(满分 120 分，时间 70 分钟)
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1．a，b 在数轴上位置如图 K101，则 a，b，－a，－b
的大小顺序是(
)
A．－a＜b＜a＜－b B．b＜－a＜a＜－b C．－a＜－b＜b＜a D．b＜－a＜－b＜a
图 K101
图 K102
2．如图 K102， a∥b，∠1＝158°，∠2＝42°，∠4＝50°，
那么∠3＝(
)
A．50° B．60° C．70° D．80°
3．将大小相同的小正方体木块按如图 K103 方式摆放
于一墙角，图①中摆放有 1 个小正方体，图②中摆放有 4 个
小正方体，图③中摆有 9 个小正方体，…，按此规律，图⑥
中摆放的小正方体个数为(
)
图 K103
A．25 B．36 C．49 D．50
4．如图 K104，在等边三角形 ABC 中，AB，AC 都是
圆 O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M，N，如果
MN＝1，那么△ABC 的面积为( )
图 K104
3
A．3 B. 3 C．4 D.
3
5．若关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋kb＋1＝0 有两个
不相等的实数根，则一次函数 y＝kx＋b 的大致图象可能是
(
) A.
B. C. D.
6．如图 K105， A 点在半径为 2 的⊙O 上，过线段 OA
上的一点 P 作直线 m，与⊙O 过 A 点的切线交于点 B，且∠
APB＝60°，设 OP＝△x，则 PAB 的面积 y 关于 x 的函数图
象大致是(
)
图 K105
A.
B. C. D.
二、填空题(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 7．分解因式：m2n＋6mn＋9n＝________.
8．a，b 是两个连续整数，若 a＜ 7＜b，则 a－1＋
b＋5＝________.
9．如图 K106，将△ ABC 绕点 C 旋转 60°得到△A′B′C，
已知 AC＝6，BC＝4，则线段 AB 扫过图形(阴影部分)的面
积为________．
图 K106
图 K107
10．如图 K107，直线 y＝－3x＋6 交 x 轴，y 轴于 A，
k
B 两点，BC⊥AB，且 D 为 AC 的中点，双曲线 y＝ 过点 C，
x
则 k＝________.
三、解答题(一)(本大题 2 小题，每小题 11 分，共 22 分)
11．某校组织若干名学生外出参观，住宿时发现，若每
个房间住 4 人将有 20 人无法安排；若每个房间住 8 人，则
有一个房间的人不空也不满．问这批学生有多少人？共有几
个房间？
12．如图 K108，某商场设定了一个可以自由转动的转
盘(转盘被等分成 16 个扇形)，并规定：顾客在商场消费每满
200 元，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，
指针正好对准红、黄和蓝色区域，顾客就可以分别获得 50
元、30 元和 10 元的购物券．如果顾客不愿意转转盘，那么
可以直接获得购物券 15 元．
(1)转动一次转盘，获得 50 元、30 元、10 元购物券的
概率分别是多少？
(2)如果有一名顾客在商场消费了 200 元，通过计算说明
转转盘和直接获得购物券，哪种方式对这位顾客更合算？
图 K108
四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 16 分，共 48 分)
13．如图 K109，△ ABC 是直角三角形，∠ACB＝90°.
(1)动手操作：利用尺规作∠ABC 的平分线，交 AC 于点
O，再以 O 为圆心，OC 的长为半径作⊙O(保留作图痕迹，
不写作法)；
(2)综合运用：在你所作的图中，
①判断 AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
2
②若 AC＝12，tan∠OBC＝ ，求⊙O 的半径．
3
图 K109
14．如图 K1010，在△ ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝α，
点 D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ADE，使 AE＝AD，∠
DAE＋∠BAC＝180°.
(1)直接写出∠ADE 的度数(用含 α 的式子表示)；
(2)以 AB，AE 为边作平行四边形 ABFE，
①如图 K1011，若点 F 恰好落在 DE 上，求证：BD＝
CD；
②如图 K1012，若点 F 恰好落在 BC 上，求证：BD＝
CF.
图 K1010
图 K1011
K1012
图
15．如图 K1013，抛物线 y＝ax2＋bx＋2 与坐标轴交
于 A，B，C 三点，其中 B(4,0)，C(－2,0)，连接 AB，AC，
在第一象限内的抛物线上有一动点 D，过点 D 作 DE⊥x 轴，
垂足为点 E，交 AB 于点 F.
