二次函数的图形与性质教案

1.二次函数y＝ax2的图象

（1）画二次函数y＝x2的图象. 列表：

x y … … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 在图22－1－10的平面直角坐标系里画出二次函数y＝x2的图象.

在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，便得到了二次函数的图象，我们把这样的图象叫做 ，抛物线有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 .

（2）在上面的平面直角坐标系里画出二次函数y＝－x2的图象. 2.二次函数y＝ax2图象的性质

二次函数y＝x2图象的特点：

（1）抛物线的开口向 （填“下”或“上”）；

（2）图象是中心对称图形还是轴对称图

形？ ；对称轴是 。 （3）当x＜0时，曲线自左向右 （填“下降”或“上升”），即y值随x值的增大 而 （填“增大”或“减小”）； （4）当x＞0时，曲线自左向右 （填 “下降”或“上升”），即y值随x值的增大 而 （填“增大”或“减小”）； （5）图象在x轴的 （填“上方”或

； “下方”）

（6）顶点是抛物线上位置最 （填“高”

或“低”）的点，y有最 （填“大”或 “小”）值，顶点坐标是 。

思考：类似地，你能得出二次函数y＝－x2图

象的特点吗？

► ；

1 函数 a的取值 a>0 y＝ax2 a<0 向 ） 在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 当x＝ 时， y最大值＝ 图象 形状 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减 性 最值

向 在对称轴的右侧，y随x的增大而 ；在对称轴的左侧，y随x的增大而 当x＝ 时， y最小值＝

探究问题一 画二次函数y＝ax2的图象

1

例1 在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y＝x2，y＝x2，y＝2x2的图象，并

2比较三个图象的相同点与不同点.

相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）. ②对称轴相同，都为y轴

③开口方向相同，它们的开口方向都向上. 不同点：开口大小不同.

2 【归纳】y=ax2的图象特征： (1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a<0时，抛物线开口向下，顶点时抛物形的最高点. (3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小

课堂小结

1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法 .②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.

一般地， 抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴， 顶点是原点． 当 a＞0 时， 抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当 a＜0 时， 抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点． 对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．

如果 a＞0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大；

如果 a＜0，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．

一、选择题

1.关于二次函数y＝x2的图象，下列说法错误的是（ ）

A.它的形状是一条抛物线 B.它的开口向上，且关于y轴对称

C.它的顶点是抛物线的最高点 D.它的顶点在原点处，坐标为（0，0） 1

2.[毕节中考] 抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是（ ）

2A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大

3.如图22－1－14所示，根据图象提供的信息，下列结论正确的是（ ）

A.a1>a2>a3>a4 B.a1a1>a2>a3 D.a2>a3>a1>a4

4.[宁夏中考] 已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）

3 二、填空题

5.抛物线y＝10x2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；抛物线y2

＝－x2的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 Ｗ.

5

6.已知抛物线y＝－2x2经过点（1，y1）和（2，y2），则y1与y2的大小关系是 Ｗ.

7.如图22－1－16所示，图中抛物线是某个二次函数的图象，则此二次函数的解析式为 ，根据图象知，当x＝ 时，y的值最大.

22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图像和性质

二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

，

在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y＝x2y＝x2＋1，y＝x2－1，的图象，并 比较三个图象的相同点与不同点.

4 归纳：（1）抛物线y＝x2＋1：开口向 ，对称轴是 轴，顶点为 . （2）抛物线y＝x2－1：开口向 ，对称轴是 轴，顶点为 . 2.抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2的关系：

抛物线y＝x2 抛物线y＝x2＋1；抛物线y＝x2 抛物线y＝x2－1.

a的取值 二次函数 y＝ax2＋k a>0 a<0 开口 方向 向 向 对称轴 轴 轴 顶点 坐标 最值

当x＝0时，y最小值 ＝ 当x＝0时，y最大值 ＝ y＝ax2 y＝ax2＋k（k＞0）. y＝ax2 y＝ax2－k（k＞0）. 口诀：上加下减.

例1 抛物线y＝ax2＋k与y＝－5x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标是（0，3），则其解析式为 ，它是由抛物线y＝－5x2向 平移 个单位长度得到的.

例2如图22－1－23所示，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8 m，宽AB为2 m.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2 m，宽2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？ 通过计算说明理由.

