【编者按】从２０１４年第５期开始，我们连续刊发了华东师范大学汪晓勤教授及其研究团队 开发的ＨＰＭ案例，为数学教学如何融入数学史提供了“例子”，倍受读者朋友们的欢迎。本期 呈现的是顾彦琼、汪晓勤两位老师的研究成果。 “余弦定理＂复习课：通过数学史体现综合性 顾彦琼 ，汪晓勤 （１．上海市南汇中学，２０１３９９；２．华东师范大学数学系，２００２４１） 摘要：新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦 定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然， 而不知其所以然。通过对历史材料的分析和对课前学情的调查，在 复习课中以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；从 勾股定理开始，自然深入、逐步推广，引出推导余弦定理的三种欧氏 几何方法、一种平面三角方法、一种向量几何方法和一种解析几何 方法，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的 习惯，充分体现知识的综合性。 关键词：ＨＰＭ余弦定理复习课教学设计 数学复习课是数学教学中不可或缺的重 教师孜孜以求的目标；但是，在课业负担繁重 且有考试压力的中学数学教学中，要在协调 教学进度的同时让复习课有文化内涵，使学 生在其中探奇寻乐，似乎已然成为遥不可及 的追求。 要环节，它具有重复性、概括性、系统性和综 合性等特点；数学复习课要在重复和概括的 基础上进行梳理，使数学知识和数学思想方 法系统化、综合化。在数学复习课中，兼顾知 识的巩固提高和教学的新鲜活力，乃是一线 在沪教版高中数学教材的设计中，“余弦 ２０１５年第２期 教育研究与评论・中学教育教学 定理”的新授课被安排在高一第二学期，主要 １７０）在其《天文大成》中利用上述命题解决了 教学目标是，掌握余弦定理的内容及其证明， “已知三角形三边，求角”的问题，但并未明确 以及运用余弦定理解决“边角边”和“边边边” 提出余弦定理。不过，利用托勒密定理，我们 问题。但是，新授课中，教学起点和欧氏几何 的确能轻易证明余弦定理。 方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无 １６世纪，德国数学家毕蒂克斯（Ｂ Ｐｉｔｉｓ— 本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然， ｅｕｓ，１５６１￣１６１３）在其《三角学》中利用几何方 而不知其所以然。受陈敏皓老师的“余弦定 法求出了图２（其中 Ｃ为ＡＡＢＣ的最大角， 理”教学设计的启发，我们尝试将数学史运用 ，，Ｊ ， ２ 可以是钝角）中的 ： 一—Ｏ＂—－ｒ－ Ｃ－－－ａ－。毕蒂克 于“余弦定理”复习课中，以体现知识的系统 厶Ｃ 性、综合性。 斯于１５９５年首次将“三角学”（ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ） 一、历史材料分析 作为书名，他的方法成为了今天所谓“无字证 余弦定理作为勾股定理的推广，最早出 明”的蓝本。之后，法国数学家韦达（Ｆ．Ｖｉ＆ｅ， 现于欧几里得的《几何原本》第２卷中： １５４０￣１６０３）明确给出了余弦定理的比例形 命题１２在钝角三角形中，钝角对边上 式：２ａｂ：（口０＋ｂｚ－－Ｃ ）一１。ｓｉｎ（９０。一Ｃ）。 