知识框架
数算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨
1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。 2、核心知识
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系 A、标准型公式
B、图示标数型（文氏图法）
画图法核心步骤： 1 画圈图；
2 数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)； ③做计算。 C、整体重复型
A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）； W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）； x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）； y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）； z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。 3、核心知识使用详解
（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。 （2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。 （3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础
1. 两个集合容斥关系
例1：(2007年第50题)
小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人
都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（ ）。
A. 3道 B. 4道 C. 5道 D. 6道 【答案】 D 【解析】 [题钥]
由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
“小明答对的题目占题目总数的”，相当于集合A为。
“小强答对了27道题”，相当于集合B为27。
“他们两人都答对的题目占题目总数的”，相当于集合。
“两人都没有答对的题目”，相当于求集合。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：；
确定集合A：；
确定集合B：27；
确定集合：；
代入两集合公式：
＝＝
因为和均为题数，须均为正整数，所以必须为12的倍数，而且由选项知：
3≤≤6
当W＝12时，＝－16，不合题意；
当W＝24时，＝－5，不合题意；
当W＝36时，＝6，符合题意。
所以，两人都没答对的题目为6道。
因此，选B。 2. 三个集合容斥关系
例2：（浙江行测真题）
某专业有学生50人，现开设甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课的有28人，兼选甲、丙两门课的有26人，兼选乙、丙门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三课均未选的有多少人？( ) A. 1人 B. 2人 C. 3人 D. 4人 【答案】 B 【解析】 [题钥]
“某专业有学生50人”，相当于元素总量W为50。
“有40人选修甲课程”，相当于集合A为40。
“36选修乙课程”，相当于集合B为36。
“30人选修丙课程”，相当于集合C为30。
“兼选甲、乙两门课的有28人”，相当于集合=28。
“兼选甲、丙两门课的有26人”，相当于集合=26。
“兼选乙、丙门课程的有24人”，相当于集合=24。
“甲、乙、丙三门课程均选的有20人”，相当于集合=20。
“问三课均未选的有多少人?”相当于求集合。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：50
确定集合A：40
确定集合B：36
确定集合C：30
确定集合：28
确定集合：26
确定集合：24
确定集合：20
代入三集合标准型公式：
＝50-（40+36+30-28-24-26+20）
＝2
因此，选B。 例3：（国家行测真题）
某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？( ) A. 120 B. 144 C. 177 D. 192 【答案】 A 【解析】 [题钥]
观察题目，属于三个集合容斥关系中的标数型问题，可采用文氏图法求解。
[解析]
本题属于标数型问题，可采用文氏图法求解，如下图所示。
图中，黑色部分是准备参加两种考试的学生，灰色部分是准备参加三种考试的学生。计算总人数时，黑色部分重复计算了一次，灰色部分重复计算了两次，所以接受调查的学生共有：
63＋＋47－24×2－46＋15＝120人。
因此，选A。 例4：(浙江2004－20)
某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组？( ) A. 15人 B. 16人 C. 17人 D. 18人 【答案】 A 【解析】 [题钥]
“某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组”，相当于元素总量W为35。
“参加英语小组的有17人”，相当于集合A为17。
“参加语文小组的有30人”，相当于集合B为30。
“参加数学小组的有13人”，相当于集合C为13。
“如果有5个学生三个小组全参加了”，相当于元素数量3为5。
“问有多少个学生只参加了一个小组？”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]
