1990年第4期侧绘通报2】关于置信椭圆的讨论丁军一前官取极限域可导出戈一(功诱劝(拟A尸A),甲‘置信椭圆(球)与点位误差椭圆(球)虽诱)全r’二)(功二一诱然有许多相似之处的两个概念但实质上它们是完全不同=aX卜合一,(26)点位误差椭圆或相对点位误差椭(诱x=ra功)x,(拟A尸A)r’功)’(诱二一二)功圆是用来直观地描述点位或平差值函数精度的几何表示;而置信椭圆则是用来直观地反映点F言一:(27)二视为空间向量如果把上两式中的功二功位或平差值函数的估值与期望之间差异的几何表示则两个等式表达了一个规定了一个椭球区域,r维超椭球也即这样这个区域以事先规定的本文首先对置信椭圆(球)进行讨论的一些应用二然概率包含了r维空间里的未知点功另外,在后比较其与误差椭圆的关系以及有关置信椭圆一组线性估值的椭球t信区域rL两式中若凯利逆不存在,可将凯利逆换成广2(犷义逆二个线性函数功踌=,只是相应自由度要发生一些变化设拟Ar尸A),‘诱=M)8设有一组.为一r‘u它们的最,因为M为实对称方阵无关的特征向量对应Br所以一定存在r个线性(29)优线性无偏估值(BLUE)为价=诱二矩阵其中功个特征值过将M谱分解知由〔1」‘一MB=卜亩(功(A功’‘功‘r’AP’功)’’‘其中:姓是M的特征值矩阵;B是M的特征值向量矩阵x(功r一价劝(21)MM刀==,BdBB效I丈(210)服从自由度为F的X“分布:充Br(211)一二rr‘为对角阵对角线上元素为M的特征,(功x一(A尸A)功)功劝(必厂尸犷/n一ur,一(功二,书)Z犷功值倒数,对应零特征值时8)相应元素仍为零两式二)功,由(2和(2·11)改(26)式一。(22)服从自由度为r和n一u的F分布为一二,(功贫功)令则yrB效一B(功穿一卜x:根据区间估计理论尸(功任B)=有1一a,(212)(23)夕=Byrx(诱一诱)x(213)其中,功表示某一随机变量或其函数B=a若X于y、(214)为置信区域,a展开上式为1一为给定之置信度ya圣相应于上式有P{X萝镇X矛几若,戈于1a-口一K、KZ+呈a兄言:戈少:+二:}=1一a(24)尸玉F一簇F一,}=1一a(25)几戈于若(215)浏绘通Q。1990年第4期其中K为M的非零特征值个数上式就表示一也是一降秩矩阵:,其凯利利并不存在,个K维超椭球其半轴长为A‘,二也即函数诱二功的置信椭球卜犷=、一二)。一二=a。了万x‘于(t’=1,2…劫丫OQ(睿)]_r犷;,Q、·(38),,尸IPQPQPQ犷(39)(310)(216)Q’.:。。。各轴方向为M的特征向量方向对于F分布的情况,二Q。;。、同样可导出类似的置,尸为O的一个广义逆即O于,,。=尸信椭球B‘其半轴方向仍为M的特征向量方向。‘“一E,Q半轴长为=a(E){一一,A,p3“,‘犷义Fr‘:(‘=12…k)X尝(功yr一诱)y,,(功O功)(功y一功)ya(217)盖(312)三几个常用的里信椭球犷尸犷,由(21)和(2)2两式可以导出任意未知参数及其函数的置信椭球3133未知参数的置信椭球X=二平差值的置信椭球LL函数)X=,EX(313)函数BLUEX言==A二A十(fx。(31)BLUE:(A尸A)全Ar尸了(314)二二十。f(二)(32)_一(X一X)_1八一吸二玉丑x一A男少LA(A__O;;(Xa言一X)(315)。