浙江理工大学大三物理专业量子力学试卷及答案 (4)

参考解答及评分标准

一、简答题

1. 写出三维无限深势阱

0,0xa,0yb,0zc V(x,y,z)

,其余区域中粒子的能级和波函数。 解：能量本征值和本征波函数为 Enxnynz222m2nxa2b22ny2nzc2， nyy8nxxnzzsinsinsin,0xa,0yb,0zcnxnynz(x,y,z)abcabc 0,其余区域n1,2,3,

2. 电子自旋假设的两个要点。

解：（1）电子具有自旋角动量s，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2；

 （2）电子具有自旋磁矩M，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即

自旋回转磁比值 gs内禀磁矩ee2取为单位，

自旋mc2mc轨道磁矩e1。

轨道角动量2mc轨道回转磁比值 gl

3. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？在两种表象中，各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？

解：有耦合表象和非耦合表象两种。

2耦合表象的力学量完全集是J12,J2其共同的本征态是j1j2jm，,J2,Jz，简记为jm，

本征值分别由下式给出：

J12j1j2jmj1(j11)2j1j2jm,2J2j1j2jmj2(j21)2j1j2jm,J2j1j2jmj(j1)2j1j2jm,

Jzj1j2jmmj1j2jm。2非耦合表象的力学量完全集是J12,J1z,J2,J2z，其共同的本征态是j1m1j2m2，本征值

分别是

J12j1m1j2m2j1(J11)2j1m1j2m2,J1zj1m1j2m2m1j1m1j2m2,J22j1m1j2m2j2(J21)2j1m1j2m2,

J2zj1m1j2m2m2j1m1j2m2。4. 何谓光的吸收？何谓光的受激辐射？何谓光的自发辐射？

解：在光的照射下，原子可能吸收光而从低能级跃迁到较高能级的现象，称为光的吸收。

在光的照射下，原子可能吸收光而从较高能级跃迁到较低能级并放出光的现象，称为受激辐射。

如果原子本来处于激发能级，即使没有外界光的照射，也可能跃迁到某些较低能级并放出光来，这一现象称为自发辐射。

二、填充题

5. 量子力学中，一个力学量Q守恒的条件有两个，即 6. 粒子在一维势阱 V(x)(x)Q0,[Q,H]0。 t(0)

2m(0)。 2中运动，波函数为(x)，则(x)的跃变条件为(0)(0)7. 电子自旋sz的二本征值和对应的本征态分别为

sz10；,12(sz)s,(s)z12z01。 22018. 在z表象中的泡利矩阵为x10,

yi0i,0z01

109. 量子力学中，体系的任意态(x)可用一组力学量完全集的共同本征态n(x)展开：

*(x)(x)dx。 (x)cnn(x)，展开式系数cn n(x),(x)nn

三、证明题

10. 设力学量A不显含时间t ，证明在束缚定态下， 证：设束缚定态为 ，即有

HE， HE ，

dA0 。 dtdA1A。 A,HdtitA0，因而 t因A不显含时间t，所以

dA11A,HAHHA dtii1AHHAi1EiAEA0

11. 已知Naa为声子数算符，其归一化本征态为 nnn1n!an0，

利用aaaanan1，证明：

annn1。

ann1n1,证： ana1n!an01n!nan10n1n1!an10n1n1。

ana1n!an0aanan11n!0，

0nn1。

因为 a00，所以中括号中第一项对后面运算的结果为0，因而

anna

n11n!0n1n1!an1四、计算题

12. 质量为m的粒子处于能量为E的本征态，波函数为(x)Axe样的位势中运动？

解： S.eq联系了m、、V、E和(x)，知道了其中一部分，就可以求出其它部分。本题中要求解位势。从S.eq

2(x)V(x)(x)E(x) 2m12x22，问粒子在什么

看，只要把题给的能量本征函数(x)代入运算，即可得解：

2(x)x。 EV(x)Em2m(x)13. 一质量为m的粒子在一维势箱0xa中运动，其量子态为

(x)x3x213sin sina2a2a① 该量子态是否为能量算符H的本征态？

② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？

解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为

nxsin, naa,xax或xa

n222En,n1,2,3,

2a2对波函数的分析可知

13 (x)1(x)3(x)

22即粒子处在1(x)和3(x)的叠加态，该量子态不是能量算符H的本征态。

② 由于(x)是能量本征态1(x)和3(x)的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为

22922 E1 ,E32a22a2其出现的概率分别为

1331 ,442222③ 能量测量的平均值为

E1313227224E14E34492a22a2

14. 粒子在一维势场

,x0,xaV(x)xa2,0xa 中运动，甚小，试求基态能量准确到2的修正值以及应满足的条件。解：本题，一维无限深势阱，微扰取

Hax 22E(0)n2(0)2nn2a2,nasinax。 求到二级，矩阵元一般形式

nHlaasinnxaxasinlxadxnlasinsin 基态，n。一级修正

E()Ha。 二级修正

sinlE()HllE()E()lalE()l)

(cosl()l)。 l(l)l(la）当 l为偶数时，()l，这时 E()；

b）当 l为奇数时，令 lk,k,,,,上式给出

 E()kk(k)kkk1）2）3）4）5）6）（

（

（ （ （ （ E （7） aa由 E()E()E()，可得

a （8）