的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面 ２０世纪中叶以前，西方大多数三角学教 积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由 材沿用了欧几里得的方法来证明余弦定理， 一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边延长 也有一些教材采用了毕蒂克斯的方法，或以 线作垂线，垂足到钝角（顶点）之间的一段所 一组射影公式ａ＝ｂｃｏｓＣ＋ｃｃｏｓＢ，６一ｃｃｏｓＡ＋ 构成。 ａｃｏｓＣ，ｃ：ａｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＡ为出发点。英国数 命题１３在锐角三角形中，锐角对边上 学家德摩根（ ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ，１８０６￣１８７１）则在 的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面 其《三角形基础》中别出心裁地利用和角公式 积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由 和正弦定理来推导余弦定理。到了２Ｏ世纪 另一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边作 ５Ｏ年代，一些教材开始采用解析几何的方法； 垂线，垂足到原锐角（顶点）之间的一段所 而向量方法的出现，则是相当晚近的事了。 构成。 数学史告诉我们，余弦定理是作为勾股 命题１２相当于说，如图１所示，在钝角 定理的推广而诞生的，在１８～１９世纪的许多 ＡＡＢＣ中，口 ＝ｂ２＋ｃ ＋２ｃｍ命题１３相当于 三角学著作中，它只是以几何定理的身份出 说，如图２所示，在锐角ＡＡＢＣ中，ａ ＝ｂｚ＋ｆ 现；在从欧几里得时代直到２Ｏ世纪上半叶的 一２硎 。欧几里得利用勾股定理对上述命题 两千余年间，人们普遍采用几何方法对余弦 进行了证明。 定理进行推导，正是包括今天所谓“无字证 明”在内的那些几何方法，才使其展现出了迷 人的魅力。因此，以勾股定理为起点，用不同 的几何方法来推导余弦定理，以弥补新授课 中解析几何方法的不足，是历史带给我们的 图１ 图２ “余弦定理”复习课的教学启示。而且，不同 公元２世纪，托勒密（Ｃ Ｐｔｏｌｅｍｙ，约１００ 于新授课，复习课中因为学生已经学过余弦 教育研究与评论・中学教育教学 ２０１５年第２期 定理及其他相关内容，所以对于数学史的运 用可以更加广泛、自由。 二、课前学情调查 课前，我们通过问卷，对所教的两个班级 生哦，那太难了！老师，你为什么要问我这 样的问题？ 师因为我早上做了问卷调查，本来以为他 们会用比较淳朴的方法做，但没想到他 们都没做出来。 共８４名学生进行调查。所设计的问题是： （１）请写出余弦定理； （２）请说明余弦定理可以用来解决哪些 生哦，老师，你要理解他们。在这种应试教 育下，能背出公式来，已经很不容易了。 师可是我觉得，最近才刚学过一个新工具 （平面向量），印象应该会深刻一点啊？ （学生尝试着写出证明过程，但数十分钟 后，仍然未能证明。） 解斜三角形问题； （３）请证明余弦定理。 对于前两个问题，８４名学生中的８２名都 能作出正确回答。对于第三个问题，则少有 学生能正确给出完整的证明：其中４１名学生 直接回答“不知道”“不会”或“不清楚”；１１名 学生记得用平面向量的方法证明，但是只有４ 访谈表明，数学成绩优秀的学生对已学 过的余弦定理的证明同样无从人手。 