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在 DE 上作点 G，使点 G 与点 D 关于点 F 对称，以
G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中一条坐标轴相切
时，求点 G 的横坐标；
(3)过点 D 作直线 DH∥AC 交 AB 于 H△，当 DHF 的面积
最大时，在抛物线和直线 AB 上分别取 M，N 两点，并使 D，
H，M，N 四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的
M，N 两点的横坐标．
图 K1013
(满分 120 分，时间 50 分钟)
一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)
1 ．若 m 与 3 互为相反数，则|m －3|的值为(
)
A ．0 B ．6 C.
10
D.
3 3
8
2 ．一列数：1 ，－2,3，－4,5，－6,7，…，将这列数排
成如图 K111 所示的形式．按照此规律排下去，那么第 10
行从左边数第 5 个数等于(
)
图 K111
A ．－50 B ．51 C ．55 D ．－56
3 ．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求
进行直走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走 2 米，
然后左转 45°.若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一
次回到原处，机器人共走了(
)
A．14 米 B．15 米
C．16 米 D．17 米
4．将五个边长都为 2 cm 的正方形按如图 K112 所示摆
放，点 A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块
阴影面积的和为(
)
A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
图 K112
图 K113
K114
图
4
5．如图 K113， 函数 y＝－x 与函数 y＝－的图象相交
x
于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为点 C，D.则四边形 ACBD 的面积为(
)
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图 K114， ⊙O 是以原点为圆心， 2为半径的圆，
点 P 是直线 y＝－x＋6 上的一点，过点 P 作⊙O 的一条切线
PQ，点 Q 为切点，则切线长 PQ 的最小值为(
)
A．3 B．4
C．6－ 2 D．3
2－1
二、填空题(本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 7．计算：(－m3n)2＝________.
8．某区青少年活动中心组织一次少年跳绳比赛，各年
龄组的参赛人数如下表.
年龄组
12
13
14
15
岁
岁
岁
岁
参赛人
数
5 20 12 13
则全体参赛选手年龄的中位数是________岁．
9．如图 K115，⊙ O 的半径为 4，PC 切⊙O 于点 C，
交直径 AB 延长线于点 P，若 CP 长为 4，则阴影部分的面积
为________．
图 K115
图 K116
10．如图 K116，△ ABD 和△CED 均为等边三角形，AC
＝BC，AC⊥BC.若 BE＝ 2，则 CD＝________.
三、解答题(一)(本大题 2 小题，每小题 11 分，共 22 分)
3x－2
－x－1÷11．先化简，再求值：，其中x－1 x2－2x＋1
x－3x－2≥2，
x 是不等式组 的一个整数解．
4x－2<5x－1
12．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字
1,2,3,4 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小明
先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为 x；放回盒子摇
匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为 y.
(1)用树状图或列表法表示出 (x，y)的所有可能出现的结
果；
(2)求小明、小华各取一次小球所确定的点 (x，y)落在反
4
比例函数 y＝的图象上的概率．
x
四、解答题(二)(本大题 3 小题，每小题 16 分，共 48 分)
13．已知点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(不
与 A，B 重合)，分别过 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别
为 E，F.
(1)当点 P 为 AB 的中点时，如图 K117，连接 AF，BE.
证明：四边形 AEBF 是平行四边形；
(2)当点 P 不是 AB 的中点，如图 K118， Q 是 AB 的中
点．证明：△QEF 为等腰三角形．
图 K117
图 K118
14．如图 K119， AB 是⊙O 的直径，直线 BM 经过点 B，
点 C 在右半圆上移动(与点 A， 不重合)，过点 C 作 CD⊥AB， B
垂足为点 D，连接 CA，CB，∠CBM＝∠BAC，点 F 在射线
BM 上移动(点 M 在点 B 的右边)，在移动过程中保持 OF∥AC.
(1)求证：BM 为⊙O 的切线．
(2)若 CD，FO 的延长线相交于点 E，判断是否存在点 E，
使得点 E 恰好在⊙O 上？若存在，求∠E 的度数；若不存在，
请说明理由；
CG
，试问：点C在移(3)连接 AF 交 CD 于点 G，设 k＝
CD
动的过程中，k 的值是否会发生变化？若变化，请说明理由；
若不变，请直接写出 k 的值．
图 K119
1 3
15．如图 K1110，抛物线 y＝ x2－ x－9 与 x 轴交于 A，
2 2
B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC，AC.
(1)求 AB 和 OC 的长；
(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A，
B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D.设 AE
的长为 m△， ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，
并写出自变量 m 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，连接 CE△，求 CDE 面积的最大值；
此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积．(结果保
留 π)
图 K1110
个，黄色扇形有
1．B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D
7．n(m＋3)2 8.1＋29.10π
2 310.－32
3
11．解：设共有 x 个房间．依题意，得
8x>4x＋20，
x－
x＋20.
