2015全国高中数赛湖南预赛试题及答案(A卷)

（2015-06-27）

一、选择题（每个5分，共6题）

1.将选手的9个得分去掉1个最高分，去年1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示，则7个剩余分数的方差为 A.

116 9B.

36 7C. 36 D.67 7

2.半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是 A.

3.已知数列{an}和{bn}对任意nN*，都有anbn，当n时，数列{an}和{bn}的极限分别是A和B，则

A. AB B. AB

C.

323R

B.

636R C.

113R D.525R

AB D. A和B的大小关系不确定

1n1Cmcos4.对所有满足1nm5的m,n,极坐标方程A. 6

B. 9

C. 12 D. 15

表示的不同双曲线条数为

5.使关于x的不等式x36xk有解的实数k的最大值是 A.

6.设M{|x2y2,x,yZ}，则对任意的整数n，形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中，不是M中的元素的数为 A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3

二、填空题（每个8分，共6题）

7.已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为： 8.对任一实数序列A(1,2,3,...)，定义△A为序列(21,32,43,...)，它的第n项是n1n，假定序列△（△A）的所有项都是1，且19920，则1的值为： 11n9.满足使I[i]为纯虚数的最小正整数n= 22363 B. 3 C.

63 D. 6

10.将1，2，3，...，9这9个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：

1

a1a2a3a4|aiT,i1,2,3,4}，将M中的元素按从7727374大到小顺序排列，则第2015年数是：

12.设直线系M:xcos(y2)sin1(02)，对于下列四个命题： 11.记集合T{0,1,2,3,4,5,6},M{①M中所有直线均经过一个定点

②存在定点P不在M中的任一条直线上

③对于任意整数n(n3)存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 ④M中的直线所能围成的三角形面积都相等

其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）

三、解答题（共4题，满分72分）

13.（本小题满分16分）

如图所示，AB为Rt△ABC的斜边，I为其内心，若△IAB的外接圆的半径为R，Rt△ABC的内切圆半径为r，求证：R(22)r.

2

14.（本小题满分16分）

x2y2x2y2如图，A，B为椭圆221（a>b>0)和双曲线221的公共顶点，P、Q分别为双曲

abab线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足APBP(AQBQ)(R,||1)

求证：（Ⅰ）三点O、P、Q在同一直线上；

（Ⅱ）若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1、k2、k3、k4，则k1+k2+k3+k4是定值。

15.（本小题满分20分）

1已知整数列{an}，{bn}满足an1an1，bn1anbn，对于正整数n，定义函数

2fn(x)x2anxbn，证明：若存在某个fk(x)有两个整数零点，则必有无穷多个fn(x)有两

个整数零点。

3

16.（本小题满分20分）

已知a0，函数f(x)lnxa(x1),g(x)ex。

（Ⅰ）经过原点分别作曲线yf(x)和yg(x)的切线l1和l2。已知两切线的斜率互为倒数，

e1e21求证： aee（Ⅱ）设h(x)f(x1)g(x)，当x0时，h(x)1恒成立，试求实数a的聚会范围。

4

2015年湖南省高中数学竞赛答案（A卷）

BBBADC

7.15 8.819 9.3 10.6 11.13.

386 12.②③ 2401

14.

5

15.

6

16.

7