三、教学设计与实施 （一）提出问题，激发兴趣 名学生能证明出来；１３名学生记得用两点之 间的距离公式证明，但是有５名学生联想到 课始，教师开门见山地说道：“我们在高 一单位圆（通过访谈了解到，这是由于受到和角 余弦公式证明的影响），只有３名学生能正确 第二学期学习了余弦定理，但课前的问卷 调查却表明，同学们普遍知道余弦定理是什 么，可以用来解决什么样的问题，却不知道怎 证明；其余学生的证明都不着边际。 调查表明：学生对余弦定理的解析几何 证明方法和向量证明方法印象不深；学生有 样去证明余弦定理。高二第一学期即将结 束，与高一相比，我们已经储备了更丰富的数 学知识，证明余弦定理的方法也变得更多样 了。本节课中，就让我们一起来回答以下两 轻过程、重结论的倾向，即只求“鱼”而不得 “渔”。 以下是我们对一名数学成绩一直比较优 秀的男生的访谈片段： 师你还记得余弦定理吗？ 个问题。”然后，教师出示本课的主旨问题： 问题１我们可以用怎样的方法来证明 余弦定理？ 生让我想一下，是用来解斜三角形的那个 东西吗？ 一问题２ 比较各种方法，我们更喜欢哪 种？ 师是的。你还记得是什么吗？ （学生用纸笔写下来。） （二）以史开道，回归起点 为了回答上述问题，教师首先要求学生 回忆勾股定理的证明。少数学生说“模糊地 记得”，多数学生则表示，初中时老师也只是 一师生师生你能证明一下吗？ 哦，我不记得了，一点儿也不记得了。 真的吗？请你再想一想。 好像是要建立平面直角坐标系的。 笔带过，直接给出结论而并不作具体的 证明。 师那么，你可以把证明过程写下来给我看 一于是，教师说道：“欧几里得很早就给出 过勾股定理的证明。这一证法，被阿拉伯人 下吗？ ２ｏ１５￣２￥Ｉ 教育研究与评论・中学教育教学 蘸 形象地称为‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股 由此，引导学生利用三角函数对欧几里得的 定理的欧几里得证明： 证明稍加改进： 如图３所示，分别在直角△ＡＢＣ的三边 在图１中，有 一一ｂｃｏｓＡ，ｈ—ｂｓｉｎＡ；在 上作正方形ＡＣＤＥ、ＡＢＦＧ和ＢＣＨＩ，作ＣＬ上 图２中，有 —ｂｃｏｓＡ，ｈ—ｂｓｉ以。所以，在图 ＧＦ于Ｌ。连接ＢＥ和ＣＧ，则由ＡＥ和ＢＣ的 １和图２中，由勾股定理，均可得（ｂｓｉｎＡ） ＋ 平行关系，可得正方形ＡＣＤＥ的面积等于 （ｆ—ｂｃｏｓＡ）。一ａ。，整理得ｎ 一ｂ ＋ｃ △ＡＥＢ的两倍；由ＡＧ和（＝Ｉ 的平行关系，可 ～２ｂｃｃｏｓＡ。 得长方形ＡＭ［Ｇ的面积等于△ＡＧＧ的两倍。 接着，教师引导道：“欧几里得只是利用 而△ＡＥＢ △ＡＯＧ，故知正方形ＡＣＤＥ和长 勾股定理来证明余弦定理。而我们能否利 方形ＡＭ【Ｇ的面积相等。同理，可得正方形 用他证明勾股定理的面积方法来推导余弦 ＢＣＨＩ与长方形ＢＭＬＦ的面积相等。 定理呢？”学生跃跃欲试，师生共同完成以下 Ⅳ 证明： 如图４所示，△ＡＢＣ为锐角三角形，仿照 欧几里得的做法，在其三边外侧分别作正方 形ＡＣＤＥ、ＡＢＦ（ 和ＢＣＨＩ；分别从三个顶点 向对边作垂线，垂足分别为Ｋ、Ｍ和Ｎ，与正 方形另一边的交点分别为Ｌ、Ｐ和Ｑ。于是， ＳＡ Ｅ＝＝＝ＳＡＫｍ，ＳＢ删一Ｓｅ￣ＬＦ，因此，ｆ。＝ＳＡ Ｅ ＋ＳＢ —ｎ ＋６ 一（ＳＩＶ￣Ｄｐ＋ＳＮｃＨＱ）。而又有 Ｇ Ｌ Ｓ ＤＰ＝ｂ（ａｃｏｓＣ）＝ａｂｃｏｓＣ，ＳＮＣＨＱ＝ａ（ｂｃｏｓＣ） 图３ ￣－ａｂｃｏｓＣ，故Ｃ０＝＝＝ｎ ＋ｂ —２ａｂｃｏｓｃ。 接着，教师引导道：“如果／ｋＡＢＣ是斜三 Ⅳ 角形，那么其三边又有怎样的大小关系呢？” 学生尝试、讨论之后，教师说道：“欧几里得在 《几何原本》第２卷中将勾股定理进行了推 广，分别给出了钝角三角形和锐角三角形三 边之间的关系。”然后，展示余弦定理的欧几 里得证明： 如图１和图２，由勾股定理，分别得ａ 一 Ｇ Ｌ ｈ ＋（ｆ＋ ） ： ＋ｍ ＋ｃ ＋２ｃｒｎ—ｂ０＋Ｃ。