5 一、选择题

1.下列函数中，图象形状、开口方向相同的是（ ）

1

①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.

2A.①④ B.②⑤ C.②③⑤ D.①②⑤

2.抛物线y＝2x2－5的顶点坐标为（ ）

A.（2，5） B.（－2，5） C.（0，－5） D.（0，5）

3.[上海中考] 如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是（ ） A.y＝（x－1）2＋2 B.y＝（x＋1）2＋2 C.y＝x2＋1 D.y＝x2＋3

4.当a＜0时，二次函数y＝ax2＋a的图象经过的象限是（ ）

A.第三、四象限 B.第一、二象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、三象限

1

5.对于二次函数y＝－x2＋2，当x为x1和x2时，对应的函数值分别为y1和y2.若x1>x2>0，则y1与

3y2的大小关系是（ ）

A.y1>y2 B.y17.抛物线y＝x2－4与x轴交于B，C两点，顶点为A，则△ABC的面积是（ ） A.16 B.8 C.4 D.2

二、填空题

1

8.（1）抛物线y＝－x2－1的开口方向是 ，顶点坐标是（ ， ），对称轴

2是 ，当x>0时，函数值y随x的增大而 ；当x<0时，函数值y随x的增大而 ；

11

抛物线y＝－x2－1可由抛物线y＝－x2向 平移 个单位长度得到；

22

9.若抛物线y＝ax2－1经过点（4，31），则a＝ ，在这个函数图象上该点关于对称轴对称的

点为 .

10. 将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式

6 为 .

三、解答题

11.若抛物线y＝ax2＋k经过点A（－3，2），B（0，－1），求该抛物线的解析式.

91

－3，，与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧. 12.二次函数y＝－x2＋k的图象经过点D22（1）求k的值；

（2）求A，B两点的坐标.

1

13.已知抛物线y＝x2，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若△ABC

2是直角三角形，则原抛物线应向下平移几个单位长度？

14.某水渠的横截面呈抛物线，水面的宽度为AB（单位：米），现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22－1－27所示的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8米，抛物线的解析式为y＝ax2－4.

（1）求a的值；

（2）点C（－1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积.

22.1.3 .1 二次函数y＝a(x-h)2的图象和性质

7

22

12 11

问题：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x、y＝－(x＋1)和y＝－(x－1)的图象。

222

根据图象，回答下列问题：

（1）分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性和最大值.

22

1121

（2）抛物线y＝－(x＋1)，y＝－x，y＝－(x－1)的形状和大小之间有什么关系？

222221211

（3）抛物线y＝－x怎样平移可以得到抛物线y＝－(x＋1)，y＝－(x－1)。

222

归纳.抛物线y＝a（x－h）2的性质：

a的取值 开口 方向 对称轴 顶点 坐标 增减性 y＝a（x－h）2

例1 二次函数y＝－2（x－4）2的图象是由抛物线y＝－2x2向 平移 个单位长度得到的；此函数图象开口向 ，对称轴是 ，当x＝ 时，y有最 值是 .

8

例2 已知抛物线y＝a（x－h）2的对称轴是直线x＝3，且过点（1，1），试确定该抛物线的解析式.

例3 已知抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在x轴上，则a的值为 .

2

3

例4 在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x－1和二次函数y＝－(x－1)的图象大致是（ ）

2

同步练习：

1.二次函数y＝3（x＋4）2的图象是 ，开口 ，对称轴是直线 ，当x＝ 时，y有最 值是 .

2.将抛物线y＝m（x＋n）2向左平移2个单位长度后，得到抛物线y＝－4（x－4）2，则m＝ ， n＝ .

3.抛物线y＝4（x－2）2与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 .

4.某抛物线和y2x2的图象形状相同,开口方向相同,对称轴平行于y轴,且顶点坐标是(1,0),则此抛物线的解析式为 .

5. 将抛物线y=3x2向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是 ；向上平移2个单位，所得图象的解析式为 .

9 6.已知抛物线ya(xh)2(a0)的顶点坐标为(3,0),且经过点(4,2),求该抛物线的解析式.