解得 5＜x＜7.
∵x 为整数，
∴x＝6,4x＋20＝44(人)．
答：这批学生有 44 人，共有 6 房间．
12．解：(1)∵转盘被等分成 16 个扇形，红色扇形有
3 个，蓝色扇形有 5 个，
∴P(获得 50 元购物券)＝1 16 ，
P(获得 30 元购物券)＝3
16 ，
P(获得 10 元购物券)＝5
16 .
(2)转转盘：1 3
16×50
×305 ×10＝95
＜15， 16 16 8 ＋＋
∴直接获得购物券的方式对这位顾客更合算．
13．解：(1)如图 D146，⊙O 即为所求作.
1
图 D146
(2)AB 与⊙O 相切，理由如下：
过点 O 作 OD⊥AB，垂足为 D，如图 D146.
∵∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.
∵BO 是∠ABC 的平分线，OD⊥AB，OC⊥BC，
∴OC＝OD.
∴AB 与⊙O 相切．
OC 2
(3)在 Rt△OBC 中，tan∠OBC＝ ＝
BC 3，
∴OD OC 2 BC＝ BC＝ 3.
又∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴Rt△ADO∽Rt△ACB.
AD OD 2 ∴ AC＝ ＝ .
BC 3
2 2
∴AD＝3 AC＝ ×12＝8.
3
设⊙O 的半径为 r，则 OD＝OC＝r，AO＝12－r.
在 Rt△ADO 中，根据勾股定理可得 r2＋82＝(12－r)2
，
10
解得 r＝ 3 .
10
∴⊙O 的半径是 .
3
14．(1)解：∵在△ABC 中，AB＝AC，∠ABC＝α， ∴∠BAC＝180°－2α.
∵∠DAE＋∠BAC＝180°，∴∠DAE＝2α.
∵AE＝AD，∴∠ADE＝90°－α；
(2)①证明：∵四边形 ABFE 是平行四边形，∴AB∥EF.
∴∠EDC＝∠ABC＝α.
由(1)知，∠ADE＝90°－α，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∴BD＝CD；
②证明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，∴∠C＝∠B＝α.
∵四边形 ABFE 是平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF.
∴∠EAC＝∠C＝α.
由(1)知，∠DAE＝2α，∴∠DAC＝α.
∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.
∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.
15．解：(1)∵B，C 两点在抛物线 y＝ax2＋bx＋2 上，
16a＋4b＋2＝0，∴
4a－2b＋2＝0.
1
a＝－4，解得1b＝.
2
1 1
∴所求的抛物线为 y＝－ x2＋ x＋2.
4 2
1 1
(2)抛物线 y＝－ x2＋ x＋2，则点 A 的坐标为(0,2)，设
4 2
直线 AB 的解析式为 y＝kx＋b，
b＝2，∴
4k＋b＝0.
k＝－1
，2解得b＝2.
1
∴直线 AB 的解析式为 y＝－ x＋2.
2
1
设点 F 的坐标为 x，－ x＋2 ，则点 D 的坐标为
2
11
x，－ x2＋ x＋2.
2 4
∵点 G 与点 D 关于 F 点对称，
13
∴点 G 的坐标为x， x2－ x＋2.
24
若以点 G 为圆心，GD 为半径作圆，使得⊙G 与其中一
条坐标轴相切，
①若⊙G 与 x 轴相切则必须有 DG＝GE，
1 3 1 1 1 3
即－ x2＋ x＋2－ x2－ x＋2＝－ x2－ x＋2，
2 4 2 4 2 4
2
解得 x＝ ，x＝4(舍去)．
3
②若⊙G 与 y 轴相切则必须有 DG＝OE，
1 1 1 3
即－ x2＋ x＋2－ x2－ x＋2＝x，
2 4 2 4
解得 x＝2，x＝0(舍去)．
综上，以点 G 为圆心，GD 为半径作圆，当⊙G 与其中
2
一条坐标轴相切时，点 G 的横坐标为 2 或 .
3
(3)点 M 的横坐标为 2±2
8
2，点 N 的横坐标为 ±2
3
3.
1．B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B
7．m6n2 8.13.5 9.8－2π 10. 3－1 11．解：原式＝
xxx＋1－1－13－ 2
x－1
·
x－2
＝
xxx＋2－2－1－ 2
x－1 x－2
·
＝－(x＋2)(x－1)
＝－x2－x＋2.
x－3x－2≥2，①
解不等式组
4x－2<5x－1，②
由①，得 x≤2.