＋ 图４ ２ｃｍ，ｎ 一 ０＋（ｃ—ｍ）。一ｈ ＋ｍ ＋ｃ 一２ｃｍ＝ 此后，教师让学生课后完成钝角三角形 ６２＋ｃ２—２ｃ 情形的证明。 （三）对话先哲，推陈出新 （四）汲取养料，拓宽思维 在欧几里得证明的基础上，教师问道： 教师要求学生再次回顾“正弦定理扩充 “欧几里得对余弦定理的证明有什么不足？ 定理”新授课中的证明方法，学生立刻想到可 怎么将其改进成我们现在的统一的形式呢？” 以引入辅助圆来证明余弦定理，教师便要求 教育研究与评论・中学教育教学 ２０１５年第２期 学生进行小组讨论。学生在证明过程中遇到 了一些困惑，教师便顺势解惑，并引出了１６ 世纪德国数学家毕蒂克斯给出的类似证明 方法： 在△ＡＢＣ中，ＡＣ＞ＢＣ。 如图５所示，以Ｃ为圆心、ＢＣ为半径作 圆，交ＡＣ及其延长线于点Ｆ、 ，交ＡＢ于另 一德摩根给出的相关证明方法： 由ｓｉｎＣ—ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ两边平 方，得ｓｉｎ２Ｃ—ｓｉｎ０ＡＣＯＳ。Ｂ＋ＣＯＳ ＡｓｉｎｅＢ＋ ２ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ—ｓｉｎ２Ａ＋ｓｉｎ Ｂ一２・ ｓｉｎ Ａｓｉｎ２ Ｂ十２ ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＡｃｏｓＢ＝＝＝ｓｉｎ。Ａ＋ ｓｉ Ｂ＋２ｓｉｎＡｓｉｎＢＣＯＳ（Ａ＋Ｂ）一ｓｉｎｅＡ＋ｓｉｎｅＢ －２ｓｉｎＡｓｉｎＢｃｏｓＣ。由正弦定理。即得ｆ 一“。 点Ｇ。由平面几何知识，可知ＡＦ・ＡＥ— ＋６ －－２ａｂｃｏｓＣ。 ＡＧ・ＡＢ，此即（ｂ—ａ）（ｂ＋ａ）＝＝＝Ｃ（ｃ一 （六）集思广益，取其精华 ２ａｃｏｓＢ），整理得ｂ 一口。＋ｆ ～２ａｃｃｏｓＢ。 在整节复习课临近尾声时，学生对证明 如图６所示，若以ＡＣ为半径作圆，则由 ＢＥ・ＢＦ—ＢＡ・ＢＧ，同样可得ｂ。一ａ。＋ｃ。 一方法的探索仍然意犹未尽。于是，教师布置 家庭作业： （１）是否还有其他方法来证明余弦定理？ ２ａｃｃｏｓＢ （参考资料：ｈｔｔｐ：／／ｂｅｔｔｅｒｅｘｐｌａｉｎｅｄ．ｃｏｍ／ａｒｔｉ— ｃｌｅｓ／ｌａｗ－ｏｆ－ｃｏｓｉｎｅｓ／） （２）请列表比较证明余弦定理的几种方 法的特点。 四、结语 圈５ 图６ 从欧几里得开始，余弦定理经历了两千 多年的历史，不同时空下的众多数学家贡献 然后，教师请学生课后完成其他等式的 证明。 （五）温故知新，查缺补漏 了自己的聪明才智。将数学史融入余弦定理 复习课的教学，使学生经历数学的惊奇，感受 数学的魅力，既为数学复习课染上了人文的 对于学生自己想到的解析几何法（利用 两点之间的距离公式）与向量法（数量积），为 了增强学生的参与度，教师请学生板演，结果 发现错误层出不穷：对于第一种方法，一些学 色彩，也凸显了数学背后探索和发现的精神， 展现了精彩纷呈的思想方法。 本节复习课中，我们以余弦定理的证明 为线索，利用数学史引导、启发学生；使余弦 定理的证明从勾股定理开始自然深入、逐步 生不恰当地选择了原点，增加了计算的难度， 这印证了学生对“适当建立坐标系”依然存在 认知缺陷；对于第二种方法，一名学生将向量 与实数混为一谈，得到ｌ ｃＩ 一ｃ・ｃ一（ｎ一６）・ （。一６）一 一２ａｂ＋ｂ ，这是学生在学习向量 推广，促使学生在学习过程中自觉养成追根 溯源、形成知识网络的习惯一如果学生在 初中学习过勾股定理的严格证明，则也能起 到衔接初、高中教学的作用。本节复习课中， 知识时出现的典型错误。通过展示与交流， 学生纠正了错误，加深了理解。 