九年级圆的有关概念和垂径定理数学人教版知识精讲

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

圆的有关概念和垂径定理

圆是平面几何中唯一的一个曲线形，它有着很多独特的性质，所以圆不论是在理论上还是在实际应用中都占有重要位置。

这一部分要求同学们理解圆的定义，掌握点和圆的位置关系，理解圆的有关概念，了解三角形的外接圆，三角形的外心、圆的内接三角形的概念。

垂径定理是圆的有关性质中的重要定理，应用定理的前提是理解它的实质，并准确地记忆。

【典型例题】

例1. ⊙O的直径是8cm，若P是⊙O内的一点，求OP的取值X围。

分析：已知⊙O的直径，便可求出⊙O的半径为4cm，还已知点与圆的位置关系，由此可确定点和圆心的距离应小于半径长且大于或等于0，同学们容易忽略点P与圆心重合的可能性。

解：0cmOP4cm

例2. 如图，已知△ABC中，BD、CE是两条高

A E D B C

O 求证：B、C、D、E四点在同一个圆上。

分析：本题关键是确定圆心的位置，先考虑B、C、E三点确定的圆的圆心，因为△BCE是直角三角形，BC是斜边，所以△BCE的外接圆的圆心是BC的中点O，又因为BC也是直角三角形BCD的斜边，所以Rt△BCD的外接圆的圆心也是BC中点O，易证这两个外接圆的半径相等，即OB=OE=OD=OC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，就可证出。两外接圆的圆心相同，半径相等，所以两圆重合，即B、C、D、E四点在同一个圆上。

证明：取BC的中点O，连结OD、OE ∵∠BDC=90° OB=OC

∴OD是Rt△BDC斜边上的中线

1BCOBOC 21同理OEBCOBOC

2∴OD∴OB=OC=OD=OE

∴B、C、D、E都在以O为圆心，OB为半径的圆上。

例3. 如图，已知：AB是⊙O的弦，半径OC交AB于D，求证：∠ODB>∠OBD，∠ODB>∠OBC。

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word O A D C B

分析：两个角比较大小，常用的方法有两种，若两个角在同一个三角形中，则有大边对大角，小边对小角。另一种方法是，三角形的外角大于与它不相邻的任一内角。本题要用到第二种方法。

圆的基本性质中有一条“同圆的半径相等”应用这条性质，可以在圆内得到的半径为腰的等腰三角形。

证明：∵OA=OB，OC=OB ∴∠A=∠OBD，∠C=∠OBC 又∵∠ODB>∠A，∠ODB>∠C

∴∠ODB>∠OBD，∠ODB>∠OBC。

例4. 如图，已知⊙O中，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB。求证：AC=BD

O A C M D B

分析：本题是垂径定理在证明题中的应用。因为CD是⊙O中的弦，所以过圆心O作CD的垂线段（即作出弦CD的垂径）是需要添加的辅助线。 证明：过O作OM⊥AB于M ∵OA=OB，∴AM=BM 又∵OM⊥AB，CD是弦 ∴CM=DM

∴AC=AM－CM BD=BM－DM ∴AC=BD

说明：垂径定理的应用，又为证线段相等拓宽了思路，另外，圆的问题转化为直线形问题求解是研究圆的命题的一大特点。 例5. 如图⊙O的直径为4cm，M是劣弧

的中点，从M作弦MN，且MN=

23cm，MN、AB交于P点

求：∠APM的度数。

O A N F E P B M

分析：因为M为的中点，所以连结OM就可推出OM⊥AB，设垂足为E，要求∠APM的度数，只要求出∠M的度数，在Rt△OFM中，容易算出∠M。 解：连结OM，∵M为∴OM⊥AB于E点

的中点

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word 作OF⊥MN于F，

∴MF1MN3 2在Rt△OFM中，OM2，MF3 ∴cos∠MMF3OM2∴∠M30°

∴∠APM=60°

说明：添加的两条辅助线OM、OF都起到了构造垂径定理的基本图形的作用。 例6. 如图△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以B为圆心，AB为半径作过AC的中点D，且EF∥BC交

于E，求DE的长。 A ，线段EF

F B D E C

分析：要求DE的长，可先求出FE和FD的长，再用FE－FD即可。所以可以构造含FE的直角三角形。连结BE即可。FD的长可以由FD∥BC，D是AC中点推出FD是Rt△ABC中位线从而得到。

解：连结BE BE=BC=2 ∵FE∥BC，D是AC中点

∴F是AB中点DF1BC12BF1AB1 2∵∠ABC=90°∴∠BFE=90°

在Rt△EFB中，EF2BE2BF2

∴EF22123

∴DE=FE－FD

31

说明：本题中应用了过三角形一边的中点且平行另一边的直线必平分第三边的知识点。 例7. 如图，已知：AB是半圆O的直径，C、O、D将AB四等分，E、F在半圆上，CE⊥AB，DF⊥AB，求证：E、F将半圆三等分。

E F A

分析：要证两条弧相等，目前只能通过垂径定理证得，所以要构造垂径定理的基本图形。 证明：连结AE、OE、OF、FB、EF、EB、AF ∵EC⊥AO且C为AO的中点。 ∴EA=EO，又∵OE=OA

