量子力学复习资料

1能量量子化

辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量 的整数倍,2,3,4,,n 对频率为 的谐振子, 最小能量为: hν

2.波粒二象性

波粒二象性（wave-particle duality）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。 德布罗意公式Emchν pmv2h

3.波函数及其物理意义

在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程

22i(r,t)[V(r)](r,t)0 t2m粒子的波动性可以用波函数来表示，中，振幅

表示波动在空间一点(x,y,z)上的强弱。所以，

其应

该表示 粒子出现在点(x,y,z)附件的概率大小的一个量。从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。

自由粒子的波函数kAexp[(prEt)]

i波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性

4. 波函数的归一化及其物理意义

)常数因子不确定性设C是一个常数，则  ( x , y , z )和 c  ( x , y , z对粒子在点(x,y,z)

附件出现概率的描述是相同的。

(xy , z )和 e i 相位不定性如果常数 C  e i ，则 , ( x , y , z ) 对粒子在点(x,y,z)附

件出现概率的描述是相同的。

2 | ( x , y , z ) | 表示粒子出现在点(x,y,z)附近的概率。

| ( x , y , z ) |2 y  z 表示点(x,y,z)处的体积元     x z 中找到粒子的概 x  y 率。这就是波函数的统计诠释。自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1

2必然有以下归一化条件 |(x,y,z)|dxdydz15. 力学量的平均值

既然 | ( r ) | 2  |  ( 表示 粒子出现在点 r  ( x , y , z ) 附件的概率，那么粒子x , y , z ) |2坐标的平均值，例如x的平均值x，由概率论，有 x又如，势能V是 r的函数：V(r)，其平均值由概率论， 可表示为V__

23|(r)|xdr*(r)x(r)d3r,drdxdydz33再如，动量 的平均值为： p(p)p(p)dp,3为什么不能写成 p*(r)p(r)(r)dr**(r)V(r)(r)d3rV*(r)V(r)(r)d3r

因为x完全确定时p完全不确定，x点处的动量没有意义。 能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 可以，但需要表示为p__

*3ˆ(r)(r)pdr ˆ  其中 p   i   为动量 p 的算符

6.算符

量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算

ˆi 如动量算符p能量算符Eiˆ Et*3ˆ(r)T(r)dr 22ˆ动能算符T 动能平均值T2mˆˆ 角动量平均值l角动量算符lrpˆ3(r)l(r)dr *22i(r,t)[V(r,t)](r,t)

薛定谔方程

t2m

22 算符 H ˆ    V(r ) ，被称为哈密顿算符，

7.定态

2mˆ算符,f本征函数,a本征值ˆ 数学中，形如 Af af 的方程，称为本征方程。其中 A2方程  2    ˆ   称为能量本征方

[2mV(r)]E(r)EE(r)HE(r)EE(r)程， 

E(r)被称为能量本征函数， E被称为能量本征值。 当E为确定值，(r,t)=E(r)exp(

iEt)拨函数所描述的状态称为定态，处

于定态下的粒子有以下特征：

粒子的空间概率密度不随时间改变，任何不显含t的力学量的平均值不随时间改变，他们的测值概率分布也不随时间改变。

8.量子态叠加原理

但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一本征态，而是以某种概率处于其中的某一本征态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即

(x)cnn(x)n，

|cn|2表示在态(x)中发现粒子处于态n(x),具有能量En的概率

9. 宇称

若势函数V（x）=V（-x），若(x)是能量本征方程对于能量本征值E的解，则(x)也是能量本征方程对于能量本征值E的解

定义空间反演算符P为:P(x)(x)

如果P(x)(x)(x)

或P(x)(x)(x)， 称(x)具有确定的偶宇称或奇宇称，如

偶宇称Pcos(x)cos(x)cos(x)

奇宇称Psin(x)sin(x)sin(x)

注意：一般的函数没有确定的宇称

设(x)是能量本征方程对应于能量本征值E的解，如果V(x)V(x),若(x)无简并，则(x)具有确定的宇称。

10.束缚态

通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态

11. 一维谐振子的能量本征值

EEn(n1/2),n0,1,2,.12. 隧穿效应

量子隧穿效应为一种量子特性，是如电子等微观粒子能够穿过比它们能量大的势垒的现象。这是因为根据量子力学，微观粒子具有波的性质，而有不为零的概率穿过位势障壁。 又称隧穿效应，势垒贯穿。按照经典理论，总能量低于势垒是不能实现反应的。但依量子力学观点，无论粒子能量是否高于势垒，都不能肯定粒子是否能越过势垒，只能说出粒子越过势垒概率的大小。它取决于势垒高度、宽度及粒子本身的能量。能量高于势垒的、运动方向适宜的未必一定反应，只能说反应概率较大。而能量低于势垒的仍有一定概率实现反应，即可能有一部分粒子(代表点)穿越势垒(也称势垒穿透barrier penetration)，好像从大山隧道通过一般。这就是隧道效应。例如H+H2低温下反应，其隧道效应就较突出。