由②，得 x＞－1.
所以不等式组的解集为－1＜x≤2，其整数解为 0,1,2.
由于 x 不能取 1 和 2，
所以当 x＝0 时，原式＝－0－0＋2＝2.
12．解：(1)列表如下
1
2
3
4
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4)
4
(2)共有 16 种情形，其中落在 y＝ 图象上的有 3 种，
x 3.∴P＝16
13．证明：(1)如图 D147，∵点 Q 为 AB 中点，∴AQ＝
BQ.
∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ＝∠AEQ.
在△BFQ 和△AEQ 中，
∠BQF＝∠AQE，BQ＝AQ.
∠BFQ＝∠AEQ，
∴△BFQ≌△AEQ(AAS)．∴QE＝QF. ∴四边形 AEBF 是平行四边形．
图 D147
图 D148
(2)QE＝QF，如图 D148，延长 FQ 交 AE 于点 D，
∵AE∥BF，∴∠QAD＝∠FBQ.
在△FBQ 和△DAQ 中，
AQ＝BQ，
∠BQF＝∠AQD，
∠FBQ＝∠DAQ，
∴△FBQ≌△DAQ(ASA)．∴QF＝QD.
∵AE⊥CP，∴EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线．
∴QE＝QF＝QD，即 QE＝QF.∴△QEF 是等腰三角形．
14．(1)证明：如图 D149，由题意知，∠ACB＝90°，
∴∠ OBM＝∠ ABC＋∠ CBF＝∠ ABC＋∠ BAC＝180°－∠
ACB＝90°.
∴OB⊥BM.∴BM 为⊙O 的切线．
图 D149
图 D150
(2)解：假设存在点 E，如图 D150，
∵CD⊥AB，∴DE＝DC.
∵OF∥AC，∴∠ACE＝∠CEF.
在△EOD 和△CAD 中，
∠E＝∠ACE，
ED＝DC，
∠EDO＝∠ADC，
∴△EOD≌△CAD(ASA)．∴OD＝DA.
OED 中，sin∠OED＝OD OD OD 1
在 Rt△ OE＝ OA＝ 2＝OD ，
2
∴∠E＝30°.
(3)解：如图 2，
E 存在，k 的值不会变化，k＝ 1
点2，
理由：∵点 C 在右半圆上移动(与点 A，B 不重合)
AC∥OF，
∴∠CAD＝∠FOB.
∵∠ABF＝90°，DC⊥AB，
∴∠ADC＝∠ABF.
，且
∴△ADC∽△OBF.
AD DC ∴ ＝ .
BF OB
又∵∠DAG＝∠BAF，∠ADG＝∠ABF＝90°，
AD DG
＝.∴△ADG∽△ABF.AB BF
∴
DG AD 2DG DC
＝.又∵AB＝2OB，∴ ，即 ＝
OB BF BF 2OBBF
＝
AD
GC 1
∴DC＝2DG，即 DG＝GC.∴k＝ .
DC 2
＝
1 3
15．解：(1)已知：抛物线 y＝ x2－ x－9.
2 2
当 x时，y＝－9x，则C(0，－9)； 3，x2＝6. y＝0 x2－ x－9 ＝0，得＝－ 1
1 3
2
2
则 A(－3,0)，B(6,0)．∴AB＝9，OC＝9. (2)∵ED∥BC△，∴ AED∽△ABC.
SΔAED AEs m∴＝ 2，得＝ 2，即SΔABC AB1 9
s
0. ＝ m21×9×9 2
2 SAEOCmm(3)∵＝·＝×9＝，ΔACE
1
1 2
9 2
2
9 1 1 9 81 ∴SΔCDE＝SΔACE－SΔADE＝ m－ m2＝－ m－ 2＋ .
2 2 2 2 8
9
时，S∵0＜m＜9，∴当 m＝ ΔCDE 取得最大值，最大值为 2
81
.8
9 9
此时，BE＝AB－AE＝9－ ＝ .
2 2
如图 D151，记⊙E 与 BC 相切于点 M，连接 EM，则
EM⊥BC，设⊙E 的半径为 r.
在 Rt△BOC 中，BC＝ CO2＋BO2＝ 117＝3 13. ∵∠OBC＝∠MBE，∠COB＝∠EMB＝90°.
∴△BOC∽△BME.
9
2 ME EB r 27 13
，∴r＝.∴ ＝ .∴ ＝
26 OC CB 9 3 132713 729
2＝ ∴所求⊙E 的面积为 ππ. 52
26
图 D151