最后，教师让学生回顾△ＡＢＣ中的和角 正弦公式ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）一ｓｉｎＣ—ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ 我们主要采用了六种方法来推导余弦定理， 其中三种为欧氏几何方法，另外三种分属平 面三角、向量几何和解析几何方法，充分体现 了知识的综合性（如图７所示）。课后的问卷 ｃｏｓｎｓｉｎＢ，并简单介绍了ｌ９世纪英国数学家 ２０１５年第２期 教育研究与评论・中学教育教学 调查表明：超过８０％的学生对欧几里得的面 节课的教学，显然可见复习课也会因数学史 积方法以及毕蒂克斯的辅助圆方法印象深 元素的融入而更为新鲜有趣。 刻，他们认为，“这些方法太新奇了”“没想到 第三，在课后与学生的交谈中，我们获 还会有这样的证明方法”。 知，学生除了对数学史怀有浓厚的兴趣外，还 希望能在课堂上体现数学与现实的关系。这 无疑也为ＨＰＭ教学设计指明了更符合学生 学习动机的模式：从数学概念、定理在历史上 的来源与发展，到现实中的应用及前景，如此 “一站式教学”，能更好地让学生感受到数学 有趣、有用的真实所在。 参考文献： Ｅｌｉ奚定华．数学教学设计ＥＭ］．上海：华东师 范大学出版社，２００１ ｌ璺Ｉ ７ Ｅ２］陈敏皓．余弦定理证明［Ｊ］．ＨＰＭ通讯， 对于如何将数学史融人数学教学，更好 ２０１０（１１） 地开发ＨＰＭ课例，本节课也有颇多启示： ［３］Ｈｅａｔｈ，Ｔ．Ｌ．Ｔｈｅ Ｔｈｉｒｔｅｅｎ Ｂｏｏｋｓ ｏｆ 首先，数学史是数学教学设计的丰富资 Ｅｕｃｌｉｄ＇ｓ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ（Ｖｏ１．１）［Ｍ］－Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：Ｔｈｅ 源，而对数学史的获取仅凭一己之力确实会 Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９６８ 力不从心且举步维艰——正如从开采玉石 ［４］Ｓｍｉｔｈ，Ｄ．Ｅ．Ａ Ｓｏｕｒｃｅ Ｂｏｏｋ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａ— 到雕琢玉器，再到出售玉饰这一浩大工程又 ｔｉｃｓ（Ｖｏ１．２）［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｄｏｖｅｒ Ｐｕｂｌｉｃａｔｉｏｎｓ， 怎么会是一个人可以包揽下来的。而跨越 １９５９ 这层障碍的最佳方式无疑是推行一种模式： ［５］Ｓｍｉｔｈ，Ｄ＿Ｅ．Ｈｉｓｔｏｒｙ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ 先由大学教师完成相关主题的历史研究，以 （Ｖｏ１．２）［Ｍ］．Ｂｏｓｔｏｎ：Ｇｉｎｎ ８Ｌ Ｃｏｍｐａｎｙ，１９２５ 获得历史材料，再由大学教师与中学教师合 ［６］ｄｅ Ｍｏｒｇａｎ，Ａ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ 作，对材料进行加工，使之适合于教学。 ａｎｄ Ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｌｏｎｄｏｎ：＂Ｆａｙ— 其次，在数学教学中，使用数学史大可不 ｌｏｒ＆Ｗａｌｔｏｎ．１８３７ 必拘泥于单一的课型，新授课、复习课、试卷 ［７］汪晓勤．ＨＰＭ的若干研究与展望［Ｊ］．中 讲评课中都可以体现其教育价值。而通过本 学数学月刊，２０１２（２） 教育研究与评论・中学教育教学 ２０１５年第２期
