2017年高考真题——文科数学(全国Ⅲ卷)含解析

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知sincos4，则sin2=（ ） 3

- 1 -

A．7227 B． C． D． 99993x2y605．设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是（ ） x0y0A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3] 6．函数f(x)= sin(x+A．

)+cos(x−)的最大值为（ ） 366 B．1 C． 3 D．3.5 5sinx7．函数y=1+x+2的部分图像大致为（ ）

xA． B． C． D．

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B．

3πππ C． D． 424

- 2 -

33132AC1,AB，所以rBC，那么圆柱的体积是Vrh1，故选B. 224210．在正方体ABCDA1BC11D1中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BC1 D．A1E⊥BD C．A1E⊥AC

2x2y211．已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线

abbxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）

A．163 B． C． D．

33312．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a=（ ）

A．111 B． C． D．1 232二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量a(2,3),b(3,m)，且a⊥b，则m= .

3x2y21（a>0）的一条渐近线方程为yx，则a= . 14．双曲线25a915．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________。 x1，x0，116．设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是__________。

22，x0，三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

设数列an满足a13a2（1）求an的通项公式； （2）求数列(2n1)an2n.

an 的前n项和.

2n1- 3 -

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 天数 10，15） 2 15，20） 16 20，25） 36 25，30） 25 30，35） 7 35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

- 4 -

19．（12分）

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

- 5 -

20．（12分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

2

- 6 -

21．（12分）

已知函数f(x)=lnx+ax+(2a+1)x．

2

（1）讨论f(x)的学%单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)

- 7 -

32． 4a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为

ykt,x2m,.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3

与C的交点，求M的极径.

23．选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；

（2）若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

- 8 -

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则AB中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B

【解析】由题意可得：AB2,4 .本题选择B选项.

2．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B

【解析】由题意：z12i .本题选择B选项.

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．月接待游客逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

- 9 -

【答案】A

【解析】由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；

本题选择A选项.

4．已知sincos4，则sin2=（ ） 3A．7227 B． C． D． 9999【答案】A

sincos【解析】sin22sincos1本题选择A选项.

217 .

93x2y60x05．设x，y满足约束条件，则z=x-y的取值范围是（ ） y0A．–3,0] B．–3,2] C．0,2] D．0,3] 【答案】B

【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A0,3 处取得

最小值z033 . 在点B2,0 处取得最大值z202 . 本题选择B选项.

- 10 -

6．函数f(x)= sin(x+A．

)+cos(x−)的最大值为（ ） 366 B．1 C． 3 D．3.5 5【答案】A

【解析】由诱导公式可得：cosxcosxsinx ， 263316则：fxsinxsinxsinx ,

533536函数的最大值为 .

5本题选择A选项.

7．函数y=1+x+

sinx的部分图像大致为（ ） x2A． B． C． D．

- 11 -

【答案】D

【解析】当x1时，f111sin12sin12，故排除A,C,当x时，y1x，故排除B,满足条件的只有D,故选D.

8．执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D

【解析】若N2,第一次进入循环，12成立，S100,M入循环，此时S1001090,M的正整数N的最小值是2，故选D.

9．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B．

10010，i22成立，第二次进10101，i32不成立，所以输出S9091成立，所以输入103πππ C． D． 424【解析】如果，画出圆柱的轴截面

- 12 -

AC1,AB33132，所以rBC，那么圆柱的体积是Vrh1，故选B. 2422210．在正方体ABCDA1BC11D1中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BC1 D．A1E⊥BD C．A1E⊥AC 【答案】C

x2y211．已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线

abbxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）

A．163 B． C． D．

333【答案】A

【解析】以线段A1A2为直径的圆是xya，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到直线的距

222c22c6离d，故a，整理为a3b，即a3ac2a3c，即2 ，e22a3a3ab2ab2222222选A.

- 13 -

12．已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a=（ ）

A．111 B． C． D．1 232【答案】C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知向量a(2,3),b(3,m)，且a⊥b，则m= . 【答案】2

【解析】由题意可得：233m0,m2 .

