6 巧解空间几何体中的最值问题
在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题．
例1 如图，侧棱长为23的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．
解题流程 正三棱锥→沿一条侧棱将侧面展开→解三角形
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，
线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值，取AA1的中点D，则VD⊥AA1，∠AVD＝60°，可求
AD＝3，则AA1＝6.
例2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为2，M，N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从M点绕圆柱体的侧面到达N点，求其最短长度．
解题流程 圆柱→沿一条母线将侧面展开→长方形
解 如图所示，从M点绕圆柱体的侧面到达N点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶点M到达不相邻的另一个顶点N，而两点间以线段的长度最短，故最短长度为
2π×1
2
＋2＝4π＋4＝2π＋1.
222
例3 已知圆锥底面半径为1，高为22，轴截面为PAB，如图，从A点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到A点，求最短绳长．
解题流程 圆锥→沿一条母线将侧面展开→扇形 解 圆锥沿PA将其两侧面展开为平面扇形如图．
∵OA＝1，PO＝22，∴PA＝3， 2π
∴∠APA′＝×360°＝120°.
2π·3作PD⊥AA′，则∠APD＝60°. ∴AA′＝2AD＝2×3×sin60°＝33， ∴最短绳长为33.
评注 在立体几何中常通过转化的方法将立体几何问题转化为平面几何问题来解决．常考的转化与化归思想有“化曲为直”“化体为面”等．有关几何体的距离的最值问题，通常办法是将其转化为平面图形，利用两点间的线段距离最小来求解，这也是解立体图形的常用方法，将立体问题(空间问题)转化为平面问题，从而将未知问题转化为已知问题，而且降低了难度． 对点练习
长方体ABCD－A1B1C1D1的长，宽，高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为( ) A．1＋3 C．32
解析 求表面上最短距离可把几何体展开成平面图形，如图(1)所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.
B．2＋10 D．23
如图(2)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝5＋1＝26，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是26；
2
2
如图(3)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝3＋3＝32，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是32；
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如图(4)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝4＋2＝25，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是25.由于32<25，32<26，所以由A到C1沿长方体表面的最短距离是32. 答案 C
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