根据题意，设：
参加一个小组的人数为x，即元素数量1为x；
参加两个小姐的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：38
确定集合A：17
确定集合B：30
确定集合C：13
确定元素数量3：5
代入公式，列方程：
因此，选A。
进阶训练
1.两个集合容斥关系
例5：某校学生参加数学竞赛的有120名男生，80名女生，参加英语竞赛的有120名女生，80名男生。已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，那么参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数是多少人?( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】
A 【解析】 [题钥]
假设260名学生当中有m名男生、n名女生，同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
“m名男生”，相当于元素总量为m。
“参加数学竞赛的有120名男生”，相当于集合为120。
“参加英语竞赛的”，“80名男生”，相当于集合为80。
“其中75名男生两科竞赛都参加了”，相当于集合为75。
对于女生：
“n名女生”，相当于元素总量为n。
“参加数学竞赛的”、“80名女生”，相当于集合为80。
“参加英语竞赛的有120名女生”，相当于集合为120。
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数，相当于集合为x。
“已知该校总共有260名学生参加竞赛”，可知260名学生都参加了竞赛，没有“数学竞赛和英语竞赛都没参加”的情况。相当于集合
、集合
为0。
[解析]
根据题意，设：
260名学生当中有m名男生、n名女生；
同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为x。
对于男生：
确定元素总量：m
确定集合：120
确定集合：80
确定集合：75
确定集合：0
对于女生：
确定元素总量：n
确定集合：80
确定集合：120
确定集合：x
确定集合：0
男女生总数，即m＋n＝260。
代入两集合公式，列方程：
则有
即同时参加了教学和英语竞赛的女生人数为65。
由于参加数学竞赛的女生有80名，
则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生人数：
80－65＝15名。
因此，选A。 2.三个集合容斥关系
例6：(广州2007－33)
如右图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为?( )
A. 66 B. 68 C. 70 D. 72 【答案】 C 【解析】 [题钥]
“三个圆纸片覆盖的总面积为88”，相当于元素总量W为88，集合为0。
“每个圆纸片的面积都是36”，相当于集合A、集合B、集合C都为36。
“圆纸片A与B、B与C、C与A的重叠部分面积分别为7、6、9”，相当于集合为6，集合
为9。
为7，集合
要求“阴影部分的面积”，可先求出集合。
[解析]
根据题意，
确定元素总量W：88
确定集合A：36
确定集合B：36
确定集合C：36
确定集合：7
确定集合：6
确定集合：9
确定集合：0
代入公式：
=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）
=2
“由中间向外围”进行数据标记，进行简单加减运算，如下图过程所示：
据图可知，阴影部分的面积为：22＋25＋23＝70。
因此，选C。 例7：(江苏2009A类－19)
某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )。 A. 69 B. 65 C. 57 D. 46 【答案】 D 【解析】 [题钥]
“某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查”、“20人一部也没有看过”，相当于元素总量W为125－20＝105。
“有80人看过甲片”，相当于集合A为。
“有47人看过乙片”，相当于集合B为47。
“有63人看过丙片”，相当于集合C为63。
“其中有24人三部电影全看过”，相当于元素数量3为24。
求解“只看过其中两部电影的人数”，此类题目属于整体重复型问题，可采用方程法求解。
[解析]
根据题意，设：
只看过其中一部电影的人数为x，即元素数量1为x；
看过其中两部电影的人数为y，即元素数量2为y；
确定元素总量W：125－20＝105
确定集合A：
确定集合B：47
确定集合C：63
确定元素数量3：24
代入公式，列方程：
因此，选D。
例8：建华中学共有1600名学生，其中喜欢乒乓球的有1180人，喜欢羽毛球的有1360人，喜欢篮球的有1250人，喜欢羽毛球的有1040人，问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人？ A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】 B 【解析】 [题钥]
观察题目，发现采用公式法，文氏图法都是比较麻烦的。那么逆向考虑，看下各项活动都不喜欢的人有多少人，当这各项活动都不喜欢的人互不重叠的时候，可满足四项活动都喜欢的人最少。
[解析]
根据题意，可知：
不喜欢乒乓球的有：1600-1180=420人；
不喜欢羽毛球的有：1600-1360=240人；
不喜欢篮球的有：1600-1250=350人；
不喜欢足球的有：1600-1040=560人；
若这些人互不重叠则可满足四项运动都喜欢的人最少，为：
1600-（420+240+350+560）=30人。