13. 算符对易式

ˆˆˆˆ一般说来，算符之积不满足交换律，即 A B  B A ，由此导致量子力学中的一个基

本问题：对易关系 ˆˆˆˆˆ,Bˆ]0对易式  A 和 B ˆ , 设 [ A , B ˆ ]  A ˆ ˆ  B A ，通常 [AB坐标对易关系

i, [  , p  ]  i       ,x,y,zˆ0,

角动量的对易式

ˆ,x]0,[lˆ,y]iz,[lˆ,z]iy,[lxxxˆ,x]iz,[lˆ,y]0,[lˆ,z]ix,[lyyyˆ,x]iy,[lˆ,y]ix,[lˆ,z]0,[lzzy

ˆ,pˆ,pˆ,p[lˆx]0,[lˆy]ipˆz,[lˆz]ipˆy,xxxˆ,pˆ,pˆ,p[lˆx]ipˆz,[lˆy]0,[lˆz]ipˆx,yyyˆ,pˆ,pˆ,p[lˆx]ipˆy,[lˆy]ipˆx,[lˆz]0,zzy

ˆ,lˆ]0,[lˆ,lˆ]0,[lˆ,lˆ]0,[lxxyyzzˆ,lˆ]ilˆ,[lˆ,lˆ]ilˆ,[lˆ,lˆ]ilˆ[lxyzyzxzxy

ˆ2lˆ2lˆ2lˆ2,有 令lxyz 2[lˆ,lˆx]0,[lˆ2,lˆy]0,[lˆ2,lˆz]0

14.厄密算符平均值的性质

~*~*ˆˆˆˆˆˆˆ。A,则A的共轭转置算符A称为A的厄密共轭算符,记为A,即A＝A先转置，再共

轭。

~ˆdAˆ* dA*体系的任何状态下，其厄密算符的平均值必为实数，在任何状态下平均值为实的算符必为厄

米算符，实验上可观测量相应的算符必须是厄米算符。 厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。

15. 量子力学关于算符的基本假设

1、微观粒子的状态由波函数    ( r , t ) 描写。

2、波函数的模方 | ( r , t ) |2 表示 t 时刻粒子出现在空间点(x,y,z)的概率。 3、力学量用算符表示。

4、波函数的运动满足薛定格方程

22ˆ(ri(r,t)(V)(r,t)H,t),t2m2ˆH2V(r,t)哈密顿算符2mˆ 数学中，形如 Af af 的方程，称为本征方程。其中

16. 算符的本征方程，本征值与本征函数

ˆ算符,f本征函数,a本征值AˆA的和A不止一组,满足AˆA可能有n组，因此Annnˆ的此式称为A的本征方程，An称为Aˆ的一个本征态。一个本征值，称为Anˆn和An是算符A的本征态与本征值，如果An,都是不简并的，则n能构成一组正交归一完备态矢，系统的任何状态均可展开如下：(x)ann,其中，ann*3drn17. 不确定度关系的严格表达

18. 两个算符有共同本征态的条件

ˆ,Bˆ]0 两个算符对易，即[A19. 力学量完全集

若算符的本征值是简并的，仅由其本征值无法惟一地确定其本征态。若要惟一地确定其本征态，必须再加上另一些与之对易的算符的本征值才可。例如，仅由

的本征值不能确定体

系状态，必再加上 的本征值才能确定体系状态。这样，为了完全确定一个体系的状态，

我们定义力学量完全集。

定义：如果有一组彼此而且相互对易的厄米算符 征函数集，记为

，

，它们只有一组共同完备本

可以表示一组量子数，给定一组量子数后，就完全确定了体系

为体系的一组力学量完全集。

的一个可能状态，则称

20. 力学量完全集共同本征态的性质

若能级简并

21. 守恒量

对于Hamilton量H不含时的量子体系，如果力学量A与H对易，则无论体系处于什么状态（定态或非定态），A的平均值及其测值的概率分布均不随时间改变，所以把A称为量子体系的一个守恒量。

22.狄拉克符号，内积及其表示形式，算符向左作用

把希尔伯特空间一分为二，互为对偶的空间，就是狄拉克符号的优点。用右矢|α>表示态矢，左矢<α|表示其共厄矢量，<α|β>是内积，<α|α>大于等于0，称为模方。|β><α|是外积。

