文科数学 2017年高三2017全国甲卷文数
文科数学
考试时间：____分钟 题型 单项选择题 填空题 简答题 得分 单项选择题 （本大题共12小题，每小题____分，共____分。）
1．设集合，则 ( A.
B. C. D.
2． （1+i）（2+i）=( ) A. B. C. D.
3．函数的最小正周期为( A. B. C. D.
4．设非零向量，满足，则( A. ⊥
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总分 )
)
)
B. C. ∥D.
5．若，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7．设满足约束条件则的最小值是( )
A. B.
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C. D. 8．函数A.
的单调递增区间是( )
B. C.
D.
9．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( ) A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 10．执行下面的程序框图，如果输入的
，则输出的
( )
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A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ) A.
B.
C.
D.
12．过抛物线方），为
的准线，点
的焦点，且斜率为
,则
的直线交到直线
于点（在的轴上
在上且的距离为 ( )
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A. B. C. D.
填空题 （本大题共4小题，每小题____分，共____分。）
13．函数14．已知函数
____.
是定义在
的最大值为____. 上的奇函数，当
时，
,则
15．长方体的长，宽，高分别为____.
16．的内角
____.
，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为
的对边分别为,若,则
简答题（综合题） （本大题共7小题，每小题____分，共____分。）
17．（12分） 已知等差数列
的前项和为
.
（1）若（2）若18．（12分） 如图，四棱锥
,
（1）证明：直线（2）若△
平面
; ，求四棱锥
的体积.
中，侧面
为等边三角形且垂直于底面
，求，求
.
的通项公式；
，等比数列
的前项和为
，
的面积为
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19．（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：
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20．（12分）
设O为坐标原点，动点M在椭圆C：足
.
上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满
（1）求点P的轨迹方程； （2）设点左焦点F. 21．（12分） 设函数（1）讨论（2）当
.
的单调性； 时，
，求的取值范围.
在直线
上，且
.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的
22．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系坐标方程为（1）M为曲线
中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
．
上的动点，点P在线段OM上，且满足
，求点P的轨迹
的极
的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．
23．选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知（1）（2）
．
．证明： ；
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答案
单项选择题
1. A 2. B 3. C 4. A 5. C 6. B 7. A 8. D 9. D 10. B 11. D 12. C 填空题 13.
14. 12 15.
16. 简答题 17. （1）18.
（1）见解析 （2）19.
（1）0.62 （2）见解析 （3）见解析 20. （1）21.
(1)见解析 （2）[1，+∞） 22.
（2）见解析
（2）见解析
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（1）23.
．（2）
（1）见解析（2）见解析
解析
单项选择题 1. 由题意2. 由题意3. 由题意略 4.
，应选C.
，应选B.
，应选A.
由题意C. 5.
由题意，其体积体积6.
，因为，所以，则，应选
，其体积．应选B．
，故该组合体的
绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点小值，最小值为
．应选A.
处取得最
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7.
函数有意义，则：
，解得：
或
，结合二次函数的单调性、
.
对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为8.
由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，应选D. 9.
阅读程序框图，初始化数值循环结果执行如下： 第一次：第二次：第三次：第四次：第五次：第六次：完毕循环，输出10.
如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：
．应选B．
； ； ； ； ； ；
．
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总计有25种情况，满足条件的有10种. 所以所求概率为11. 由题知
，与抛物线
联立得
，解得
.
所以，因为
，所以，因为，所以
所以到的距离为
填空题 12.
.
13.
.
14.
球的直径是长方体的体对角线，所以15.
由正弦定理可得
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.
简答题 16. （1）设
的公差为d，.由
得
的公比为q，则
,
d+q=3. ① 由
得 ②
联立①和②解得（舍去），
因此（2）由解得当当17.
的通项公式
得
时，由①得时，由①得
.
，则，则
. .
（1）证明：∵底面又
平面
，
中，平面
，∴
，∴平面
. ，
（2）∵侧面∴
中
是等边三角形，且垂直于底面边上的高也是四棱锥
,PM=
的高，设为，由
,PC=PD=
的面积为得
设BC=,则CM=，CD=,取CD的中点N,连结PN，
，因为的面积为，所以
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解得∴
（舍去），
18.
（1）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
因此，事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
K=
2.
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
（3）箱产量的频率分布直方图说明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 19. （1）设由
即
知
又点在椭圆上，则有
即
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（2）设，则有
即
设椭圆右焦点又
∴∴过点20.
且垂直于
的直线过
的左焦点
.
（1）f ’(x)=(1-2x-x)e
2
x令f’(x)=0得x=-1-当x∈（-∞，-1-∈（-1-
，x=-1+
，-1+
）时，f’(x)>0；当x）时，f’(x)<0；当x∈（-1-
，+∞）时，f’(x)<0
），（-1+
，+∞）单调递减，在（-1-，-1+
）单调
所以f(x)在（-∞，-1-递增
x(2) f (x)=(1+x)（1-x）e
当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）e，h’(x)= -xe＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，
xx故h(x)≤1，所以
f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1
当0＜a＜1时，设函数g（x）=e-x-1，g’（x）=e-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故e≥x+1
xxx当0＜x＜1，
，，取
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则
当
综上，a的取值范围[1，+∞） 21. ⑴设则
．
解得，化为直角坐标系方程为
,由题设知
．
（2）设点B的极坐标为
,于是△OAB面积
当时，S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为22. （1）
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（2）因为
所以，因此.
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