第2课时 解三角形和三角形相似
1．(2016·北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN；
(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
解：(1)证明：在△CAD中， ∵M，N分别是AC，CD的中点， 1
∴MN∥AD，且MN＝AD. 2
1
在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝AC.
2又∵AC＝AD，∴MN＝BM.
(2)∵∠BAD＝60°，且AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°. 1
由(1)知BM＝AC＝AM＝MC.
2
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°. ∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°. ∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°.
222
∴BN＝BM＋MN.
11
由(1)知，MN＝BM＝AC＝×2＝1.
22
∴BN＝2.
2．(2016·白银)如图，已知EC∥AB, ∠EDA＝∠ABF. (1)求证：四边形ABCD为平行四边形；
2
(2)求证：OA＝OE·OF.
证明：(1)∵EC∥AB， ∴∠C＝∠ABF.
又∵∠EDA＝∠ABF， ∴∠C＝∠EDA. ∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形． OAOB
(2)∵EC∥AB，∴＝.
OEODOFOB
又∵AD∥BC，∴＝. OAOD
∴
OAOF2
＝，即OA＝OE·OF. OEOA
3．(2015·南充)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由) 3
(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝，那么AB的长为6．
5
解：(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.
(2)设AP＝x，由折叠关系可得BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1. AMAP2
由△AMP∽△BPQ，得＝，即BQ＝x.
BPBQAPAM
由△AMP∽△CQD，得＝，即CQ＝2.
CDCQAD＝BC＝BQ＋CQ＝x＋2，
22
MD＝AD－AM＝x＋2－1＝x＋1.
2
3
又∵在Rt△FDM中，sin∠DMF＝，
5DF＝DC＝2x， ∴sin∠DMF＝＝
DF2x3
＝. 2
MDx＋15
1
解得x＝3或x＝(不合题意，舍去)．
3
∴AB＝2x＝6.
4．(2016·唐山路北区模拟)如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是边AC的中点，点E是斜边AB上的动点，将△AED沿DE所在的直线折叠得到△A1DE.
(1)当点A1落在边BC(含边BC的端点)上时，折痕DE的长是多少？ (2)连接A1B，当点E在边AB上移动时，求A1B长的最小值．
解：(1)∵点D到边BC的距离是DC＝DA＝1，
∴点A1落在边BC上时，点A1与点C重合，如备用图所示．此时，DE为AC的垂直平分线，即DE为△ABC的中位线， 1
∴DE＝BC＝1.
2(2)连接BD.
在Rt△BCD中，BD＝BC＋CD＝5. 由△A1DE≌△ADE，可得A1D＝AD＝1.
由A1B＋A1D≥BD，得A1B≥BD－A1D＝5－1. ∴A1B长的最小值是5－1.
5．(2015·资阳)E，F分别是正方形ABCD的边DC，CB上的点，且DE＝CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF.
22(1)求证：△ADE≌△DCF；
(2)若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；
(3)连接AQ，设S△CEQ＝S1，S△AED＝S2，S△EAQ＝S3，在(2)的条件下，判断S1＋S2＝S3是否成立？并说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°. ∵DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)．
(2)证明：∵四边形AEHG是正方形，∴∠AEH＝90°. ∴∠AED＋∠QEC＝90°.
∵∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°. ∴∠QEC＝∠EAD.
CQCE
∴△ADE∽△ECQ.∴＝.
DEAD∵
CEDE1CQCQ1＝＝，∴＝＝. ADAD2DECF2
∴点Q是CF中点． (3)S1＋S2＝S3成立．
CQQE
理由：∵△ADE∽△ECQ，∴＝.
DEAECQQE
又∵DE＝CE，∴＝. CEAE
∵∠C＝∠AEQ＝90°，∴△AEQ∽△ECQ. ∴△AEQ∽△ECQ∽△ADE. S1EQ2S2AE2∴＝()，＝(). S3AQS3AQ
S1S2EQ2AE2EQ＋AE∴＋＝()＋()＝. 2
S3S3AQAQAQ由勾股定理得EQ＋AE＝AQ， S1S2
∴＋＝1，即S1＋S2＝S3. S3S3
2
2
22
2
6．(2015·丽水)如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连接CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交AD于点N.
(1)当F为BE中点时，求证：AM＝CE； ABEFAN
(2)若＝＝2，求的值；
BCBFND
ABEF
(3)若＝＝n，当n为何值时，MN∥BE.
BCBF解：(1)证明：∵F为BE中点，∴BF＝EF. ∵在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF. ∴△BMF≌△ECF(AAS)． ∴MB＝CE.
∵AB＝CD，CE＝DE， ∴MB＝AM.∴AM＝CE. (2)设MB＝a，
∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF. ∴
EFCE
＝＝2.∴CE＝2a. BFMB
AB
＝2，∴BC＝AD＝2a. BC
∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB－MB＝3a. ∵
∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AMN＋∠BMC＝90°. 又∵∠AMN＋∠ANM＝90°， ∴∠BMC＝∠ANM. ∴△AMN∽△BCM. ∴
ANAMAN3a＝，即＝. MBBCa2a
31∴AN＝a，ND＝AD－AN＝a.
223aAN2
∴＝＝3. ND1
a2
(3)设MB＝a， ∵∴
EF
＝n，且△MBF∽△CEF， BFCEEF＝. MBBF
AB
＝n，∴BC＝2a. BC
∴CE＝na，AB＝CD＝2na. ∵
如图，当MN∥BE时，CM⊥BE.
∵∠BMC＋∠BCM＝90°，∠EBC＋∠BCM＝90°，∴∠BCM＝∠EBC. ∴△MBC∽△BCE. ∴
MBBCaBC＝，即＝. BCCEBCna
∴BC＝na.
又∵BC＝2a，∴na＝2a.解得n＝4. ∴当n＝4时，MN∥BE.
7．(2016·石家庄模拟)提出问题：
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；
类比探究：
(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由； 综合运用：
(3)在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH. ∴∠HAO＋∠OAD＝90°.
∵AE⊥DH，∴∠ADO＋∠OAD＝90°. ∴∠HAO＝∠ADO.
∴△ABE≌△DAH(ASA)．∴AE＝DH. (2)EF＝GH.理由：
将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM＝EF. 将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN＝GH. ∵EF⊥GH，∴AM⊥DN.
根据(1)的结论得AM＝DN，∴EF＝GH. (3)∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD. ∴∠AHO＝∠CGO.
∵FH∥EG，∴∠FHO＝∠EGO. ∴∠AHF＝∠CGE.
AFFHFO1
∴△AHF∽△CGE.∴＝＝＝.
CEEGOE2又∵EC＝2，∴AF＝1.
过点F作FP⊥BC于点P，根据勾股定理得EF＝17.
FOHO
∵FH∥EG，∴＝.
FEHG根据(2)知EF＝GH，∴FO＝HO. 1211217
∴S△FOH＝FO＝×(EF)＝，
223181212268
S△EOG＝EO＝×(EF)＝. 22318176885∴阴影部分面积为＋＝.
181818