|右矢代表量子态；|左矢量子态的共轭态*

ˆ2,lˆ) |k,如球谐函数Ylm是(l若k是力学量完全集 F的本征态，则|kz的共同本征函数，|Ylm|lm

采用狄拉克符号表示量子态是，都只是一个抽象的态矢，未涉及任何具体的表象。

|kkk|I或PkI,Pk|kk|为投影算符

k

算符向左作用

23.角动量平方和角动量z分量的共同本征函数

ˆ2和lˆ的共同本征函数为这样，lz 2l1(lm)!mimPl(cos)e4(lm)!Ylm(,)(1)m其中ml,l1,,l1,l,l0,1,2,

Ylm称为球谐函数，它们满足ˆ2Yl(l1)2YllmlmˆlzYlmmYlmml,l1,,l1,l,注意，推导过程计算题有可能要考

注意量纲

l0,1,2,24. 氢原子的能量本征值与能级简并度

EEne41e2122,2an22nn1,2,3,,

氢原子的能级是n2简并的

25. 正常Zeeman效应

原子在外磁场中发光谱线发生且偏振的现象称为塞曼效应；历史上首先观测到

并给予理论解释的是谱线一分为三的现象，后来又发现了较三现象更为复杂的

难以解释的情况，因此称前者为正常或简单塞曼效应，后者为反常或复杂塞曼效应。

26. 电子自旋

电子的基本性质之一。电子内禀运动或电子内禀运动量子数的简称

自旋不是机械的自转

27关于电子自旋的Stern-Gerlach实验

Stern-Gerlach experiment 首次证实原子在磁场中取向量子化的实验，是由O. 斯

特恩和W.革拉赫在1921年完成的。实验装置如图斯特恩－革拉赫实验装置示意图示。使银原子在电炉O内蒸发,通过狭缝形成细束， 经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于束方向）,最后到达照相底片P上。在显像后的底片上现了两条黑斑，表示银原子在经过不均匀磁场区域时成了两束。

实验上高温炉中的Ag原子处于高压，从高温炉中出来之后迅速冷却，处于基态，磁量子数为零，似乎不该偏转，因此原子除了轨道磁矩外，还有其他磁矩，即自旋磁矩。

28碱金属原子光谱双线结构

对钠原子，3p3s的跃迁产生一条黄线5.3nm,用高分辨率的光谱仪进行观测，发现它实际上是由两条谱线构成：15.6nm，25.0nm。与Zeeman效应不同，此现象并非外界因素作用的结果，而是原子的故有特性。其根源正是电子的自旋。

29. 量子跃迁与选择定则

在外电场的激发下，谐振子从基态|0只能跃迁到第一激发态|1。

q22P10()2e2Pn0()0,n12220,以上结果表明，01可以发生，

02，03，，0n不能发生，表明允许谐振子n1的跃迁发生，这称为跃迁的选择定则。即谐振子只能跃迁到相邻能级

30.禁戒跃迁

已知Ckk(t)kk1itikktkdteHk(12)0令Pkk(t)|Ckk(t)|2,则Pkk(t)代表系统从初态k跃迁到末态k的概率。当kk时，有1kdt|2Pkk(t)2|eikktHk0表明从k到k的跃迁是不可能的，或者说，从k到k的跃迁是禁戒的。在外电场的激发下，谐振子从基态|0不能跃迁到激发态|n,其中n1。或者说， 02，03，，0n的跃迁为禁戒跃迁。t(13)

k0，Pkk0，若存在这样的末态k，使得Hk31. 微扰论的思想

解薛定谔方程的一种常用的近似方法。一个量子体系，如果总哈密顿量的各部分具有不同的数量级，又对于它精确求解薛定谔方程有困难，但对于哈密顿量的主要部分可以精确求解,便可先略去次要部分,对简化的薛定谔方程求出精确解；再从简化问题的精确解出发，把略去的次要部分对系统的影响逐级考虑进去，从而得出逐步接近于原来问题精确解的各级近似

解。这种方法称为微扰论。

32.突发微扰与绝热微扰

当外界的微扰十分缓慢地作用到系统上时，不会改变系统的状态，这样的微扰叫做绝热微扰。当外界的微扰十分突然地作用到系统上时，也不会改变系统的状态，这样的微扰叫做突发微扰。

33. 能量与时间不确定度

tEh被称为时间－能量的不确定度关系，可以证明此式的一般形式为：2此式反映了一个力学量变化快慢的周期t，同系统能量的不确定度E不能同时为零。Et34. 能级宽度与谱线宽度

由于能量不确定性Ekt2所以，所有的能级都有一个宽度，这叫能级的展宽。

(0)(0)既然能级有展宽，即EkEkEk,Ek1EkEk跃迁到Ek1时，1Ek1，所以，当电子从(0)(0)发出的谱线，就不止0(EkEk频率范围.谱线的频率应1)/h一个频率，而是有一个该是0,其中，(EkEk1)/h这叫谱线的展宽,称为谱线宽度。35.

半经典理论

36吸收，受激辐射，自发辐射

后记：本复习资料整理依据是往年的量子力学总结PPT，但是那个PPT只给了考点范围，没有给概念解释，所以我查阅了PPT，教材，百度，谷歌，维基之后加上个人理解整理而得，制作粗糙，请见谅。 本复习资料只能应付填空和问答题，我很确认计算题和证明题范围超出此资料，但具体范围不清楚。祝大家考出满意的成绩。

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