∴△AEO为等边三角形，∴∠AOE=60°

同理可证△BFO为等边三角形，∴∠BOF=60° ∴∠EOF=60°，∵OE=OF ∴△OEF也是等边三角形

C O D B 3 / 8

word ∴AE=EF=OF=OA

∴四边形AOFE是菱形

∴对角线AF与OE互相垂直平分 ∴

=

同理可证出= ∴E、F将半圆三等分。

例8. 已知⊙O中，M是弦AB上一点，OA=13，OM=5，AB=25，求AM、MB的长。

O A M C (1) B O A C M (2) B

分析：在根据条件画图时，应考虑到符合题意的图形的各种位置。条件中，M是弦AB上一点，要考虑M离A近及M离B近两种情况，应避免出现丢解的现象。 解：作OC⊥AB于C，则AC125 AB2225251) 24在Rt△OAC中，OC2OA2AC2132(当点M在AC上时，（图1），

CMOM2OC252517 422579 22257BMBCMC16

22AMACCM当点M在BC上时，（图2）

AM=AC+CM=16 BM=BC－CM=9

例9. 已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于M，AE⊥CD，BF⊥CD，E、F为垂足，求证：CE=DF

B O C E A M N F D

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word 分析：本题中要证CE=DF，只有从垂径定理，平行线等分线段定理考虑，证出=DN，EN=FN再利用等式性质得出结论。 证明：作ON⊥CD于N ∴=DN

∵AE⊥CD BF⊥CD ∴AE∥ON∥BF

又∵OA=OB ∴EN=FN（平行线等分线段定理） ∴－EN=DN－FN 即 CE=DF

例10. 已知：如图⊙O中两条相等的弦AB、CD分别延长到E、F，使BE=DF，求证：EF的垂直平分线必过O点。

C A M D O N B F E

分析：要证EF的垂直平分线过O点，就是要证OF=OE，所以首先要连结OE、OF，由已知AB、CD是⊙O中两条相等的弦，想到要作出这两条弦的垂径，构造垂径定理的基本图形。

证明：连结OE、OF

过O作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N ∵CD=AB

∴OM=ON CM=DM=AN=BN ∵BE=DF

∴BE+BN=DF+DM 即NE=MF

∴由勾股定理计算可得 OE=OF ∴EF的垂直平分线必过O点。

【模拟试题】

一、选择题

1. 圆是轴对称图形，它的对称轴有（） A. 一条 B. 二条 C. 四条

D. 无数条

2. 已知⊙O的半径为8，点P与O的距离为62，则（） A. P在⊙O的内部 B. P在⊙O的外部 C. P在⊙O上 D. 以上答案都不对

3. 如果三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 4. 下面4个结论中，正确的是（） A. 两个同心圆一定是等圆 B. 两个等圆一定是同心圆

C. 两个等圆的圆心相同，半径相等

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word D. 两个半径相等的圆是等圆

5. ⊙O的直径是15cm，CD过圆心O且垂直弦AB于M，OM∶OC=3∶5，则AB的长是（）

A. 24cm B. 12cm C. 6cm D. 3cm

6. 正方形ABCD的四个顶点可以确定的圆的个数是（）

A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 二、填空题

7. 在半径为10cm的⊙O中，弦AB长为10cm，那么圆心O到AB的距离为_________cm。 8. 在直径为50cm的圆中，圆心到弦的距离为7cm，这条弦长为_________cm。 9. 边长为a的等边三角形的外接圆半径为_________cm。 10. 过⊙O内一点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为_________cm。 11. 如图，EF是⊙O的直径，MN为弦，且EF=10cm，MN=8cm，则E、F两点到直线MN的距离之和为_________。

O E M N F

三、解答题

12. 如图，已知OC是⊙O的半径，M是OC的中点，弦AB过M点，且AB⊥OC，若OC=4cm，求AB的长。

O A M C B

13. 如图，已知：⊙O1和⊙O2相交于A、B，过A点作连心线O1O2的平行线交两圆于C、D，求证：CD=2O1O2

A C D O1 B O2

14. 已知：AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD于C，DF⊥CD于D，求证AE=BF。

D C A E O F B

【试题答案】

6 / 8

word 一、1. D 2. B 3. C

4. D 9.

5. B 6. A

11. 6cm

二、7. 53

8. 48

3a 310. 3

三、12. 解：连结OA

O A M C ∵OC⊥AB，且M是OC的中点 ∴OMMCB

11OC×42(cm) 22在Rt△OAM中，由勾股定理得：

AMOA2OM2422223(cm)

又∵OC⊥AB

∴AB=2AM=2×2343（cm） ∴AB的长为43cm。

13. 证明：过O1作O1E⊥CD于E点

E C O1 B A F O2 D

过O2作O2F⊥CD于F点

∴O1E∥O2F 又∵O1O2∥CD

∴四边形O1O2FE是矩形 ∴EF=O1O2

在⊙O1中，由垂径定理知，CE=AE 即CA=2AE，同理DA=2AF ∴CD=CA+DA=2(AE+AF)=2EF ∴CD=2O1O2

14. 证明：过O作OM⊥CD于M，∴CM=DM

M C D B A E O F

又∵CE⊥CD DF⊥CD ∴CE∥DF

∴四边形CEFD为梯形

在梯形CEFD中，∵OM⊥CD，且CM=DM

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word ∴OE=OF，

∵OA=OB，∴AO－OE=OB－OF， 即AE=BF 年级 初三 学科 数学 版本 人教版 分类索引描述 期数 010 学习资料 栏目名称 同步课堂 审稿老师 一校 二校 审核 内容标题 圆的有关概念和垂径定理 分类索引号 主题词 录入

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