7.将二次函数y＝3（x－4）2的图象沿x轴对折后得到的图象的函数解析式是什么？将二次函数y＝3（x－4）2的图象沿y轴对折后得到的图象的函数解析式是什么？

22.1.3 .2 二次函数y＝a(x-h)2＋k的图象和性质

1.已知函数y＝

1211x、y＝（x＋2）2＋2和y＝（x＋2）2－3． 222

（1） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； 开口方向 对称轴 顶点坐标 12x2 1y＝（x＋2）2＋2 21y＝（x＋2）2－3 2y 1211x得到抛物线y＝（x＋2）2＋2和抛物线y＝22211（x－2）2－3？如果要得到抛物线y＝（x＋2）2－6，那么应该将抛物线y＝x2作怎样的平移？

221解：将抛物线y＝x2先向______平移______个单位，再向______平移______个单位

21得到抛物线y＝（x＋2）2＋2

21将抛物线y＝x2先向______平移______个单位，再向______平移______个单位

22.试说明：分别通过怎样平移，可以由抛物线y＝

10 得到抛物线y＝将抛物线y＝

1（x－2）2－3 212

x先向______平移______个单位，再向______平移______个单位 21得到抛物线y＝（x＋2）2－6。

2

1.抛物线y＝a（x－h）2＋k的性质： a的 开口 取值 方向 y＝a（x－h）2＋k 对称轴 顶点 坐标 增减性

二、二次函数y=a(x－h)2＋k的图象和性质 （1）当a>0时, 开口向上;当a<0时,开口向下; （2）对称轴是直线x=h; （3）顶点是(h,k).

平移口诀： 。

一、填空题

11 1

1.抛物线y＝2（x－1）2＋1的开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 .当x 时，函数值y随x值的增大而增大；当x 时，函数值y随x值的增大而减小；

当x＝ 时，函数取得最 值为 .

2.填表：

解析式 y＝－5x2 1y＝2x2＋5 y＝－3（x＋4）2 y＝4（x＋2）2－7 开口方向 对称轴 顶点坐标

3.若点A（2，－1）在抛物线y＝a（x＋1）2＋3上，则a的值是 .

4.如果二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象的对称轴为直线x＝－1，那么h＝ ；如果它的顶点坐标为（－1，－3），那么k的值为 .

二、选择题

5.[天水中考] 将二次函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的解析式是（ ）

A.y＝（x＋1）2－2 B.y＝（x－1）2－2 C.y＝（x＋1）2＋2 D.y＝（x－1）2＋2

6.对于二次函数y＝（x－1）2＋2的图象，下列说法正确的是（ ）

A.开口向下 B.对称轴是x＝－1 C.顶点坐标是（1，2） D.与x轴有两个交点

7.下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点（0，1）的是（ ）

A.y＝（x－2）2＋1 B.y＝（x＋2）2＋1 C.y＝（x－2）2－3 D.y＝（x＋2）2－3

12－3，y2，8.已知点（－1，y1），2（－2，y3）都在函数y＝3（x＋1）－2的图象上，则y1，y2，y3

的大小关系为（ ）

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y1>y2

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y＝－2（x－h）2＋k，则下列结论正确的是（ ）

A.h>0，k>0 B.h<0，k>0 C.h<0，k<0 D.h>0，k<0

10.[深圳中考] 已知二次函数y＝a（x－1）2－c的图象如图22－1－36所示，则一次函数y＝ax＋c的

12 大致图象可能是（ ）

11.若二减小，

次函数y＝（x－m）2－1，当x≤1时，y随x的增大而则m的取值范围是（ ）

A.m＝1 B.m>1 C.m≥1 D.m≤1

1

12.市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，

2在如图22－1－30所示的平面直角坐标系中，这个喷泉的函数解析式是（ ）

11

A.y＝－（x－）2＋3 B.y＝－3（x＋）2＋3

2211

C.y＝－12（x－）2＋3 D.y＝－12（x＋）2＋3

22

13.如图22－1－31，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x1

（m）之间的解析式为y＝－（x－4）2＋3，由此可知铅球推出的距离是（A）

12

A.10 m B.3 m C.4 m D.2 m或10 m

14.在平面直角坐标系内，二次函数的图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）.求该二次函数的解析式.

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

13 1

1.问题：画二次函数y＝x2－2x＋3的图象.

2

即时练习：把二次函数y＝－2x2－4x＋1化为顶点式为 ，所以抛物线y＝－2x2－4x＋1的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当 时，y的值随x值的增大而减小.