3x2y21（a>0）的一条渐近线方程为yx，则a= . 14．双曲线25a9【答案】5

【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：y3x ，结合题意可得：a5 . a15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知C=60°，b=6，c=3，则A=_________。 【答案】75°

【解析】由题意：

bsinCbc ，即sinBcsinBsinC63322 ，结合bc 可得B45 ，2则A180BC75

x1，x0，116．设函数f(x)x则满足f(x)f(x)1的x的取值范围是__________。

22，x0，【答案】(

1,) 4- 14 -

x1111xx【解析】由题意得： 当x时2221 恒成立，即x；当0x时2x11 恒成

22221立，即0x11111；当x0时x1x11x，即x0；综上x的取值范围是(,) 22444三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生

都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

设数列an满足a13a2（1）求an的通项公式； （2）求数列

(2n1)an2n.

an 的前n项和.

2n1

18．（12分）

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

- 15 -

最高气温 天数 10，15） 2 15，20） 16 20，25） 36 25，30） 25 30，35） 7 35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

解：（1）需求量不超过300瓶，即最高气温不高于25C，从表中可知有54天， ∴所求概率为P543. 905（2）Y的可能值列表如下：

最高气温 10，15） 15，20） 20，25） 300 25，30） 900 30，35） 900 35，40） 900 Y 100 100 低于20C：y200625024504100；

[20,25)：y300615024504300；

不低于25C：y450(64)900

∴Y大于0的概率为P19．（12分）

2161. 90905如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

- 16 -

（1）证明：取AC中点O，连OD,OB ∵ADCD，O为AC中点， ∴ACOD，

又∵ABC是等边三角形， ∴ACOB，

又∵OBODO，∴AC平面OBD，BD平面OBD， ∴ACBD.

20．（12分）

在直角坐标系xOy中，曲线y=x+mx–2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

2解：(1)设Ax1,0,Bx2,0，则x1,x2是方程xmx20的根，

2

所以x1x2m,x1x22，

则ACBCx1,1x2,1x1x212110，

- 17 -

所以不会能否出现AC⊥BC的情况。

（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心

22Ex0,y0，则

x0x1x2m22，

2x1+x2x1x21x1x212xyy1y1000EAEC222，所以圆E的方2由得，化简得

m1m1xy12222， 程为令x0得

2222y11,y22，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为123，所以

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值

解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，

由x1x22可知原点O在圆内，由相交弦定理可得ODOCOAOBx1x22， 又OC1，所以OD2，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为OCOD3，为定值. 21．（12分）

已知函数f(x)=lnx+ax+(2a+1)x．

2

（1）讨论f(x)的学%单调性； （2）当a﹤0时，证明f(x)

32． 4a2ax2(2a1)x1(2ax1)(x1)解：（1）f'(x)(x0)

xx当a0时，f'(x)0，则f(x)在(0,)单调递增

11)单调递增，在(,)单调递减. 2a2a1) （2）由（1）知，当a0时，f(x)maxf(2a131110） f()(2)ln()1，令ylnt1t （t2a2a4a2a2a1则y'10，解得t1

t当a0时，则f(x)在(0,∴y在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减

- 18 -

∴ymaxy(1)0，∴y0，即f(x)max(332)，∴f(x)2. 4a4a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

x2+t,在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为

ykt,x2m,.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C． （m为参数）my,k（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)−2=0，M为l3

与C的交点，求M的极径.

（1）直线的普通方程为yk(x2) 直线的普通方程为x2ky 消去k得 x2y24， 即C的普通方程为x2y24. （2）化为普通方程为xy2 32xxy22联立2 得 2xy4y22222∴xy1825 44∴与C的交点M的极径为5. 23．选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；

（2）若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

- 19 -

（2）原式等价于存在xR，使f(x)x2xm 成立，即 [f(x)xx]maxm 设g(x)f(x)x2x

2x2x3,x12由（1）知 g(x)x3x1,1x2

x2x3,x2当x1时，g(x)x2x3 其开口向下，对称轴x

11 2- 20 -

∴g(x)g(1)1135 当1x2时 g(x)x23x1 其开口向下，对称轴为x∴g(x)g()3 2329951 424当x2时，g(x)x2x3 其开口向下，对称轴为x1 2∴g(x)g(2)4231 综上 g(x)max5 45]. 4∴m的取值范围为 (,

- 21 -