0尸A)A」四点位误差椭回与坐标值里信椭圃比较,尹、(A(劣一一A戈)点位误差椭圆的诸元素只需知Q“便可求得·,对任一待定点Q,其坐标协因数阵为(41)音金“)呱尹‘乞一“,==(L一,L)D艺艺(L_:;尽(军::)一L)x(33)Q的两个特征根为,其中Q花是降秩阵3有了乏表达式就可按前所述写出置信椭球来2山=飞犷认+1~~+‘叼,,改正数的置信椭球一一了(Q1一Q~,,)“+4Q万(42)函数BLUE=刀=03(=)4~才一=厂A戈一I(、一滩:=万一一‘认+Q,,(A)E‘)I’一)E,矿(Q一一QF,,)“+4口币(43)尸点点位误差椭圆的长短半轴分别为尹、(35)E,=a。甲丁丁,二口。丫厌丁4()4由,一(I)‘,根据误差传播定律得协因数阵为O;QQ的两个特征根所对应的两个相互垂直的特征向量就为点位误差椭圆的两个半轴方向,、、万.了:其Q二,=(Q一O;,;.‘、ZO;;O;::畜A,;:一AQ奋;Q“二)、;,‘3e,长半轴与tx轴的夹角=切。满足(,二)Q(勿。一QA·g乙甲0一,于丁一一一牙石20叼一,叼,一,(45)在仅考虑一个点时(37)坐标值置信椭球退化=Q。;,。成置信椭圆其长短半轴分别为a扩不万遥不瓦1990年第4期浏a绘a通报和a。材不耽丁寸2久FZ万,(或和了云;万石丁万二,相应于(2X)11式的统计量为_,)两半轴方向与相应误差椭圆半轴方向相同相差一个因子由此可见置信椭圆和点位课“{了二玉一ul(O差椭圆是相似的方向相同仅在长短半轴上t百)了/、声口E0‘!川、卫erslen夕一划EZi庵人或二扩欢不石(46)(47)A误一召ZF:,一丁二:一,LlO了;Q百;Q;Q了万口胜、了z劣y(I了Er,BPB〔点位误差椭圆或相对点位误差椭圆都是针对点位坐标的B,尸A(A尸A)夕尹Q;;yAry尸B〕而置信椭圆则应用更广不但由(5可以针对点位坐标且可针对任何坐标的函数;不但可以一个点的坐标或其函数且可考察一组5)系0一(55)式并取检验的极限域可构建置信椭应用于变形分析,个线性函数而且在实际应用中两者也各司其职点位误差椭圆一般用于传统测量工程设,了球52计,以求在仅受偶然误差影响下最终成果满足如果视变形为一种模型误差二二:+则利用二:约定要求五而置信域的应用将在下面讨论BC在两期联立观洲值方程中引入附加里信椭球的应用参数构成一新的方程为如在变形分析和附加置信椭球实质上是统计检验的几何表示它的应用是非常广泛的参数的显著性检验巾5({;)(二:)(置:)二(义)·=。·(56)1应用于显著性检验若作原假设引入附加参c二0则构建的置信椭球(也称显目前在测量工程的许多领域著性椭球)半轴长分别为月‘数进行模型扩展的方法应用很广设有一扩展的函数模型为犷”而对附加参=数的显著性检验可用置信椭球来几何表示月戈十B夕一l口。(57)5()1或。‘=。。相应于参数向量有一线性函数,=Z了cF了‘义(尸(58)(。二)(y)“、,其中:f为参数中变最的个数r久(P‘)为最优线性无偏估计为‘y“矩阵尸N的特征根且有P二B‘(o万’/、Z(N‘l王NZ)B二‘}y,=A了PA(f=12)(59)当检验的模型参数不超过边界值’则没有理由二,,Q了袱B尸l一B尸A(A尸A)A尸l’否定原假设即变形不显著(53)由误差传播定律得参数的协因数阵为O、了几口今考文献〔1]P=Q八,Q;了月尸月,A,尸B迈塞尔;t最小二乘平差近代方法测绘出版社1985B尸月,B,尸B(5