2.把二次函数y＝ax2＋bx＋c化为的顶点式解析式，并指出它的对称轴和顶点坐标。

► 知识点二 二次函数

二次函数 a的取值 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 y＝ax2＋bx＋c

的性质

y＝ax2＋bx＋c a<0 增减性 最值

二、y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

14

探究问题一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质

例1 把下列函数写成y＝a（x－h）2＋k的形式，并写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. （1）y＝－x2＋6x＋1； （2）y＝－2x2＋8x－8.

探究问题二 a，b，c的符号与抛物线y＝ax2＋bx＋c的关系

1

例2 如图22－1－54所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为2，1.下列结论：①ac＜0；②a＋b＝0；③4ac－b2＝4a；④a＋b＋c＜0，其中正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [归纳总结] 系数 a 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 b 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点 c 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 系数的符号 15 一、选择题

1

1.把二次函数y＝－x2－x＋3用配方法化成y＝a（x－h）2＋k的形式为（ ）

4

2

11111A.y＝－（x－2）2＋2 B.y＝（x－2）2＋4 C.y＝－（x＋2）2＋4 D.y＝2x－2＋3

444

2.抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为（ ）

A.（3，－4） B.（3，4） C.（－3，－4） D.（－3，4）

3.抛物线y＝2x2－x＋3经过的象限是（ ）

A.第一、二、三象限 B.第一、二象限 C.第一、二、四象限 D.第三、四象限

4.若抛物线y＝x2－6x＋c的顶点在x轴上，则c的值是（ ） A.9 B.3 C.0 D.－9

5.在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（ ） A.x<1 B.x>1 C.x<－1 D.x>－1

3

6.[河池中考] 已知二次函数y＝－x2＋3x－，当自变量x取m时对应的函数值大于0，设自变量x分

5别取m－3，m＋3时对应的函数值为y1，y2，则（ ）

A.y1＞0，y2＞0 B.y1＞0，y2＜0 C.y1＜0，y2＞0 D.y1＜0，y2＜0

128

7.已知抛物线y＝－x2＋x＋，则下列说法中，不正确的是（ ）

333

A.顶点在第一象限 B.对称轴在y轴的右边

C.当x＞1时，y随x的增大而减小 D.当x＜1时，y随x的减小而增大

8.[荆门中考] 将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是（ ）

A.y＝（x－4）2－6 B.y＝（x－4）2－2 C.y＝（x－2）2－2 D.y＝（x－1）2－3

9.[三明中考] 已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）

A.b≥－1 B.b≤－1 C.b≥1 D.b≤1

10.在同一平面直角坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是（ ）

16

图22－1－55

11.[广东中考] 二次函数y＝ax2＋bx＋（ca≠0）的大致图象如图22－1－44，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）

1

A.函数有最小值 B.对称轴是直线x＝

2

1

C.当x＜时，y随x的增大而减小 D.当－1＜x＜2时，y＞0

2

12.二次函数y＝x2＋bx＋c，若b＋c＝0，则它的图象一定过点（ ） A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（－1，1） D.（1，1）

13.[苏州中考] 已知二次函数y＝ax2＋bx－1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1－a－b的值为（ ）

A.－3 B.－1 C.2 D.5

14. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图22－1－50所示，对称轴是直线x＝1，则下列四个结论中错误的是（ ）

A.c＞0 B.2a＋b＝0 C.ab＜0 D.a－b＋c＞0

二、填空题 15.点A（2，y1），B（3，y2）是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1 y2（填“＞”“＜”或“＝”）.

16.若抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1，则b的值为 . 17.已知抛物线y＝x2＋ax＋3的最低点在x轴上，则a的值为 .

17

18.[扬州中考] 如图22－1－45，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为 .

19.如图，抛物线的顶点为P(2,2),与y轴交于点A(0,3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点

P'(2,2)，点A的对应点为A'，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为

1

20.如图22－1－59，二次函数y＝x2－x＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，顶点M关于x轴的

2对称点是M′.

（1）若A（－4，0），求二次函数的解析式；

1

（2）求出抛物线y＝x2－x＋c与y轴的交点C的坐标。

2（3）求三角形BCM的面积.

