练习：

（1）你能说出函数ysin2x、y1πsinx、y|sin(x)|的周期吗？ 24（2）画出函数ysin|x|的图象，并判断是否为周期函数．

【设计意图】理解参数A，对函数周期性的影响；对某些特殊的函数要使学生会利用函数的图象来判断周期．

2.简单应用——解决生活中的实际问题 问题3

例2.如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动解析式为______________.

【设计意图】尝试三角函数解决简单实际问题，初步体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型．

活动方式：教师给出问题，学生动脑思考，之后由一名学生口述分析解决问题的方法，并简要地叙述解题的过程，最后教师进行方法总结、思路点评．

学生解答： 由图可知：A=2.

T=0.5-0.1,T=0.8. 2轴表示的函数

2π5π5π,即y2sinx. T220.1,2是“五点法”的第二点，

5ππ0.1. 22π.

45ππ则y2sin()，x0,.

24请大家在前面学习的基础上来学习下面的例题：

例3.如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b．

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T/℃ 30 (1)求这一天的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 【设计意图】研究温度随时间呈周期性变化的问题．利用函数的模型（函数的图象）解决问题（求一天的最大温差），并根据图象建立解析式．

问题4：本例给出函数模型了吗？给出的

模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？

【设计意图】数学模型的方法就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般的数学方法，从而让学生体会解决问题的一般程序：

活动方式：师生对话，共同讨论、分析问题，全体学生动手，然后完全由学生自己解决．在黑板上写出过程，教师给予总结、点评．

学生解答：

(1)由图可知，这段时间的最大温差是20℃．

(2)从图中可以看出，从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+)+b的半个周期的图象，

11A=(30-10)=10， b= (30+10)=20， 221∵•T146 ∴T=16， 22ππ∴=16 ∴. 83π3ππ将 x=6 代入 x 有 ×6+= ， 解得=.

248π3π综上，所求解析式为y10sin(x)20,x[6,14].

84审 20 10 0 6 10 14 t/h 建 求 还 题模解原教师归纳：

（1）求yAsinxb,即确定A、、、b 四个量的值待定系数法． 第一步：先确定A、b．

b20，Ab30，数的方法： 

A10.Ab10，第 6 页 共 10 页

形的方法：依图可知A3020或A2010，b20；

1π第二步：再确定与T 有关，由图可知T.

28第三步：确定．

（2）本例中所给出的是6～14时一段图象，这恰好是半个周期，提醒学生注意解析式中自变量的取值范围．

问题5

例4.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个的关系是θ＝90°－|－|．当地夏半年取正值，

θ，为量之间冬半年

取负值．

如果北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢

h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳

高为

全年不

被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？

【设计意图】研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题．应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．养成从实际情境中抽象和归纳问题，从而体验用数学解决问题的能力，欣赏数学的使用价值．

活动方式：教师给出问题之后，师生共同分析，教师利用“几何画板”演示在某一纬度值下，太阳高度角的计算关系式；建筑物的投影长随太阳高度角的变化规律．

师生活动：

（1）共同读题，进入题目情境．

（2）利用“几何画板”演示，让学生观察：太阳高度角为θ，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|－|；

（3）利用“几何画板”演示，让学生观察：太阳周而复始地直射北回归线、赤道、南回归线时建筑物在地面上的投影长随太阳高度角的变化情况．

（4）根据“几何画板”演示，并由题目中所提供的数据画出图形，幻灯片演示解题过程． 解答过程：

图（课本P.61），A、B、C分别为太阳直射北

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回

归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为－23°26′，依题意，两楼的间距不小于MC，根据太阳高度的定义，有 ∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′ MC＝

h0h0＝2h0. tanCtan2634'即盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．

变式练习：

阳泉市的纬度大约是北纬38，小李想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米．要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？

【设计意图】例4的结论有一定的实际应用价值，结合我市的实际情况设置逆向思维的问题，激发学生进一步探究的兴趣．

课堂小结：

问题6：本节课我们学习了三个层次的三角函数的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？

【设计意图】通过学生认识三角函数模型的简单应用，把建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤纳入到原有知识体系中去，使学生有一个全面的认识，培养思维的连续性．

问题7：通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法、经验等方面进行小结．此外请搜集、归纳现实生活中的周期变化的情境模型．

【设计意图】引导学生小结、回顾和总结本课的主要内容． 知识： 思想方法： 经验： 作业：

1．P.65练习1，2；

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2．习题1.6A组3．

【设计意图】初步应用所学来做练习．将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯． 五、目标检测设计

1.根据函数y＝｜cos2x｜的图象，可知其周期为 . 2.已知电流I与时间t的关系式为

πIAsin(t) (A0,0,),如图是该函

2数在一个

周期内的图象．

求出函数IAsin(t)的解析式；

3.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由． 六、设计思路

1.教学设计的指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣.设计思路符合新课标的精神，做到心中有课标，心中有教材，心中有学生，从实际到理论，再由理论指导实际的认知过程，关注学生的学习情感和学习中将要遇到的困难，语言精练，宏观与微观操作相呼应，并注意细节的处理，尤其通过楼房阴影问题的处理，激发兴趣，体现数学价值，切实感受数学就在身边，并能为我们服务．

2.本节是一节习题课，其目的一方面是要巩固所学过的三角函数知识，更重要的是，让学生通过本节的学习活动认识到学习数学的意义，认识到数学与生活的联系，在此过程中让学生学会数学的思维，培养理性精神，体现数学教育的育人功能.为了实现以上目标，教学中设计一些可以反映数学思想方法的问题，形成“问题串”，以此为载体展开课堂教学活动.

3.应用三角函数模型解决问题，首先要从简单有趣的实例引入，激发学生的兴趣，把实际问题抽象为数学模型，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．并通过背景更丰富的实例解释这一模型的内涵，让学生深切地感受到数学抽象的魅力. 此外还将生活中的实

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例揉在教学过程中，将丰富的现实世界，有机地穿插在理性的数学教学活动中，让学生轻轻松松学数学.最后通过对例题变式的探究，对题目的内涵进一步挖掘，来培养学生思维的广阔性和多样性.

4.由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此鼓励学生使用计算机或计算器处理数据．在本课的教学中使用多媒体进行动态演示，以使学生有更多地时间用于对问题本质的理解．

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