22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

18 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式

探究问题一 利用一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）求二次函数的解析式 例1 已知二次函数的图象经过点（－1，－6），（1，－2）和（2，3），求这个二次函数的解析式，并求它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

[归纳总结] 用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤： （1）设：根据条件设函数解析式；

（2）列：把已知点的坐标代入解析式，得到方程或方程组； （3）解：解方程或方程组，求出未知系数；

（4）答：写出函数解析式，注意最后结果一般要化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 探究问题二 灵活选用方法求二次函数的解析式

例2 [教材探究拓展题] 已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M（2，0），求这个函数的解析式.

[归纳总结] 二次函数解析式的类型及适用情况：

19 解析式 类型 一般式 字母表达式 y＝ax2＋bx＋c（a≠0） y＝ax2（a≠0） y＝ax2＋k（a≠0） 适用情况 已知图象上三个任意点的坐标 已知顶点坐标为（0，0），又知另一个任意点 已知顶点坐标为（0，k），又知另一个任意点 已知顶点坐标为（h，0），又知另一个任意点 已知顶点坐标为（h，k），又知另一个任意点 已知图象与x轴的两个交点（x1，0），（x2，0），又知另一个任意点 顶点式 y＝a（x－h）2（a≠0） y＝a（x－h）2＋k（a≠0） 交点式 y＝a（x－x1）（x－x2）

探究问题三、 用待定系数法求实际问题中的二次函数的解析式

例 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴，桥拱的DGD′部分为一段抛物线，顶点G的高度为8米，AD和A′D′是两侧高为5.5米的支柱，OA和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD和C′D′为两段对称的桥斜坡，并且AC＝4AD.

（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长； （2）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱

之间的距离不得小于0.4米，今有一大型运货汽车装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA（或OA′）区域安全通过？请说明理由.

[归纳总结] 解答此类问题的一般步骤： （1）从实际问题中抽象出抛物线的模型；（2）根据已知坐标系，找出抛物线上几个点的坐标；

20 （3）设合适的二次函数解析式，并列出关于这个解析式的方程组；（4）解这个方程组，求出二次函数的解析式.

[点评] （1）顶点在y轴上的抛物线的解析式设为y＝ax2＋c（a≠0）.（2）把实际问题中的数量关系转化为点的坐标是求解析式的关键.（3）解答“能否通过”类问题实质上是求一些特殊点的坐标.

一、选择题

1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（1，0），（2，0），（3，4）三点，则该抛物线的解析式为（ ） A.y＝x2－3x＋2 B.y＝2x2－6x＋4 C.y＝2x2＋6x－4 D.y＝x2－3x－2

2.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y轴的交点是（0，－4），那么它的解析式是（ ） 111

A.y＝－x2－2x－4 B.y＝－x2＋2x－4 C.y＝－（x＋3）2－1 D.y＝－x2＋6x－12

333

3.如图，抛物线的函数解析式是（ ）

A.y＝x2－x＋2 B.y＝x2＋x＋2 C.y＝－x2－x＋2 D.y＝－x2＋x＋2

4.已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（－1，－2），则b与c为（ ）

A.－1，－2 B.4，－2 C.－4，0 D.4，0

5.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：

x y －7 －27 －6 －13 －5 －3 －4 3 －3 5 －2 3 的值分别

则当x＝1时，y的值为（ ） A.5 B.－3 C.－13 D.－27

6.海滨广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的水的最大1

高度为3米，此时喷水的水平距离为米，在如图22－1－68所示的坐标系中，这支喷

2泉喷水的函数解析式是（ ）

11

x－＋3 B.y＝3x－＋1 A.y＝－2211

x－＋3 D.y＝－8x＋＋3 C.y＝－822

2

2

2

2

21 二、解答题

9.有一个二次函数的图象，三个同学分别说出了它的一些特点. 李明：对称轴是直线x＝4； 赵鑫：函数有最大值为2；

张强：此函数的图象经过点（－3，1）关于y轴的对称点. 请你根据上述对话写出满足条件的二次函数解析式.

10.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.

11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为直线x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式.

12.如图所示，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过点A（－1，0），C（0，4）. （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m＋1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标.

22

13.[牡丹江中考] 如图22－1－70，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A（1，0），C（0，－3）.

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标.

14.如图22－1－71，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2，－4），O（0，0），B（2，0）三点.

（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求OM＋AM的最小值.

23 15.[陕西中考] 已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A（－3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.

（1）求抛物线C的解析式； （2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′、它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M，N，M′，N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

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